实对称矩阵的标准形
合同与相似概念区别
代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C AC =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。
这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。
“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。
《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。
对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C AC =。
而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。
4.2 二次型的标准型与规范型
4.2 二次型的标准型与规范型二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。
在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。
本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。
1. 二次型二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。
其中 $n$ 称为二次型的阶数。
二次型具有以下性质：（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。
2. 标准型标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。
标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。
我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；（3）令 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\& \ddots & \\& & \lambda_n\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。
此时，$D$ 即为该二次型的标准型。
标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。
例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。
标准形矩阵的定义
标准形矩阵的定义标准形矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和计算机科学中具有广泛的应用。
标准形矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特定的性质和特征。
在本文中，我们将对标准形矩阵的定义进行详细的介绍，包括其性质、特征和相关概念。
首先，我们来看一下标准形矩阵的定义。
标准形矩阵是指一个方阵，它满足以下两个条件，一是矩阵是对称的，即矩阵的转置等于其本身；二是矩阵的元素只能取0或1，即矩阵中的元素只能是二进制数。
换句话说，标准形矩阵是一个对称的二进制矩阵。
标准形矩阵具有一些独特的性质。
首先，由于标准形矩阵是对称的，所以它的主对角线上的元素都是0。
其次，标准形矩阵的转置等于其本身，这意味着矩阵中任意两个元素a[i][j]和a[j][i]相等。
另外，标准形矩阵的元素只能取0或1，这使得它在计算机科学中具有重要的应用，例如在图论和网络分析中。
除了以上的性质外，标准形矩阵还具有一些特征。
首先，标准形矩阵是一种特殊的对称矩阵，它具有对称矩阵的所有性质，例如对角化、特征值等。
其次，标准形矩阵在图论和网络分析中具有广泛的应用，例如在邻接矩阵和关联矩阵中。
另外，标准形矩阵还在密码学和信息安全领域有重要的应用，例如在置换密码和置换网络中。
在研究标准形矩阵时，还涉及到一些相关的概念。
例如，标准形矩阵可以通过对角化得到对角矩阵，这是矩阵理论中的一个重要概念。
另外，标准形矩阵还与图论和网络分析中的邻接矩阵、关联矩阵等有密切的联系，它们在实际问题中经常一起出现。
综上所述，标准形矩阵是一种特殊的对称二进制矩阵，具有一些特定的性质和特征。
它在矩阵理论、图论、网络分析、密码学和信息安全等领域具有广泛的应用。
通过深入研究标准形矩阵的定义、性质和特征，可以更好地理解和应用它在实际问题中的作用，为相关领域的研究和应用提供理论基础和方法支持。
§6实对称矩阵的标准形
矩阵的运算
加法
相同位置的元素相加 。
减法
相同位置的元素相减 。
数乘
所有元素乘以一个数 。
乘法
两个矩阵相乘，仅当 第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数 时，才能进行乘法运 算。
转置
将矩阵的行转换为列 ，或者将列转换为行 。
02
实对称矩阵
实对称矩阵的定义
实对称矩阵的定义
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置矩阵A^T等于A， 则称A为实对称矩阵。
矩阵的初等变换
总结词
详细描述
1. 行交换
2. 行倍法
3. 行消法
矩阵的初等变换是线性 代数中常用的方法，通 过行变换和列变换，可 以将一个矩阵转化为另 一个矩阵。
矩阵的初等变换包括以 下三种
将矩阵的两行互换位置 。
将矩阵的某一行乘以非 零常数。
用某一非零常数乘以矩 阵的某一行中的所有元 素，并将此常数加到另 一行对应位置的元素上 。
退化矩阵：至少有一个特征值为零的实对称矩阵。
正常矩阵：所有特征值都是正数的实对称矩阵。
半正定矩阵：所有特征值都是非负数的实对称矩阵，且 至少有一个特征值为零。
03
实对称矩阵的标准形
实对称矩阵标准形的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置等于它本身， 即$A^T=A$，那么我们称A为实对称矩阵。
矩阵的逆运算
要点一
总结词
矩阵的逆运算是线性代数中一个重要的概念，对于一 个可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得两矩阵相乘等于 单位矩阵。
要点二
详细描述
设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A是可逆矩阵，并将 B称为A的逆矩阵。在实数域上，一个n阶方阵A是可逆 的充分必要条件是|A|≠0。
欧几里德空间知识点总结
1, 0,
i j, i j,
3、 运算性质 ①正交矩阵之积/幂为正交矩阵 ②正交矩阵的转置/逆为正交矩阵 ③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵
例1、 P193-194习题1、2、3、4、11
例2、证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且 对角线上元素为1或－1。
(利用A1 AT 及AT A I )
4、设 为欧氏空间V上的一个对称变换，则在V 中必存在一组标准正交基使得 在这组基下的矩
阵的对角矩阵。
例1、P199习题1、2、3、
例2、设 AT A R33 , A的特征值为1，－1, 0 对应1，－1的特征向量依次为
1 1,2,2 , 2 2,1,2
求A。 (类似P198例3、P199习题4)
例3、（1）设A为一个 n阶实矩阵且 A 0 ，证明 A可以分解成 A QR，其中 Q 是正交阵，
t11 t12 L t1n
R
0 M
t22 M
L O
t2n M
（R称为正线上三角）
0 0 L tnn
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2,L , n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
PT AP P1AP diag(1,2,L ,n ). 4) 1,2 ,L ,正n为定A的的全充部要特条征件值是.A的特征根全大于
AT A Rnn 0.
