矩阵分解
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵分解技术
矩阵分解技术
矩阵分解技术是一种数学方法，用于将一个大型矩阵分解成更小的矩阵。
这种技术可以应用于许多领域，例如图像和音频处理、机器学习和数据分析等。
其中最著名的矩阵分解技术是奇异值分解（SVD）。
SVD可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
这种分解能够捕捉矩阵的主要特征，从而提高数据的压缩和降维效果。
另外，矩阵分解技术还可以应用于推荐系统。
通过将用户评分矩阵分解成用户因子矩阵和物品因子矩阵，可以预测用户对未评分物品的评分值，从而提高推荐的准确性。
矩阵分解技术的应用还在不断扩展和深化，为各领域的研究和应用提供了一种有效的数学工具。
- 1 -。
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
矩阵分解方法
矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将一个大型矩阵分解成小矩阵的技术。
这种方法在数学、计算机科学、物理和化学等领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍这种技术的基本原理、常见方法以及应用案例。
一、基本原理矩阵分解技术的基本原理是将一个大型矩阵分解成小矩阵，这些小矩阵可以更容易地进行计算和存储。
通常情况下，矩阵可以分解成若干个子矩阵的乘积形式，即$A=BC$，其中$A$为大矩阵，$B$为左边的小矩阵，$C$为右边的小矩阵。
二、常见方法1.奇异值分解(SVD)奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个正交矩阵的乘积形式的方法。
其中一个正交矩阵包含了原矩阵的奇异值，而另外两个正交矩阵则包含了原矩阵的左右奇异向量。
这种方法在数据降维、信号处理、模式识别等领域得到了广泛的应用。
2.QR分解QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。
这种方法在线性代数、统计学、数值分析等领域得到了广泛的应用。
3.LU分解LU分解是一种将一个矩阵分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。
这种方法在求解线性方程组时得到了广泛的应用。
三、应用案例1.推荐系统推荐系统是一种基于用户历史行为和偏好的算法，通过对用户喜好和商品特征进行分析和预测，为用户推荐最可能感兴趣的商品。
矩阵分解技术可以对用户行为和商品特征进行分解，从而得到用户和商品的隐含特征向量，从而更好地实现推荐。
Netflix prize就是一个基于矩阵分解技术的推荐系统竞赛。
2.图像处理图像处理是一种将数字信号处理与计算机视觉相结合的技术。
在图像处理中，矩阵分解技术可以将图像矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现图像处理和压缩。
3.自然语言处理自然语言处理是一种将人类语言转化为计算机可处理的形式的技术。
在自然语言处理中，矩阵分解技术可以将句子矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现语言模型训练和文本分类。
综上所述，矩阵分解方法具有广泛的应用价值和理论意义，在学术界和工业界都得到了广泛的关注和应用。
矩阵分解稀疏矩阵
矩阵分解稀疏矩阵
矩阵分解是将一个矩阵分解为多个较小矩阵的过程。
稀疏矩阵是指大部分元素为0的矩阵。
在矩阵分解中，如果原始矩阵是稀疏矩阵，可以采取特殊的方法来处理。
一种常用的稀疏矩阵分解方法是SVD（奇异值分解）。
SVD
将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：U、S和V。
其中，U和
V是正交矩阵，S是对角矩阵，对角线上的元素被称为奇异值。
在稀疏矩阵分解中，可以限制奇异值的数量，从而保留最重要的特征，进一步减少稀疏矩阵的维度。
另一种常用的稀疏矩阵分解方法是NMF（非负矩阵分解）。
NMF将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积：W和H。
NMF的优势在于可以保证分解后的矩阵元素非负，适用于处
理非负数据，如图像和文本数据。
除了SVD和NMF外，还有其他一些方法可以用于稀疏矩阵
分解，如PCA、LDA等。
这些方法都可以根据实际问题的特
点选择合适的方法来进行稀疏矩阵的分解。
第3章 矩阵的分解
2,正规矩阵的基本特性 定理3 .78 定理3.10 (P.78 ) : A∈Cn×n正规A酉相似于对角形. 正规 酉相似于对角形.
推论:正规A 推论:正规A∈Cn×nA有n个标准正交的特征 向量构成空间C 的标准正交基. 向量构成空间Cn 的标准正交基.
