矩阵的标准型分解复习过程
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
第三章 矩阵的标准型与若干分解形式
ki ki
, Ps ) ( P 1, P 2, i 1, 2,
APi Pi J i
Pi ( Pi1 , Pi 2 ,
A( Pi1 , Pi 2 ,
, Pi ,ki )
APi Pi J i
, Pi ,ki )
i 1 i 1 ( Pi1 , Pi 2 , , Pi ,ki ) i 1 i APi , j i Pi , j Pi , j 1 j 1, 2, , ki 1 AP P i , k i i , ki i
性质1 （行列式因子的整除性质）
Dn ( ) E A , Dk 1( ) Dk ( ), k 2, 3,
定义3 （不变因式、初级因子）
,n
D3 ( ) D2 ( ) d1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) , d 3 ( ) D1 ( ) D2 ( ) Dk ( ) Dn ( ) , d k ( ) , , d n ( ) Dk 1 ( ) Dn1 ( ) 上述n个多项式称为 A( ) 的不变因式。把每个次数
1 1 1 k1 k2 ( E A, p3 ) 2 2 2 k1 1 1 1 k 2
1 1 1 k1 k2 k1 2 k 2 0 0 0 0 k1 2k2 k 2 k 0 1 2 0 0 0 k 2k 1 2 1 取 k 2, k 1 p 2 1 2 3 1 1 再求 ( E A) p p 2 3 p2 1 1 x1 1 1 1 1 2 2 2 x 2 2 1 1 1 x 1 3
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
将矩阵化为标准型
将矩阵化为标准型在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它在各个数学领域和工程领域都有着广泛的应用。
矩阵的标准型是指将一个矩阵通过一系列的行变换和列变换，转化为特定的形式，便于进行进一步的计算和分析。
本文将介绍如何将一个矩阵化为标准型的方法和步骤。
首先，我们需要了解什么是矩阵的标准型。
对于一个m×n的矩阵A，它的标准型可以表示为R=UAV，其中U是一个m×m的可逆矩阵，V是一个n×n的可逆矩阵，而A是一个m×n的矩阵，R是一个m×n的矩阵，且R的非零元素都在主对角线上方。
这样的标准型可以简化矩阵的形式，便于进行进一步的计算和分析。
接下来，我们将介绍如何将一个矩阵化为标准型。
首先，我们需要进行初等行变换和初等列变换，将矩阵A化为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵是指矩阵的每一行的第一个非零元素出现在前一行第一个非零元素的右边，并且每一行的零元素都在非零元素的下方。
通过一系列的初等行变换，我们可以将矩阵A化为行阶梯形矩阵。
然后，我们需要进一步将行阶梯形矩阵化为标准型。
这一步需要利用初等行变换将矩阵化为最简行阶梯形矩阵。
最简行阶梯形矩阵是指行阶梯形矩阵中每个主元素都是1，且每个主元素所在的列除了主元素外都是0。
通过一系列的初等行变换，我们可以将行阶梯形矩阵化为最简行阶梯形矩阵。
最后，我们需要利用初等列变换将最简行阶梯形矩阵化为标准型。
这一步需要将最简行阶梯形矩阵中每个主元素所在的列除了主元素外都是0的性质保持不变的情况下，将最简行阶梯形矩阵化为标准型。
通过一系列的初等列变换，我们可以将最简行阶梯形矩阵化为标准型。
在这个过程中，我们需要注意矩阵的行变换和列变换的顺序，以及每一步变换的具体操作。
同时，我们还需要注意矩阵的秩和零空间等相关概念，这些都对矩阵化为标准型起着重要的作用。
总之，将一个矩阵化为标准型是一个重要且复杂的过程，需要通过一系列的行变换和列变换，将矩阵化为特定的形式，便于进行进一步的计算和分析。
第四章 正规矩阵与矩阵的分解
第一节 正规矩阵【Schur 三角化定理】设n nA ⨯∈，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵.【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.1H H H n U U UU E U U -==⇔=性质：设有矩阵A ，B ，则（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；（4）A 是酉矩阵⇔A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化⇔**AA A A =.*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =⇔=A 可以酉对角化，则∃酉矩阵U 使*U AU D =***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD UU D DU U DU U DU A A ======【定义4.1.1】设n nA ⨯∈，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵.【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n nA ⨯∈，则A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量.【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设()i j n n A a ⨯=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）221,1||||n nii ji i j aλ==≤∑∑（2）A 为正规矩阵⇔221,1||||nni i j i i j a λ===∑∑（3）*2,,1tr()||ni ji j AA a==∑【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵⇔存在正交矩阵Q 使得12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.