第三章矩阵的标准型
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而矩阵的标准形则是对矩阵进行特征分解的一种形式，通过标准形可以更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形及其相关概念。
首先，我们来看一下矩阵的定义。
矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常表示为A=[aij]m×n。
其中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们介绍矩阵的相似性。
两个n阶矩阵A和B称为相似矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=B。
相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
相似矩阵在矩阵的相似变换和对角化等问题中有着重要的作用。
然后，我们引入矩阵的特征值和特征向量。
设A是n阶矩阵，如果存在一个数λ和一个非零向量X，使得AX=λX成立，则称λ是矩阵A的特征值，X是对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们理解矩阵的变换规律和特征。
接着，我们介绍矩阵的对角化。
对角化是一种重要的矩阵相似变换，通过对角化可以将一个矩阵化为对角矩阵的形式。
具体地，设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=Λ成立，其中Λ是对角矩阵，则称矩阵A是可对角化的。
对角化可以简化矩阵的运算和分析，是线性代数中的一个重要概念。
最后，我们来介绍矩阵的标准形。
设A是n阶矩阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P-1AP=J成立，其中J是特殊形式的矩阵，则称J是矩阵A的标准形。
常见的标准形包括实标准形、实规范形、实若当形、复标准形等。
不同的标准形反映了矩阵的不同性质和结构，对于矩阵的分析和运用具有重要的意义。
总之，矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要内容，它可以帮助我们更好地理解和描述矩阵的性质和特点。
通过对矩阵的特征值、特征向量、相似性和对角化等概念的理解，我们可以更深入地研究矩阵的标准形及其应用。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
什么是标准型矩阵
什么是标准型矩阵标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的性质和特征，它在线性代数和数学分析中具有重要的作用和应用。
在矩阵理论中，标准型矩阵是一个非常基础的概念，对于研究矩阵的性质和应用具有重要的意义。
本文将从标准型矩阵的定义、性质和应用等方面进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下标准型矩阵的定义。
标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的形式和结构，可以通过一系列的变换将其化为标准形式。
在实际应用中，标准型矩阵通常是指对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了对角线上的元素之外，其他元素都为零的矩阵；而上三角矩阵是指主对角线以下的元素都为零的矩阵。
通过相似变换，任意一个矩阵都可以化为对角矩阵或者上三角矩阵，这就是标准型矩阵的基本定义。
其次，我们来看一下标准型矩阵的性质。
标准型矩阵具有一些重要的性质，这些性质对于研究矩阵的性质和应用具有重要的意义。
首先，对角矩阵的特征值就是其对角线上的元素，这为矩阵的特征值分解提供了便利；其次，对角矩阵的乘法运算非常简单，只需要将对角线上的元素相乘即可，这对于矩阵的运算和求逆等操作提供了便利；再次，上三角矩阵的行列式就是其对角线上的元素之积，这为矩阵的行列式计算提供了便利。
这些性质使得标准型矩阵在矩阵理论和实际应用中具有重要的地位。
最后，我们来看一下标准型矩阵的应用。
标准型矩阵在线性代数、数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在线性代数中，对角化矩阵可以简化矩阵的运算和求解，使得复杂的线性方程组和矩阵方程可以更加方便地求解；在数学分析中，对角化矩阵可以简化矩阵函数的计算，使得矩阵函数的性质和特征更加清晰地展现出来；在物理学和工程学中，对角化矩阵可以简化物理系统的描述和分析，使得复杂的物理问题可以更加直观地理解和求解。
可以说，标准型矩阵在各个领域都有着重要的应用和意义。
综上所述，标准型矩阵是一个在线性代数和数学分析中具有重要意义和应用的概念。
通过对标准型矩阵的定义、性质和应用进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念，同时也希望能够引起读者对于矩阵理论和应用的兴趣，促进相关领域的学术研究和技术应用的发展。
怎么求矩阵的标准型
怎么求矩阵的标准型矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
在实际应用中，求矩阵的标准型也是一个常见的问题。
本文将介绍如何求解矩阵的标准型，并通过实例进行详细说明。
首先，我们需要明确什么是矩阵的标准型。
矩阵的标准型是指通过相似变换将矩阵化为一种特殊形式，使得矩阵具有更简洁的形式，方便我们进行进一步的分析和运算。
对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵或者上三角矩阵，那么我们称P^-1AP为矩阵A的标准型。
接下来，我们将介绍如何求解矩阵的标准型。
首先，我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，我们可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,...,λn。
然后，我们针对每个特征值，求解对应的特征向量。
对于特征值λi，我们需要求解方程组(A-λiI)xi=0，其中xi为特征向量。
接着，我们将特征值和特征向量整理成特征对（λi,xi），并根据特征值的重数，将特征对进行分类。