•求解步骤 (i) 求出A的所有不同的特征r 值：1,2 ,L ,r R,
其重数 n1, n2 ,L , nr必满足 ni n ;
i 1
2,
则 是第二类正交交换(称之为镜面反射) （P194习题6）
例1、P194习题5、6、8、
例2、证明第二类正交变换必有特征值－1。
（利用正交变换与正交矩阵的对应关系）
9.6 对称矩阵的标准形
T/AT = B , 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵.
3) => 1)
设在标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn下的矩阵A是实对称矩阵，
即A / = A ，对任意的αβ∈V， α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)X, β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)Y, 则 A α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AX , A β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AY → (A α, β) = (AX)/ Y = X/A/Y =X/AY；(α, A β) = X/(AY) = X/AY, 即 (A α, β) = (α, A β) → 是对称变换. □
补充命题2 1)
2)
单位变换是对称变换；
A ，B 是对称变换，则kA ，AB 仍是对称变换 (对任意的k∈R
).
证明： 略. 定理7 对任意的实对称矩阵A , 存在n阶正交矩阵T, 使得 T/AT = T－1AT 是对角矩阵.
证明分析：
在Rn中, 设A在给定的标准正交基ε1, ε2, ···, εn
因为A εi = a1iε1 + a 2iε2 + a niεn (i=1,2,· · · ,n)，故
a ji = (A εi , εj ) = (εi , A εj ) = aij .
2) => 3) 设A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是B，则n维欧氏空
间由标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵T是正交 矩阵，即 T/ = T－1，且 B = T －1 AT = T/AT → B/ = (T/AT)/ =
不同的特征值，α,β是A 的分属于λ,μ的特征向量 → Aα=λα, A β=μβ → 因A 是对称变换， (Aα,β) = (α,A β) → (λα,β) = (α,μβ) , 即λ(α,β) =
第九章-第六节-实对称矩阵的标准型
即 ( ) W , ( )W . 故 W 也为 的不变子空间．
§9.6 对称矩阵的标准形
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的．
证：设实对称矩阵A为 Rn上对称变换 的在标准 正交基下的矩阵， , 是A的两个不同特征值 ， , 分别是属于, 的特征向量．
TAT T 1AT diag(1,2, ,n ).
§9.6 对称矩阵的标准形
证：设A为 Rn上对称变换 在标准正交基下的矩阵．
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
对 Rn 的维数n用归纳法． n=1时，结论是显然的．
假设n－1时结论成立，对 Rn ,设其上的对称变换 有一单位特征向量 1 ，其相应的特征值为 1 ，即
(1 ) 11, | 1 | 1
§9.6 对称矩阵的标准形
设子空间 L(1) W , 显然W是 子空间， 则 W 也是 子空间，且
W W Rn, dimW n 1
又对 , W , 有
W ( ), ( ), , ( ) , W ( )
所以
是
W
k 1
aij ( i , i ) aij
由 是对称变换，有 (i ), j i , ( j )
即 ij ji , i, j 1,2, n,
所以A为对称矩阵．
§9.6 对称矩阵的标准形
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 要证 ( )W , 即证 ( ) W . 任取 W , 由W是 子空间，有 ( )W ,
正交阵实对称阵的正交化标准形及在历年考硕试卷中的相...