定理3 11( .80 )(正规矩阵的谱分解 定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) 正规矩阵的谱分解) Hermite A正规A有如下谱分解: 正规 有如下谱分解: 性
已知:欧氏空间中的对称矩阵A 已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形. 相似于对角形. 讨论:一般方阵A 讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵? 酉相似于对角矩阵? 在内积空间中讨论问题,涉及: 在内积空间中讨论问题,涉及:
空间 Cn, Cn×n, 酉矩阵U 酉矩阵U,UHU=I, U – 1=UH U=I, 酉相似: 酉相似: UHAU=J U–1 AU=J 重点: 重点:理论结果
三角分解 满秩分解 等价标准形 相似标准形
可对角化矩阵的谱分解
一,矩阵的三角分解
方阵的LU和LDV分解 方阵的LU和LDV分解(P.61) 分解( .61
LU分解:A∈Fn×n, 存在下三角形矩阵L , LU分解: 存在下三角形矩阵L 分解 上三角形矩阵U 使得A=LU. 上三角形矩阵U ,使得A=LU. LDV分解 LDV分解:A∈Fn×n, L,V分别是主对角线 分解: 元素为1的下三角形和上三角形矩阵, 元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为 对角矩阵,使得A=LDV. 对角矩阵,使得A=LDV. 已知的方法:Gauss已知的方法:Gauss-消元法 例题1 .61eg1 例题1 (P.61eg1)设 2 2 3
A∈C m×n,AHA∈C n×n,AAH∈C m×m , A 都是Hermite矩阵 矩阵. 都是Hermite矩阵. 定理3 12 定理3.12(P.82)
矩阵论矩阵的分解
对称和反对矩称矩阵阵：A，T=A，则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题，涉及：
Hermite 矩阵的谱分解 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n，AT=–A，证明
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1， 2， ， s}。
74 ）对矩阵A Cn n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
nn LU分解：A Fn n， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论：正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明：源于Schmidt正交化方法（P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上 三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
矩阵分解的物理意义
矩阵分解的物理意义矩阵分解是线性代数中一个非常重要的概念，它在许多实际应用中都有着广泛的应用。
然而，矩阵分解的物理意义并不总是显而易见。
在本文中，我们将讨论矩阵分解的物理意义，并探索它在物理学中的应用。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《矩阵分解的物理意义》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《矩阵分解的物理意义》篇1首先，让我们考虑矩阵分解的最基本形式：LU 分解。
LU 分解将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，使得A=LU。
这个分解在许多实际应用中都有着重要的作用，例如在数值计算中求解线性方程组。
LU 分解的物理意义可以解释为：将一个线性变换表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这个线性变换可以看作是一个物理系统中的变换，而 LU 分解则提供了一种简单的方法来描述这个变换。
具体来说，假设我们有一个线性变换 A，它将一个 n 维向量 x 映射到一个 m 维向量 y。
那么，我们可以将这个变换表示为一个 n ×n 的矩阵 A，其中第 i 行第 j 列的元素表示将第 i 个基向量映射到第 j 个基向量的系数。
现在，我们可以通过 LU 分解将这个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，使得 A=LU。
下三角矩阵 L 表示了一个线性变换中的“位移”部分，它将一个基向量映射到另一个基向量，但不改变基向量的长度。
上三角矩阵 U 表示了一个线性变换中的“旋转”部分，它将一个基向量映射到另一个基向量，并改变基向量的长度。
在物理学中，LU 分解也有着广泛的应用。
例如，在力学中，LU 分解可以用来描述物体的运动和力学系统的变化。
下三角矩阵 L 可以表示物体的位移，而上三角矩阵 U 可以表示物体的旋转。
此外，LU 分解还可以用于计算机视觉中，用于求解图像处理中的线性方程组。
此外，矩阵分解还有另一种形式：QR 分解。
QR 分解将一个矩阵A 分解成一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R，使得 A=QR。
矩阵的分解
§1 矩阵的三角分解
一、n 阶方阵的三角分解
定义 1
正线上三角阵
a11 a12 0 a 22 R 0 0
a1n a2 n ann
单位上三角阵
1 a12 0 1 R 0 0
a1n a2 n 1
( i 1,2,, k )
的解空间Vi 称为A的对应于特征值 i的特征
空间，则Vi 的维数称为 A的特征值i的
几何重复度 定义 3 若矩阵A的每个特征值的代数重 复度
与几何重复度相等，则 称矩阵A为单纯矩阵
定理6 设 A C nn是单纯矩阵，则 A可分解
为一系列幂等矩阵 Ai (i 1,2,, n)的加权和，
a1 , a2 , , an 线性无关
正交化、单位化
a1 1 || a1 || i 1 ai ( ai , j ) j j 1 i i 2, 3, , n i 1 || ai (ai , j ) j || j 1
9 16 5 16
§2 矩阵的谱分解
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1 , 2 ,, k 是 A C nn 的相异特征值，
其重数分别为 r 1 , r 2 ,, rk , 则称 ri 为矩阵A的特
征值i的 代数重复度
定义 2 齐次方程组 Ax i x
的最大秩分解 .