对于每个特征值λi，如果其重数为r，那么我们可以得到r个线性无关的特征向量，构成一个r维的特征子空间。
这些特征子空间的维数之和等于矩阵A的阶数n。
接下来，我们需要将特征向量整理成一个矩阵P，其中P的列向量为特征向量。
然后，我们可以得到P^-1AP的形式，其中对角线上的元素为矩阵A的特征值，非对角线上的元素为零。
这就是矩阵A的标准型。
在实际操作中，我们可以利用计算机软件来求解矩阵的标准型，例如MATLAB、Python中的NumPy库等。
这些工具可以帮助我们快速准确地求解矩阵的标准型，节省大量的时间和精力。
最后，让我们通过一个实例来进一步理解求解矩阵的标准型的过程。
假设我们有一个3阶矩阵A如下：A = [[2, 1, 1],。
[0, 3, 1],。
[0, 1, 3]]首先，我们求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解特征方程det(A-λI)=0，我们可以得到特征值λ1=1，λ2=3，λ3=4。
矩阵的标准型是什么
矩阵的标准型是什么矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的标准型是什么，以及它的应用和意义。
首先，让我们来了解一下矩阵的标准型是什么。
矩阵的标准型是指一个矩阵经过相似变换后，可以化为特定形式的矩阵。
这个特定形式的矩阵通常是对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵；而上三角矩阵是指除了对角线及其以下的元素外，其他元素都为零的矩阵。
通过相似变换，我们可以将一个矩阵化为其对角型或者上三角型，这样的形式更容易分析和计算。
其次，矩阵的标准型有着重要的应用价值。
在线性代数和矩阵论中，矩阵的标准型可以帮助我们更好地理解线性变换和矩阵的结构。
通过相似变换将矩阵化为标准型，可以简化矩阵的运算和分析，为我们解决实际问题提供了便利。
此外，矩阵的标准型还可以帮助我们求解线性方程组、研究线性空间的性质，以及分析线性变换的特征。
另外，矩阵的标准型对于理解矩阵的特征值和特征向量也具有重要意义。
矩阵的标准型与特征值和特征向量密切相关，通过相似变换可以将矩阵化为对角型，而对角型矩阵的对角线上的元素就是矩阵的特征值，对应的列向量就是矩阵的特征向量。
因此，矩阵的标准型可以帮助我们更好地理解和求解矩阵的特征值和特征向量，这对于矩阵的应用和理论研究具有重要的意义。
总之，矩阵的标准型是线性代数中一个重要而基础的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和结构。
通过相似变换将矩阵化为标准型，可以简化矩阵的运算和分析，为我们解决实际问题提供了便利。
此外，矩阵的标准型还与特征值和特征向量密切相关，对于矩阵的特征值和特征向量的理解和求解有着重要的意义。
因此，深入理解和掌握矩阵的标准型对于我们学习和应用线性代数和矩阵论具有重要的意义。
矩阵的标准形式
矩阵的标准形式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，我们经常会遇到需要将一个矩阵转化为标准形式的情况。
本文将介绍矩阵的标准形式以及如何将一个矩阵转化为标准形式。
一、矩阵的标准形式。
矩阵的标准形式是指将一个矩阵经过一系列变换后得到的最简单的形式。
对于一个矩阵而言，它的标准形式可以是行阶梯形式、行最简形式或者对角形式。
这些形式各有其特点和应用场景，下面我们将逐一介绍。
1. 行阶梯形式。
行阶梯形式是指矩阵中满足以下条件的形式，首先，非零行（如果有的话）出现在零行（如果有的话）之上；其次，每个非零行的首个非零元素为1；最后，每个非零行的首个非零元素所在的列，其余元素都为0。
行阶梯形式的矩阵可以更直观地展现矩阵的性质和特点，方便进行进一步的运算和分析。
2. 行最简形式。
行最简形式是指在行阶梯形式的基础上，每个首个非零元素所在的列的其余元素都为0。
行最简形式可以更清晰地展现矩阵的线性无关性和线性相关性，对于矩阵的求逆运算和解线性方程组等问题具有重要的作用。
3. 对角形式。
对角形式是指矩阵中除了对角线上的元素外，其余元素都为0的形式。
对角形式的矩阵在特征值和特征向量的求解中具有重要的作用，也是对称矩阵和正定矩阵的重要特征。
二、矩阵的转化。
将一个矩阵转化为标准形式是线性代数中的重要问题之一。
在进行矩阵的转化时，我们可以通过一系列的行变换来实现。
常见的行变换包括，互换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，我们可以逐步将一个矩阵转化为行阶梯形式，进而得到行最简形式或者对角形式。
需要注意的是，矩阵的转化过程需要保证矩阵等价性的基本性质不变。
也就是说，经过一系列的行变换后得到的新矩阵和原矩阵具有相同的秩、相同的行空间和列空间等性质。
因此，在进行矩阵的转化时，我们需要谨慎操作，确保矩阵的基本性质不发生变化。
三、总结。
矩阵的标准形式是线性代数中的重要概念，它对于矩阵的运算和分析具有重要的作用。
第三章矩阵的标准型
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许 多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何 重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可 逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集 合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。 对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩 阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相 似！！！
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
0 0 ( 1)2 ( 1)2 2 ( )
( 1) 0
0
( 1)2 ( 1)3 3( )
故D2( ) ( 1) 最后 D3() = det (A()) = 2(+1)3
行列式因子和不变因子的关系
设矩阵A()的Smith标准形为
d1( )
dr ()
0
0
