Jordan标准形与矩阵分解
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵与矩阵的标准形
λ ( λ + 1) λ λ ≃ 2 ( λ + 1) λ ( λ + 1) ≃ λ λ − λ ( λ + 2) 1
λ ( λ + 1) 3 2 ≃ λ + 2λ + λ 0 2 − λ − 2λ 1 λ ( λ + 1) 2 ≃ λ (λ + 1) 1 1 λ ( λ + 1) ≃ 2 λ (λ + 1)
将其化为Smith标准形。 解：
0 0 −1 λ − a λ − a 0 −1 0 A( λ ) ≃ 0 λ − a −1 0 0 0 λ − a 0
−1 λ − a 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0 0 1 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0
1 0 ≃ 0 0
1 0 0 0 1 0 4 0 0 (λ − a ) 0 0 0
λ 矩阵标准形的唯一性
定 义：A( λ ) 为一个 λ 矩阵且 rank ( A( λ )) = r 对 于任意的正整数 k ，1 ≤ k ≤ r ， ( λ ) 必有非零的 k A 阶子式， 阶子式，A( λ ) 的全部 k 阶子式的最大公因式 Dk ( λ ) 行列式因子。 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子。
2
2 1 0 λ2 + λ − 4 ≃ λ −2 λ −1 2 2 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 2 0 1 2 λ −2 ≃ λ +λ −4 λ −1 2 2 3λ − 3 4λ + 3λ − 7 λ + 3λ − 4
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型（Jordan Canonical Form）和Jordan 分解（Jordan Decomposition）是两个重要的概念。
它们广泛应用于矩阵理论、线性变换及微分方程等领域。
本文将详细介绍Jordan标准型和Jordan分解，并探讨它们在实际应用中的价值。
1. Jordan标准型Jordan标准型是指一个线性变换或矩阵的标准形式。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆方阵P，使得P逆AP的形式为Jordan标准型，那么A就具有Jordan标准型。
Jordan标准型的特点是，它的主对角线由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征根，而Jordan块的结构由其几何重数和代数重数决定。
1.1 Jordan标准型的计算方法要计算一个矩阵的Jordan标准型，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出A的特征值，即特征多项式的根；（3）对于每个特征值，求出其对应的特征向量；（4）根据特征向量构造Jordan块，并将它们排列在一起形成Jordan矩阵；（5）得到Jordan标准型。
1.2 Jordan标准型的应用Jordan标准型在线性代数的研究中具有重要意义。
它可以用来分析矩阵的性质，如可对角化条件、矩阵的相似性等。
此外，Jordan标准型还可以用来解决微分方程的问题，在微分方程的理论和应用中有广泛的应用。
2. Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成若干个Jordan块之和的形式。
对于一个n阶方阵A，如果可以将其分解成 A=S+D，其中S是具有零特征值的Jordan矩阵，D是具有非零特征值的对角矩阵，那么A就具有Jordan分解。
2.1 Jordan分解的计算方法要计算一个矩阵的Jordan分解，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出特征值和对应的特征向量；（3）根据特征向量构造Jordan块，并将具有非零特征值的Jordan 块排列在一起形成S；（4）构造对角矩阵D，将每个特征值放在对角线上。
矩阵的 Jordan 标准形及其应用
矩阵的 Jordan 标准形及其应用冯福存【摘要】Jordan 标准形作为一类特殊矩阵，其理论在数学、力学和计算方法中有着非常广泛的应用。
介绍了Jordan 标准形的基本性质及化 Jordan 标准形的若干基本方法，最后介绍了 Jordan 标准形在矩阵计算和求解线性微分方程组等方面的应用。
%As a kind of special matrix,Jordan canonical form has been widely applied in mathematics,me-chanics and calculation method. This paper introduces the basic properties of Jordan canonical form and some bas-ic methods of Jordan canonical form. This paper also discusses the application of Jordan canonical form in the ma-trix calculation and linear differential equations.【期刊名称】《绵阳师范学院学报》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】5页(P11-15)【关键词】Jordan 标准形;计算方法;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院，宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵的标准形理论是矩阵理论中的主要研究内容．化矩阵为标准形的理论与方法已经成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式和数量关系的有力工具，同时也是现代数学其他学科[1-3]必不可少的基础知识.矩阵的标准形不仅具有结构简单、易于计算等优点，而且还包含了该矩阵的几乎所有的信息，比如秩、特征值、线性无关的特征向量的个数及特征子空间的维数等．