正交阵实对称阵的正交化标准形及在历年考硕试卷中的相关题型分析摘要： 实对称阵的正交化标准形涉及正交阵，施密特正交变换以及矩阵的特征值，特征向量和对角形等方面的知识点，在矩阵函数的学习内容中占据着极其重要的基础地位，是我们全面掌握矩阵与二次型函数相关内容的关键环节。
关键词：实对称阵 正交阵 标准形 对角阵 正交化定义1. ()n n A a R ij⨯=∈,若E AA '=,则称A 为正交阵.正交阵的等价定义还有:()n n A a R ij⨯=∈ 11221(),1,2,,.0i j i j in jn i j i a a a a a a i j n i j =⎧+++==⎨≠⎩即同一行的乘积之和等于1，不同行的乘积之和等于0。
11221(),1,2,,0i j i j ni nj i jii a a a a a a i j n i j=⎧+++==⎨≠⎩1()iii A A -'=定理1 若A 为正交阵，则︱A ︱=1或-1引理1 正交阵的特征值的模为1，如果有实特征值B 能是±1， 以上定理及引理证明显然，我们不给出证明过程。
定义2 正交矩阵A 可以对角化，即存在复可逆矩阵T ，使11n A T T λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中1,,n λλ 为A 的全部特征值，即1,(1,2,,)i i n λ== 下面我们给出史密特（shmidt ）正交化的概念 设1,,()n n n Rαα⨯（1） 正交化。
令11βα=，,1,1111,11,1()()(2,3,,)()()k k k k k k k k k n αβαββαββββββ----=---=（2） 单位化。
令1,(1,2,,)k k kk n ηββ==（3）若令1(,,)n A ηη= ，则为正交矩阵 引理2 设A 是实对称阵，则A 的特征值皆为实数 证明： 设0λ是A 的特征值，于是有非零向量12n x xx ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足0A ξλξ= 令12n x x x ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中i x 是i x 的共轭复数，则0A ξλξ= 考察等式 ()()(),A A A A ξξξξξξξξ'''''===其左边为0λξξ'，右边为0λξξ'。
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( 1 , 2 ,..., n ) ( 1 , 2 ,..., n ) A
§9.6 对称矩阵的标准形
x1 y1 x2 y2 n 任取 , R , x y n n
( ) A ,
则对任意 , Rn , 有
Rn
( ), , ( ) ,
或
( A ) ( A ).
§9.6 对称矩阵的标准形
证：取 R n 的一组标准正交基，
1 0 0 0 , 1 , ..., 1 2 n 0 0 0 1
, 分别是属于 , 的征向量．
则 ( ) A , ( ) A ,
§9.6 对称矩阵的标准形
由 ( ), , ( ) 有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 ,
第九章 欧几里得空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
§8酉空间介绍
§5 子空间
§9.6 实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵
四、实二次型的主轴问题
§9.6 对称矩阵的标准形
例1 设
0 A 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
求一正交矩阵T使 T AT 成对角形． 解：先求A的特征值．
0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 | E A | 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
§9.6 对称矩阵的标准形
由于 是非零复向量，必有
x x x x x x 0 1 1 2 2 n n
故 0 0 .
