矩阵的各种标准形研究
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形
D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
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第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
矩阵分析矩阵的标准形
矩阵分析矩阵的标准形矩阵的标准形是矩阵理论的一个重要概念，它能够将复杂的矩阵转化为简洁的形式，并提供有关矩阵性质的重要信息。
在矩阵分析中，我们可以通过相似变换将矩阵转化为标准形。
本文将介绍矩阵的标准形的定义、性质和应用。
一、矩阵的标准形的定义矩阵的标准形是指通过相似变换将矩阵转化为一个特定的形式。
由于矩阵的相似性保持了矩阵的一些重要性质，因此标准形可以用来研究和描述矩阵的特征。
在矩阵理论中，最常见的标准形有特征值标准形、有理标准形和Jordan标准形等。
二、特征值标准形特征值标准形是矩阵分析中最常见的标准形之一、对于一个n阶矩阵A，如果它有n个不同的特征值，则它一定可以被相似变换为特征值标准形，即：P^-1*A*P=D其中，P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
特征值标准形的意义在于将一个复杂的矩阵转化为了一个对角矩阵，可以方便地提取和计算矩阵的特征值，进而得到矩阵的其他性质，如特征向量、固有子空间等。
三、有理标准形有理标准形是一类特殊的矩阵标准形，它可以将矩阵分解为若干个简单的分块。
对于一个n阶矩阵A，如果它有分块矩阵B_i与可逆矩阵P_i，使得：P_1^-1*B_1*P_1+P_2^-1*B_2*P_2+...+P_k^-1*B_k*P_k=A其中，B_i是一个特定的形式矩阵，称为无穷小标准形。
具体形式如下：B_i=[0,1,0, 0[0,0,1, 0[0,0,0, 0...[0,0,0, 0有理标准形的应用十分广泛，它可以用于求解线性差分方程、等价关系等问题。
四、Jordan标准形Jordan标准形也是矩阵分析中一种重要的标准形。
对于一个n阶矩阵A，如果它有分块矩阵J_i与可逆矩阵P_i，使得：P_1^-1*J_1*P_1+P_2^-1*J_2*P_2+...+P_k^-1*J_k*P_k=A其中，J_i是一个特定的Jordan分块形式矩阵，它由特征值和特征向量的个数决定。
关于矩阵等价标准形的解题研究
Ｆ
ｎ ，
Ｕ Ｊ
一
个ｍ Ｘ ｎ 矩阵， 若秩（ Ａ ） ＝ ｒ ， 则Ａ 等价于矩阵ｌ
Ｌ Ｕ
ｌ ， 称之为Ａ
则 原 方 程 组 等 价 于 （ ） （ ） ＝ 。 ，
Ｙ ｎ ／
， Ａ 是一个 （ ｓ － １ ）
即ｙ １ ＝ ｙ ２ ＝ …＝ ｙ ＝ ０ ． Ｑ ＝ （ ｑ Ｉ ， ｑ ２ ， …， ｑ ， ｑ ｒ ＋ 】 ， …， ｑ ） ， 容易 验证ｑ ，
ｑ 件 ２ ， …， ｑ 都 是Ａ Ｘ ＝ Ｏ 的解 ， 从 而 它 们 构 成Ａ Ｘ ＝ ０ 的 一基 础 解 系 ． 例５ ： 从 等 价标 准形 的 角 度 给 出 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ａ …Ｘ ＝
证明： 设 Ａ是 ｌ ｘ ｍ矩 阵 。 Ｂ 是 ｍ￣ ｎ 矩阵 ． Ｃ 是ｎ ｘ ｐ 矩阵 ． 且 设
ｒ ａ ｎ ｋ Ｂ ＝ ｒ ， 则 存 在 ｍ 阶 可 逆 阵 Ｐ 和 ｎ 阶 可 逆 阵 Ｑ ， 使 Ｂ ＝ Ｐ （ ） Ｑ ．
现 作 分 块 阵 Ｐ ＝ （ Ｐ 。 ， Ｐ ２ ） ， Ｑ ＝ （ ） ， Ｐ 。 是 ｍ × ｒ 矢 巨 阵 ， Ｑ 。 是 ｒ × ｎ 矩 阵 ， 则
。 ， ｉ Ｅ Ｙ： ＝ Ｑ － Ｉ Ｘ ＝ （ ｙ ｙ …ｙ ）
，
２ ， ３ ， …， ｓ ） 倍， 其 余 的 列 减 去 第 一 列 的ａ ， ａ ； （ ｊ ＝ ２ ， ３ ， …， ｎ ） 倍， 然
后 ，用 乘 以第 一 行 ， Ａ 就变成１ ０
矩阵等价标准形
矩阵等价标准形矩阵等价标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
在矩阵等价标准形的研究中，最常见的是对矩阵进行相似对角化，也就是找到一个可逆矩阵，使得原矩阵相似于对角矩阵。
而在实际应用中，矩阵等价标准形也有着广泛的应用，比如在控制理论、信号处理、优化问题等领域都有着重要的地位。
首先，我们来看一下矩阵等价标准形的定义。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，那么我们称矩阵A与矩阵D相似，矩阵D就是矩阵A的等价标准形。
这个过程称为相似对角化，而可逆矩阵P就是相似变换矩阵。
接下来，我们来讨论一下如何求解矩阵的等价标准形。
对于一个n阶矩阵A，我们首先需要求解它的特征值和特征向量。
通过特征值和特征向量的求解，我们可以得到矩阵A的特征分解形式，A=PDP^{-1}，其中P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值构成的对角矩阵。
然后，我们再对P进行进一步的处理，使得P^{-1}AP为对角矩阵，这样就得到了矩阵A的等价标准形。
在实际应用中，矩阵等价标准形有着广泛的应用。
比如在控制理论中，我们可以通过矩阵等价标准形来简化控制系统的分析和设计；在信号处理中，矩阵等价标准形可以帮助我们更好地理解信号的特性和变换规律；在优化问题中，矩阵等价标准形可以帮助我们更好地理解和分析优化问题的性质和特点。