然而，在常用的高等代数的教材中，仅涉及矩阵相似对角化的相关理论，而对于不能进行相似对角化的矩阵，如何寻找一个可逆矩阵将其化为Jordan标准形，或如何快速准确的计算出其Jordan标准形却很少给予的系统讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于Jordan标准形的系列性质，并对计算Jordan标准形常用的易于大家掌握的四种方法进行整理、总结和对比，以期对读者有所帮助．定义形如的矩阵称为ri阶Jordan块，由若干个Jordan块构成的矩阵称为Jordan矩阵．如果ri=1，称Ji为一阶Jordan块，由一阶Jordan块构成的Jordan矩阵为对角阵，对角阵是特殊的Jordan矩阵．关于Jordan矩阵有如下结论：性质1[4] 设A∈Cn×n，则A与一个Jordan矩阵相似，即存在，使得P-1AP=J．性质2[5] A∈Cn×n，A的Jordan标准形J除去Jordan块的排列外是被矩阵A 唯一确定的．性质3[8] A∈Cn×n，A的Jordan标准形J主对角线上的元素正是A的特征多项式的全部根，即A的全部特征值(重根按重数算)．性质4[5] 设A∈Cn×n，则与一个对角阵相似的充分必要条件是A的Jordan标准形J全由1级Jordan块构成．性质5[4] 设A是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得A在这组基下的矩阵是Jordan形．一般的，求解矩阵Jordan标准形的方法有以下四种：2.1 特征向量法设A∈Cn×n，如果λi是A的单特征值，则对应一阶块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则对应λi有几个线性无关的特征向量，就有几个以λi为对角元素的Jordan块，这些块的阶数之和为ri，由A的所有特征值对应的Jordan块构成的矩阵即为A的Jordan标准形，这就是特征向量法．这种方法计算比较简单，且在计算相似变换矩阵时，可直接利用已求得的特征向量，但这种方法的缺点是当矩阵的某一特征值重数较高时，对应若当块的阶数可能无法确定．比如一个4阶矩阵，只有一个特征值，而特征值所对应的特征向量有两个，这是我们无法判断Jordan块是一个1阶和一个3阶，还是2个2阶的，需要借助其他方法判定．2.2 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子和初等因子，从而可求得矩阵A的Jordan标准形．具体步骤如下：第一步：用初等变换化特征矩阵λI-A为Smith标准形，求出A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)；第二步：将A的每个次数大于零的不变因子di(λ)分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂称为A的初等因子，设A的全部初等因子为其中λ1,λ2,…，λs可能有相同的，且r1+r2+…rs=n；第三步：写出每个初等因子(λ-λi)ri(i=1,2,…,s)对应的Jordan块Ji,以这些Jordan 块构成的矩阵J即为A的Jordan标准形．2.3 行列式因子法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，我们可以先求出λI-A的各阶行列式因子Dk(λ)(k=1,2,…,n)，再利用式求出A的不变因子di(λ)(i=1,2,…,n)，继而求出初等因子和Jordan标准形．2.4 波尔曼法设A∈Cn×n，具体步骤如下：(1) 求出a的所有特征值λi(i=1,2,…,n)(重根按重数算)；(2) 对每个不同的特征值λi和每个j(j=1,2,…,n)，求矩阵(λiI-A)j的秩，记为rj(λi)=r(λiI-A)j，在计算秩时，若对某一个j0，使rj0(λi)=rj0+1(λi)，则对所有的j≥j0，都有rj(λi)=rj0(λi)；(3) 对每个λi(i=1,2,…,n)求关于λ=λi的Jordan块的阶数j和个数bj(λi)；b1(λi)=n-2r1(λi)+r2(λi),bj(λi)=rj+1(λi)-2rj(λi)+rj-1(λi).j≥2(4) 写出与A相似的Jordan标准形，它由A的所有特征值λi的bj(λi)个关于λ=λi 的j阶Jordan块的直和构成．这四种求矩阵Jordan标准形方法中特征向量法和波尔曼法都用到了特征值，特征向量法适合于低阶矩阵，计算简单快速，波尔曼法因为其计算方法的机械性适用于任意阶矩阵，尤其适合高阶矩阵，对于低阶矩阵如果特征向量法无法解决时，我们可用波尔曼法求解，可见下文例1.初等变换法和行列式因子法方法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．在线性空间中，如果基确定的情况下，线性变换与矩阵是一一对应的，要确定一个线性变换，我们只需要确定变换所对应的矩阵即可．若矩阵A的Jordan标准形为J(形如(2)式，Ji形如(1)式)，不妨设所作的相似变换的矩阵为P=(P1P2…Pn)，则P-1AP=J，即AP=PJ，等价于方程组通过解n个线性方程组求解矩阵P．4.1 计算Ak在n维线性空间V中，任意一个矩阵A与一个Jordan矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则A=PJP-1， Ak=PJkP-1首先于是(3)式中当m≥ri为零矩阵，即(3)式中当k≥ri时可以甩掉一些项，从而简化计算，再利用P-1及的上述形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．4.2 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看[9],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(t)，其中x(t)=(x1(t)=(x1(t),x2(t),…xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n阶数字方阵，对微分方程组施行一个非奇异线性变换x(t)=Py(t)，于是得例1 求下列矩阵的Jordan标准形．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，可知矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但我们无法判断Jordan块是一个1阶和一个3阶，还是2个2阶的，故用特征向量法无法算出A的Jordan标准形.