（1）A 是对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕其中每个00i i i b A b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；（3）A 是正交矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.（4）B 是Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）B 是酉矩阵⇔存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite 矩阵A 正定⇔A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定⇔A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.第二节 正规矩阵的谱分解设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ=.因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ=.令12(,,,)n U ααα=，则12*1*212****111222(,,,)n n n n n nA αλλααααλαλααλααλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++ （4.2.1）由于12,,,n λλλ为A 的特征值，12,,,n ααα为A 对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。
将矩阵化为标准型例题及详解
将矩阵化为标准型例题及详解矩阵的标准型是一个非常重要的概念，在线性代数中经常被使用。
对于一个给定的矩阵，我们可以通过一系列的变换将其转化为标准型，这样可以方便我们进行矩阵计算和求解线性方程组等问题。
本文将以一个例题为基础，详细介绍如何将矩阵化为标准型。
一、例题考虑以下矩阵：$$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\2 & 4 & 6 \\3 & 6 & 9\end{bmatrix}$$将其化为标准型。
二、步骤1. 行变换首先，我们需要进行一系列行变换，使得该矩阵满足以下条件：- 矩阵的主对角线上的元素均为1；- 主对角线以下的元素均为0。
具体来说，我们可以通过以下操作实现：- 将第二行乘以$\frac{1}{2}$；- 将第三行乘以$\frac{1}{3}$；- 将第二行减去第一行；- 将第三行减去第一行。
经过以上操作后，矩阵变成了：$$\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$2. 列变换接下来，我们需要进行一系列列变换，使得该矩阵满足以下条件：- 矩阵的主对角线上的元素均为1；- 主对角线以上的元素均为0。
具体来说，我们可以通过以下操作实现：- 将第二列减去第一列；- 将第三列减去第一列。
经过以上操作后，矩阵变成了：$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$这就是所谓的标准型。
三、解释上述步骤中涉及到了行变换和列变换两种操作。
下面分别对它们进行解释。
1. 行变换行变换是指将矩阵中的某些行替换成其它行的线性组合。
具体来说，设$A$为一个$m\times n$矩阵，$k$为一个正整数，则有以下三种行变换：- 将矩阵中的某一行乘以$k$；- 将矩阵中的某两行互相交换；- 将矩阵中的某一行加上另一行乘以$k$倍。
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习
线性代数矩阵运算与特征值分解重点复习线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射的结构、性质和运算法则。
在线性代数中，矩阵运算和特征值分解是两个重要的概念和技巧。
本文将以复习的形式来介绍线性代数中的矩阵运算和特征值分解。
一、矩阵运算1. 矩阵的定义和基本运算- 矩阵是由数域上的元素组成的一个长方形的数组。
- 矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
2. 矩阵的转置和共轭转置- 矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
- 对于复数矩阵，还可以进行共轭转置，即将矩阵中的元素取复共轭得到的新矩阵。
3. 矩阵的逆和行列式- 逆矩阵是对于方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。
- 行列式是一个标量，用于判断矩阵是否可逆。
二、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义- 对于一个矩阵A和一个非零向量v，如果存在一个标量λ，使得Av=λv，那么v就是A的一个特征向量，λ就是A的对应特征值。
2. 特征值和特征向量的性质- 特征值和特征向量具有以下性质：- A的特征值的个数等于A的阶数。
- 特征向量的长度可以归一化，使得其模长为1.- 如果v是A的特征向量，那么对于任意非零标量c，cv也是A的特征向量。
3. 特征值分解- 特征值分解是将一个可对角化的矩阵表示为特征值和特征向量的形式。
- 设A是一个n阶方阵，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，那么称D的对角元素为A的特征值，P的列向量为A的特征向量。