其中di() (i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，
, , 2 , 1, ( 1) 2 , ( 1)3 , ( 1) 2 , ( 1) 3 , ( 2 )
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的标准形，包括它的定义、性质和应用。
首先，让我们来看一下矩阵的标准形是什么。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵转化为某种特定形式的过程。
这个特定形式通常具有简洁的结构，可以更好地展现矩阵的特点。
在实际应用中，我们经常需要将矩阵转化为标准形，以便进行进一步的分析和计算。
接下来，让我们来讨论一下矩阵的标准形有哪些常见的类型。
在线性代数中，我们经常会遇到对角形、上三角形和若当标准形等。
对角形矩阵是指只有主对角线上有非零元素的矩阵，上三角形矩阵是指主对角线以下的元素全为零的矩阵，而若当标准形则是一种更为一般化的形式，可以将矩阵分解为若干个特征块的直和。
这些标准形在不同的情况下具有不同的意义和应用，我们需要根据具体的问题选择合适的标准形进行转化。
那么，矩阵的标准形有什么应用呢？矩阵的标准形在很多领域都有着重要的应用，比如在线性方程组的求解、矩阵的对角化、矩阵的相似变换等方面。
通过将矩阵转化为标准形，我们可以更方便地进行矩阵的运算和分析，从而解决实际问题。
此外，矩阵的标准形也为我们提供了一种更加直观和简洁的方式来理解和描述矩阵的性质，有助于我们深入学习和研究线性代数的相关知识。
在实际操作中，我们可以通过一系列的相似变换，将一个矩阵逐步转化为标准形。
这个过程通常涉及到矩阵的特征值、特征向量等概念，需要我们对线性代数有一定的了解和掌握。
通过适当选择相似变换的方式和顺序，我们可以将矩阵转化为最简洁、最易于处理的标准形，从而更好地解决实际问题。
总之，矩阵的标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
通过将矩阵转化为标准形，我们可以更方便地进行矩阵的运算和分析，解决实际问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
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标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许 多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何 重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可 逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集 合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。 对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩 阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相 似！！！
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
0
2
[32( )]
1 0
0
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0 0 3
0 0 3
不变因子： d1( )
d2( )
d3( )
例2
( 1)
A(
)
( 1)2
将其化成Smith标准形。
( 1)
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
例1 求矩阵
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
解：
A(
)
( 1)2
( 1)
c2 c3
( 1)2
( 1)
( 2)r2r3
( 2) 1
( 1)
r3r2
3 22 3 0
( 2) 1
( 1)
( 2)c3 c2
( 1)2
1
1
( 1)
( 1)2
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
第三章 矩阵与矩阵的Jordan标准形
（ -matrix and Jordan Canonical Form）
教学目的
➢ 理解矩阵的定义及不变因子 ➢ 掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形 ➢ 理解行列因子、初等因子及相关理论 ➢ 掌握求矩阵的Jordan标准形的方法 ➢ 了解Cayley -Hamilton定理
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))
相抵（等价）
定义5 设A(), B() P[] mn，若A()经有限次行、列初等 变换化为B(),称A()与B()相抵（等价） ，记为A()B()
定理2 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件 是存在m阶初等矩阵P1(), P2(),… Pl(),与n阶初等矩阵 Q1(), Q2(),… Qt(), ，使得
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型源自定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标
准型
d1( )
d2( )
0
A(
)
0
dr ()
0
di()为首项系数为1的多项式，且di() |di+1() 定义6 该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型； 称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr() 为A()的 不变因子
2
1
2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2 [31( )]
0
0
2 2
0
2
[1 2(1)]
1 0
0
2
0
1 0
[2,3] 0
0
2
0 2
0 2
1 [2(1)] 0
0