~
2 1 3 4
2 1 3 4
解:
A
1 0 0 0
3 9 0 16 16 7 5 1 16 16 0 0 0 0 0 0
9 16 5 ~ A 16 0 0
第4章-矩阵分解
于是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或者 A P1B ． 将 P 1
分块为 P 1 (F , S ) ，其中
F C mr 且 rankF r ， S C m(mr) 且 rankS m r ，
则有
A P1B (F, S)G0 FG， 其中 F 是列满秩矩阵， G 是行满秩矩阵．
若 k 0 ，就取 k
1
kH k
k ，（ k
2,3,n) ．
可以验证 1, 2 , n 为“正交向量组”，且每个向量或为零向量， 或为单位向量．而且每个 j 是1, 2 j 的线性组合．反过来上述作 法也保证了每个 j 是 1 , 2 j 的线性组合．因此存在复数 rij 使得
P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 称为置换矩阵，这里 j1 j2 jn 是1,2,, n 的一个全排列．
0 0 1 0
例如，矩阵
P
(e3
,
e4
,
e1
,
e2
)
=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
就是一个
4
阶置换
矩阵．
置换矩阵 P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； （2）对任意 A C mn ， AP 是将 A 的列按 j1 , j2 ,, jn 的次序
1
P
1
A
P
0
r12 2
r n11n 1
r
n2 2n
n
0
b12
2
b1n
b2n
，
n
对给定的 0 ，可选择 r ，使得 bij 成立． 1i jn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 1 A 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1
0 2 1 2 4 5 1 6 5 2 2 8 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0
0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 2 5 0 0 0
0 2 1 1 1 2 ~ LU 0 1 1 0 0 1
0 2 0 0 ~ 继续分解成 LD 得出: 1 1 0 2 2 5
Department of Mathematics
和求解联立方程组。
Department of Mathematics
假定我们能把矩阵 A写成下列两个矩阵相乘的
形式： LU 其中L为下三角矩阵， 为上三角矩阵。 A U
这样,我们可以把线性方程组 Ax b 写成 Ax ( LU ) x L(Ux ) b
令 Ux y ,则原线性方程组 Ux y Ax b Ly b 于是可首先求解向量 然后求解Ux y ,
Department of Mathematics
例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 A 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
解答:容易判断出 A C343 即 A 是一个列满秩矩 阵。按照定理的证明过程， 将A 1 2 3 的三个列向量正交化与单位化 先得到一个正交向量组:
l43 a43 u13l41 u23l42 2
Department of Mathematics
l44 5
1 1 A 2 1 1 1 将L 2 1
0 2 1 1 1 2 4 5 1 6 5 2 2 2 8 1 0 0
mn
，那么存在 B Cr
m r
, C Cr
r n
使得： A BC 其中 B 为列满秩矩阵， C 为行满秩矩阵。我们成 此分解为矩阵的满秩分解。
Ir D 证明：假设矩阵 A 的前 r 个列向量是线性无关的， 0 0 对矩阵 A 只实施行初等变换可以将其化成
r
[1 , 2 ,, m ] [ 1 , 2 ,, m ]R 一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正
由前面学的定理有： A (1 , 2 ,, r ) R
U (1 , 2 ,, r ) ,则 U H U I 记:
于是: A UR , U U rnr,下面证明分解是唯一的
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics
第 四 章
矩阵的分解
Department of Mathematics
§4.1矩阵的三角分解
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解
成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上 三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分 解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一 个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，
~
证明:
~ A LU
~ 设: A LU
~ L ( l ij )nn , ( l ij 0 , i j )
U ( uij )nn , ( uij 0 , i j )
Department of Mathematics
~ 思 路 通过比较法直接导出 L 和 U 的计算公式。
y 使 Ly b
从而达到求解线性方程组 Ax b 的目的.