但我们可以用波尔曼法计算，算法如下：r1(1)=2, r2(1)=1, rk(1)=0,k≥3,b1(1)=4-2·r1(1)+r2(1)=1,b2(1)=r3(1)-2·r2(1)+r1(1)=0,b3(1)=r4(1)-2·r3(1)+r2(1)=1,即1阶和3阶Jordan块各一个，故所求矩阵的Jordan标准型为．例2 解下列线性微分方程组解把微分方程组改写成矩阵形式=Ax其中对微分方程组实行一个非奇异线性变换 X=PY其中于是得故.一般解为β1=c1e2t,β2=c2et+c3tet,β3=c3et.再由x=py求得原微分方程组的一般解t1,t2,t3是任意常数．关于矩阵A的Jordan标准形的其它应用如解线性递推关系式、矩阵分解理论、行列式的计算及相关代数命题的证明等方面的应用可参阅文献[10-12]．【相关文献】[1] 张志旭．矩阵标准形的思想及应用[J]．佳木斯大学学报，2006(04):592-593.[2] 徐仲,张凯院,陆全,等.矩阵论简明教程[M].北京:科学出版社,2005．[3] 张跃辉．矩阵理论与应用[M].北京：科学出版社，2011,08．[4] 高芳征，常瑾瑾．矩阵若而当形的标注，安阳师范学院学报，2010,5(8):12-15.[5] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数(第三版)[M]．北京：高等教育出版社,2005．[6] Roger A.Hom charles R.Johnson.Matrix Analysis.Cambridge.University press.2005.[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 赵云平．矩阵Jordan标准形在矩阵分析中的作用探讨[J]．临沧师范高等专科学校学报，2015,24(1):119-124．[9] 王高雄，周之铭等编．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006，07．[10] 林大华，戴立辉，吴霖芳,等．高等代数课程中矩阵方法的应用[J]．牡丹江教育学院学报，2010(5):112-113．[11] Bellman Richard.Introduction to matrix analysis.Society for IndustrialMathematics,1987.[12] 周杰．矩阵分析及应用[M]．成都：四川大学出版社，2008．。
高等代数第十九讲
由 Jordan块构成的准对角阵称为 JV中存在 一组基, 使σ 在此基下的矩阵为Jordan标准形.
推论:任意复方阵都相似于Jordan标准形
18
定理22：设 A = diag ( A1 , A2 , L , As ), 则A的极小 多项式是 Ai的极小多项式的最小公 倍式. m A ( x ) = [ m A1 ( x ), m A2 ( x ), L , m As ( x ), ]
ni
§6-2 幂零变换与循环变换
定义15：设σ是Vn ( F )上的线性变换，若存在 自然数 m, 使得 σ = 0 而 σ ≠ 0，则称 σ 为 幂零变换， m称为σ的幂零次数.
m m −1
由 σ = 0 → λ = 0 ∴ σ 的特征值全为 0 .
m m
∴ 非零的幂零变换不可对 角化 . − −如 P177 26
Vn (C )可以分解成 σ的根子空间 U λi 的直和.
i
则 σ = (σ − λi ε ) + λi ε , ∴ 在 U λi 上, σ 是幂零变换与数乘变换 的和.
Vλi
对幂零变换σ − λiε
,
U λi 可分解成循环子空间的直和.
σ − λ i ε 循环子空间 是循环变换，在每个循 环子空间 0 1 上选定一组循环基， OO 则循环变换所对应的 . N = O 1 16 矩阵是 0
0
自上而下，由左到右的 顺序重排为一组基， 则 σ的方阵表示为 diag ( N 1 , N 2 , L , N P0 ). 其中
0 1 O O , Ni = O 1 0
N i 的阶数 = dim Ti .
15
§6-4 Jordan标准形
Jordan标准形与Jordan分解
Jordan标准形与Jordan分解Jordan标准形和Jordan分解是线性代数中非常重要的概念，在矩阵理论和线性变换研究中有着广泛的应用。
本文将介绍Jordan标准形以及Jordan分解的定义、性质、计算方法和应用。
1. Jordan标准形Jordan标准形是一个矩阵的特征值表达形式，它是一个对角矩阵，每个对角块都是由相同的特征值组成。
对于一个n阶矩阵A，如果它的特征多项式可以分解为f(x)=(x-λ₁)^(k₁)(x-λ₂)^(k₂)...(x-λₙ)^(kₙ)其中λ₁,λ₂,...,λₙ是A的特征值，k₁,k₂,...,kₙ是它们的代数重数，则存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=J其中J是Jordan标准形矩阵。
Jordan标准形的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块，其形式为：J(λᵢ)=[λᵢλᵢ ... λᵢ][ λᵢλᵢ ...][... λᵢ...](3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
2. Jordan分解Jordan分解将一个n阶可逆矩阵分解为一个特殊的形式，其中矩阵的上三角部分是Jordan标准形矩阵，而下三角部分为0矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹Jordan分解的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块。
(3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
(4) 计算可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹。
3. Jordan标准形和Jordan分解的应用Jordan标准形和Jordan分解在数学和工程领域有广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：(1) 系统稳定性分析：可以使用Jordan标准形来分析线性时不变系统的稳定性。
矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设