总之，矩阵等价标准形是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
通过对矩阵进行相似对角化，我们可以得到矩阵的等价标准形，从而简化问题的分析和求解。
在实际应用中，矩阵等价标准形有着广泛的应用，对于我们深入理解和应用线性代数理论都有着重要的意义。
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，矩阵的标准形是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
本文将介绍矩阵的标准形，包括矩阵的相似性和相似对角化等内容。
矩阵的相似性。
两个矩阵A和B被称为相似的，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。
相似的矩阵具有许多相似的性质，它们有相同的特征值和特征向量。
矩阵的相似性是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析。
矩阵的相似对角化。
如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，即存在可逆矩阵P，使得D=P^(-1)AP，那么我们称矩阵A是相似对角化的。
相似对角化的矩阵具有非常简单的形式，它们可以更容易地进行运算和分析。
相似对角化的矩阵在线性代数和矩阵分析中有着重要的应用，它们可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵的标准形。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵化为特定形式的过程。
常见的矩阵标准形包括，对角形、黎曼标准形、若尔当标准形等。
矩阵的标准形可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质，从而简化矩阵的运算和分析。
不同的标准形对应着不同的矩阵性质，它们在不同的领域有着广泛的应用。
总结。
矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
通过相似变换，我们可以将一个矩阵化为特定的标准形，从而简化矩阵的运算和分析。
矩阵的标准形在数学和工程领域中有着广泛的应用，它们是矩阵理论中的重要内容之一。
希望本文对矩阵的标准形有所帮助，让读者对矩阵理论有更深入的理解和认识。
矩阵的标准形式
矩阵的标准形式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，我们经常会遇到需要将一个矩阵转化为标准形式的情况。
本文将介绍矩阵的标准形式以及如何将一个矩阵转化为标准形式。
一、矩阵的标准形式。
矩阵的标准形式是指将一个矩阵经过一系列变换后得到的最简单的形式。
对于一个矩阵而言，它的标准形式可以是行阶梯形式、行最简形式或者对角形式。
这些形式各有其特点和应用场景，下面我们将逐一介绍。
1. 行阶梯形式。
行阶梯形式是指矩阵中满足以下条件的形式，首先，非零行（如果有的话）出现在零行（如果有的话）之上；其次，每个非零行的首个非零元素为1；最后，每个非零行的首个非零元素所在的列，其余元素都为0。
行阶梯形式的矩阵可以更直观地展现矩阵的性质和特点，方便进行进一步的运算和分析。
2. 行最简形式。
行最简形式是指在行阶梯形式的基础上，每个首个非零元素所在的列的其余元素都为0。
行最简形式可以更清晰地展现矩阵的线性无关性和线性相关性，对于矩阵的求逆运算和解线性方程组等问题具有重要的作用。
3. 对角形式。
对角形式是指矩阵中除了对角线上的元素外，其余元素都为0的形式。
对角形式的矩阵在特征值和特征向量的求解中具有重要的作用，也是对称矩阵和正定矩阵的重要特征。
二、矩阵的转化。
将一个矩阵转化为标准形式是线性代数中的重要问题之一。
在进行矩阵的转化时，我们可以通过一系列的行变换来实现。
常见的行变换包括，互换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，我们可以逐步将一个矩阵转化为行阶梯形式，进而得到行最简形式或者对角形式。
需要注意的是，矩阵的转化过程需要保证矩阵等价性的基本性质不变。
也就是说，经过一系列的行变换后得到的新矩阵和原矩阵具有相同的秩、相同的行空间和列空间等性质。
因此，在进行矩阵的转化时，我们需要谨慎操作，确保矩阵的基本性质不发生变化。
三、总结。
矩阵的标准形式是线性代数中的重要概念，它对于矩阵的运算和分析具有重要的作用。
矩阵的有理标准型
矩阵的有理标准型矩阵的有理标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对矩阵的有理标准型进行详细的介绍和讨论。
首先，我们来定义什么是矩阵的有理标准型。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P和Q，使得P^-1AQ=J，其中J是一个有理标准型矩阵，那么J就是矩阵A的有理标准型。
有理标准型的形式为：J = diag{J1, J2, ..., Jr}。
其中每个Ji都是一个块对角矩阵，它的形式为：Ji = λi I + Ni。
其中λi是矩阵A的特征值，Ni是对应于特征值λi的矩阵A的特征子空间的一组基所对应的矩阵。