4. 特征值分解的应用- 特征值分解在多个领域和问题中有广泛的应用，如主成分分析、图像压缩、物理系统的模态分析等。
总结：线性代数中的矩阵运算和特征值分解是重要的概念和技巧。
矩阵运算包括基本运算、转置和共轭转置、逆和行列式等，而特征值和特征向量的概念则提供了解析矩阵性质和变换的重要工具。
特征值分解是一种重要的矩阵分解形式，可以用于研究和求解各种问题。
怎么求矩阵的标准型
怎么求矩阵的标准型矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
在实际应用中，求矩阵的标准型也是一个常见的问题。
本文将介绍如何求解矩阵的标准型，并通过实例进行详细说明。
首先，我们需要明确什么是矩阵的标准型。
矩阵的标准型是指通过相似变换将矩阵化为一种特殊形式，使得矩阵具有更简洁的形式，方便我们进行进一步的分析和运算。
对于一个n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵或者上三角矩阵，那么我们称P^-1AP为矩阵A的标准型。
接下来，我们将介绍如何求解矩阵的标准型。
首先，我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，我们可以得到矩阵A的n个特征值λ1,λ2,...,λn。
然后，我们针对每个特征值，求解对应的特征向量。
对于特征值λi，我们需要求解方程组(A-λiI)xi=0，其中xi为特征向量。
接着，我们将特征值和特征向量整理成特征对（λi,xi），并根据特征值的重数，将特征对进行分类。
对于每个特征值λi，如果其重数为r，那么我们可以得到r个线性无关的特征向量，构成一个r维的特征子空间。
这些特征子空间的维数之和等于矩阵A的阶数n。
接下来，我们需要将特征向量整理成一个矩阵P，其中P的列向量为特征向量。
然后，我们可以得到P^-1AP的形式，其中对角线上的元素为矩阵A的特征值，非对角线上的元素为零。
这就是矩阵A的标准型。
在实际操作中，我们可以利用计算机软件来求解矩阵的标准型，例如MATLAB、Python中的NumPy库等。
这些工具可以帮助我们快速准确地求解矩阵的标准型，节省大量的时间和精力。
最后，让我们通过一个实例来进一步理解求解矩阵的标准型的过程。
假设我们有一个3阶矩阵A如下：A = [[2, 1, 1],。
[0, 3, 1],。
[0, 1, 3]]首先，我们求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解特征方程det(A-λI)=0，我们可以得到特征值λ1=1，λ2=3，λ3=4。
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2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2
[31( )]
0
0
2 2
0
2
1 0 0
1 0 0
[12(1)] 0 2
[2,3] 0
2
0 2
0 2
1 0 0
1 0 0
[2(1)] 0
2
P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j())-1=P(i,j(-))
相抵（等价）
定义5 设A(), B() P[] mn，若A()经有限次行、列初等 变换化为B(),称A()与B()相抵（等价） ，记为A()B()
定理2 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件 是存在m阶初等矩阵P1(), P2(),… Pl(),与n阶初等矩阵 Q1(), Q2(),… Qt(), ，使得
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型
定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标
准型
d1()
d2()
0
A()
0
dr ()
0
di()为首项系数为1的多项式，且di() |di+1() 定义6 该标准型称为A()在相抵下的标准型或Smith标准型； 称smith标准型“主对角线”上非零元d1(),d2(),dr() 为A()的 不变因子
c 2 c 3
( 1 ) 2
( 1)
( 2 ) r2 r3
( 2 ) 1
( 1)
r 3 r 2
3 22 3
0
( 2 ) 1
( 1)
( 2 ) c 3 c 2
( 1)2
1
1
( 1)
( 1 ) 2
[32( )]
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0
0
3
0
0
3
不变因子： d1()
d2 ( )
d3( )
例2
(1)
A()
(1ห้องสมุดไป่ตู้2
将其化成Smith标准形。
( 1)
解：
A(
)
( 1 ) 2
( 1)
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
式因子
例1 求矩阵
(1)
A()
(1)2
的各阶行列式因子。
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
设矩阵A()的Smith标准形为
d1 ( )
dr ( )
0
0
其中di() (i=1,2…r)是首项系数是1的不变因子，
则A()的各阶行列式因子如下：
D1() d1()
D2() Dr ()
d1()d2() d1()d2()dr
()
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
矩阵的标准型分解
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
解 由于((+1)2,)=1,所以D1()=1
( 1) 0
0
2 ( 1) 1( ),
0 0 ( 1)2 ( 1)2 2( )
( 1) 0
0
( 1)2 ( 1)3 3 ( )
故D2( ) ( 1) 最后 D3() = det (A()) = 2(+1)3
行列式因子和不变因子的关系