0 R.
§9.6 对称矩阵的标准形
Rn 上 引理2 设A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间
定义一个线性变换 如下：
由归纳假设知
W
有n－1 个特征向量 2 , 3 ,, n
构成 W 的一组标准正交基．
§9.6 对称矩阵的标准形
从而 1 , 2 , 3 ,, n 就是 R n 的一组标准正交基，
又都是 R n 的特征向量． 即结论成立．
§9.6 对称矩阵的标准形
3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
即
x1 1 x2 2 ... xn n ( 1 , 2 ,..., n ) X , y1 1 y2 2 ... yn n ( 1 , 2 ,..., n )Y ,
§9.6 对称矩阵的标准形
于是
( ) ( 1 , 2 ,..., n ) X ( 1 , 2 ,..., n ) AX ,
或
( i ) a1i 1 a2 i 2 ani n aki k , k 1,2,, n
k 1
n
§9.6 对称矩阵的标准形
于是 ( i ), j
n n aki k , j aki ( k , j ) k 1 k 1
其中 x i 为 xi 的共轭复数， 又由A实对称，有 A A, A A,
A A
§9.6 对称矩阵的标准形
0 (0 ) ( A ) ( A)
( A ) ( A ) ( A )
(0 ) ( 0 )
即 ij ji ,
i , j 1,2,n,
所以A为对称矩阵．
§9.6 对称矩阵的标准形
（2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 任取 W , 由W是 子空间，有 ( ) W , 因此 ( ), , ( ) 0
( ) W , ( ) W . 即
故 W 也为 的不变子空间．
§9.6 对称矩阵的标准形
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1、（引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的． 证：设实对称矩阵A为 R n 上对称变换 的在标准正交 基下的矩阵， , 是A的两个不同特征值 ，
§9.6 对称矩阵的标准形
则 W 也是 子空间，且
W W Rn ,
dimW n 1
, W , 有 又对
W
( ), ( ), , ( ) , W ( )
所以 W 是 W 上的对称变换．
把它正交化，得
§9.6 对称矩阵的标准形
1 1 (1,1,0,0) ( 2 , 1 ) ( 1 , 1 ,1,0) 2 2 ( 1 , 1 ) 1 2 2 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 1 2 ( , , ,1) 3 3 ( , ) ( , ) 3 3 3
dimV
i 1
r
i
n
§9.6 对称矩阵的标准形
11 ,12 , ,1n1 ,,r 1 , r 2 ,, rnr 就是V的一组
标准正交基． 将 11 ,12 , ,1n1 , , r 1 , r 2 , , rnr 的分量依次作 矩阵T的第1，2，…，n列， 则T是正交矩阵，且 使 T AT T 1 AT 为对角形．
( , ) 0
即 , 正交．
§9.6 对称矩阵的标准形
２、
A Rnn , A A, 总有正交矩阵T，使 （定理7）对
T AT T 1 AT diag(1 , 2 ,, n ).
证：设A为 R n上对称变换 在标准正交基下的矩阵． 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
§9.6 对称矩阵的标准形
2
1 1 1 1 1 1 2 ( 1)3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1
( 1)3 ( 3)
A的特征值为 1 1 （三重）, 2 3 其次求属于 1 1 的特征向量，即求解方程组
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
§9.6 对称矩阵的标准形
对 R n 的维数n用归纳法． n=1时，结论是显然的． 假设n－1时结论成立，对 R n , 设其上的对称变换 有一单位特征向量 1 ，其相应的特征值为 1 ，即
(1 ) 11 ,
| 1 | 1
设子空间 L(1 ) W , 显然W是 子空间，
§9.6 对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2 x n
满足 A 0 .
§9.6 对称矩阵的标准形
x1 x2 令 , xn
a ji ( j , j ) a ji
n n i , ( j ) i , akj k akj ( i , k ) k 1 k 1
aij ( i , i ) aij
§9.6 对称矩阵的标准形
由 是对称变换，有 ( i ), j i , ( j )
1 1 2 2
再单位化，得
§9.6 对称矩阵的标准形
1 1 1 | | 1 ( 2 , 2 ,0,0) 1
1
1 ( 1 , 1 , 2 ,0) 2 2 | 2 | 6 6 6 3 1 3 ( 1 , 1 , 1 , 3 ) | 3 | 12 12 12 12
nn 设 A R ,
A A
(1) 求出A的所有不同的特征值： 1 , 2 ,, r R,
其重数 n1 , n2 ,, nr 必满足
ni n ; i 1
r
(2) 对每个 i ，解齐次线性方程组 (i E A) X 0
求出它的一个基础解系： i 1 , i 2 ,, in
2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 证：设 为n维欧氏空间V上的对称变换，
1 , 2 ,, n 为V的一组标准正交基，A (aij ) Rnn
为 在这组基下的矩阵，即
( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A
这是特征值 1 1 (三重)的三个单位正交特征向量，
也即是特征子空间 V1 的一组标准正交基．
§9.6 对称矩阵的标准形
再求属于 2 3 的特征向量，即解方程组
§9.6 对称矩阵的标准形
二、对称变换
1、定义
设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足
( ), , ( ) ,
2、基本性质
, V ,
则称 为对称变换（symmetric transformation）．
§9.6 对称矩阵的标准形
（1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在
( ) ( 1 , 2 ,..., n )Y ( 1 , 2 ,..., n ) AY ,
又 1 , 2 ,..., n是标准正交基，
( ), ( AX )Y ( X A)Y X AY X ( AY )