有理标准型的存在性是线性代数中一个非常重要的定理，它保证了对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P和Q，使得P^-1AQ是一个有理标准型矩阵。
这个定理的证明比较复杂，我们在这里不做详细讨论。
有理标准型的计算方法一般是通过对矩阵A进行相似对角化来实现的。
首先，我们需要计算出矩阵A的特征值和对应的特征向量，然后构造出P和Q，最后通过相似对角化的方法得到矩阵A的有理标准型。
有理标准型在矩阵的理论和应用中有着广泛的应用。
例如，在矩阵的对角化、矩阵的相似性等问题中，有理标准型都有着重要的作用。
另外，在控制理论、微分方程等领域，有理标准型也有着重要的应用价值。
总之，矩阵的有理标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它保证了对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P和Q，使得P^-1AQ是一个有理标准型矩阵。
有理标准型在矩阵的理论和应用中有着广泛的应用，它是线性代数中的一个重要定理，对于深入理解矩阵理论和应用有着重要的意义。
矩阵论—矩阵的Jordan标准形
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
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玉林师范学院本科生毕业论文反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学学生班级2010级1班姓名学号201004401137指导教师单位数学与信息科学学院指导教师姓名指导教师职称副教授数学与应用数学2010级1班梁玉漫指导老师钟镇权摘要数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点.摘要部分说明：“摘要”是摘要部分的标题，不可省略.标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅.论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。
内容要包括目的、方法、结果和结论。
单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。
文中不允许出现插图.摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项.摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字.摘要正文后，列出3－5个关键词。
“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。
关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词.关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑体，小四.Mathematics and Applied Mathematics 2007-2Supervisor Su DerongAbstractStudy about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application.This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound.Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form目 录引言.................. ...........................................................................1 1 等价标准形.................................................................................1 1.1 等价标准形的定义与性质.........................................................1 1.2 在矩阵的分解表示中的应用......................................................2 1.3 等价变换的保秩性..................................................................4 2 相似变换下的若尔当标准形............................................................5 2.1 相似变换下的若尔当标准形的定义与定理....................................5 2.2 相似变换的保特征性...............................................................5 2.3 在化简数字矩阵中的应用.......................................... ............9 3 合同标准形.................................................................................10 