Department of Mathematics
定义：设 A C nn若 使得: A 其中:
L C
nnபைடு நூலகம்
U C
nn
LU 称 A可以作三角分解
u1 n u2 n unn
u11 u12 l11 u22 l21 l22 U L ln1 ln 2 lnn
T T
1 1 1 3 1 2 2 3 3
Department of Mathematics
再将其单位化，得到一组标准正交向量组
2 1 1 1 2 1 6 2 2 2 6 1 3 3 3 3 6 1 2 2 6 6 3 6 0 0 6 3 3 6
1 1 2 1
0 2 1 l11 l 2 4 5 21 1 6 5 l 31 2 2 8 l41
0 l 22 l 32 l42
0 0 l 33 l43
0 1 u12 0 0 1 0 0 0 l44 0 0
u13 u23 1 0
u14 u24 u34 1
Department of Mathematics
由此: l11 1, l 21 1, l 31 2, l41 1
l11u12 0 u12 0 , u13 2, u14 1 l 21u12 l 22 2 l 22 2 l 21u12 2
酉阵的集合记为： rnr (U rr n ) U
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。
A C rnr ，那么 定理2: 设
称为A的UR分解
A 可唯一地分解为
A UR
其中：U U rnr ， R 为正线上三角阵
Department of Mathematics
0 2 1 1 1 2 ~ ~ L DU 0 1 1 0 0 1
Department of Mathematics
§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 A C rnr (C rrn ) ,若 A H A I ( AAH I )
则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次
T
0
T
3 2
T
Department of Mathematics
这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系
可表示成
1 21
6 2 2 2 1 2 2 2 3 6 2 3 3 2 1 3 6 2
Department of Mathematics
将上面的式子矩阵化，即为
A 1 2 0 0
2
2 2 6 2 0
3 1 2
2 2 6 UR 6 2 3 3
3
Department of Mathematics
练习: 求下列矩阵的正交三角分解
Department of Mathematics
n 定理 : A Cn n可作唯一三角分解 A LU 的充要条件为:
k 0 k 1, 2,, n
其中: k det Ak 为 A 的顺次主子式 记:
1 l 21 ~ L . l n1 1 ... ... 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 于是: U 1U InnRR 1 I ,从而 U U , R R 推论2: 设 A C n ，那么 A 可唯一地分解为 r n 推论1: 设 A C r A UR 可唯一地分解为 ，那么 A
A n ， 其中：U U n nLU R为正线上三角阵 U U rr n ， L 为正线下三角阵 其中：
Department of Mathematics
1 1 1 1 0 0
T
( 2 , 1 ) 1 2 2 1 2 1 (1 , 1 ) 2 1 2 1 1 0 2 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 2 3 1 2 (1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 1 3 1 1 3
a11 a12 a a 21 22 A a n1 a n 2
a1n 1 a2 n l 21 1 ann l n1 1
min( i , j )
u11 u12 u22
D 为对角阵
定理:(Cholesky分解 ) 正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为:
A LL
H
其中, L 为正线下三角,即对角线的元素均为正的
Department of Mathematics
~ ~ 分解 例1:求A的Crout分解和 L DU
解答:设 A LU ,即:
1 0 2 1 1 2 4 5 A 2 1 6 5 1 2 2 8
1 u12 1 ~ U
u1 n u2 n 1
Department of Mathematics
~ 则 A LU 为 Crout 分解 ~ 而 A L U 为 Doolittle 分解
L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称 为Crout 分解。 ~ L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解 称为Doolittle分解
4 u13l 21 u23 1 l 22
l 32 a32 u12l 32 1 0 1 l 33 a33 u13l 31 u23l 32 1
a34 l 31u14 l 32u24 u34 1 l42 a42 u12l41 2 l 33
Department of Mathematics
ˆˆ 假设: A UR UR,那么有: ˆ ˆ U 1U RR 1
ˆ ˆ 注意到 U 1U AT C rrn ,,则 AT UR 1 U U rnr 证明:因为 仍是酉矩阵，而 RR , 是一个正线 上三角矩阵，因此有:U T U rn 所以, A RT U T , r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (U 1U )(U 1U ) H (U 1U )U H (U 1 ) H U 1U I