3.1 合同标准形的定义..................................................................10 3.2 合同标准形的保定性...............................................................11 4 几种标准形间的关系.....................................................................13 4.1 基本概念..............................................................................13 4.2 关系图表..............................................................................13 4.3 几种标准形的应用..................................................................13 小结................................................ .............................................14 致谢............................................. ................................................14 参考文献....................................... (15)注：目录是自动生成的注：标题“目录”，字体：黑体，字号：三号。
章、节标题和页码，字体：宋体，字号：小四。
1引言矩阵问题的研究既是学习经典数学的基础，又是一门最有使用价值的数学理论.它不仅是数学的一个重要分支，而且也已经成为现代各科技领域处理大量问题强有力的工具.特别是计算机的广泛应用，更是为矩阵问题的研究开辟了广阔的前景.而其中的标准形问题的研究无论是理论上还是应用上都有十分重要的地位.在线性代数，高等代数的各种教材中，都有大量篇幅来讲述矩阵的各种标准形，例如等价标准形，合同标准形，概念，定理和例子加以说明.1.1 等价标准形的定义与性质定义1.1 如果矩阵B 可以从矩阵A 经过一系列初等变换而得到，则称矩阵A 与B 是等价的.也就是说，设A,B 是数域F 上的两个n ×m 阶矩阵，若存在数域F 上的可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q,使PAQ=B, 则称矩阵A 与B 是等价的.定义1.2 设A 是一个m ×n 矩阵，若秩（A ）=r,则A 等价于矩阵,⎥⎤⎢⎡O Er称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡O OO E r为A 的等价标准形. 性质1性质2 ()().~B R A R B A =⇔性质3 B A B A ,~⇔有相同的标准形.性质4 ⇔B A ~存在可逆阵P 与Q,使得.PBQ A =性质5 设A 是n m ⨯矩阵且(),r A R =则存在m 阶可逆阵P 与n 阶可逆阵Q,使得O O EP A r⎤⎢⎣⎡=2n1.2 在矩阵的分解表示中的应用集合可以按等价关系来分类，而矩阵按一定的等价关系进行分类的结果恰好就是矩阵的各种标准形.按分类规划标准形，可解决具体问题，举例如下：例1.1 求证：数域F 上任一秩为r 的矩阵均可表为r 个秩为1的矩阵和. 矩阵Q .212211r rr O OA ⎥⎦⎢⎣=这里，.,,2,1,1)(11r i Q E P A ii i ===--）秩（秩任一个标准形都与原矩阵有一个相关联的分解表达式.例如：等价分解Q O O O E P A r⎥⎦⎤⎢⎣⎡=, 其中P,Q 为可逆阵.合同分解对称阵(),,,'1P a a Pdiag A n =其中P 为可逆阵.相似分解复方阵,1-=PJP A 其中J 为若而当标准形.如此等等，他们是研究分解问题的基础.例1.2 求证：数域F 上任一秩为r 的m ×n 阶矩阵A 均可表为m ×r 阶列满矩阵B 与r ×n 阶行满秩矩阵C 的乘积.证明 因秩（A ）=r,所以存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q,使PAQ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡O OO Er. 所以,A= 11--⎥⎦⎤⎢⎣⎡Q O OO EP r=,)(11--⎥⎦⎤⎢⎣⎡Q O E O E P r r令B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-O E P r 1,,)(1-=Q O E C r则,C B A ∙=且B 为m ×r 阶列满秩矩阵，C 为 r ×n玉林师范学院本科生毕业论文3阶行满秩矩阵.2 相似变换下的若尔当标准形2.1 相似变换下的若尔当标准形的定义与定理.定义2.1 设A,B 都是数域F 上的n 阶方阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P,使,1B AP P =-则称A 与B 相似，或称A 相似于B.2.2 图的格式说明每幅插图均应有中英文图题，由图号和图名组成。