矩阵特征值分解和奇异值分解共15页
矩阵的特征分解和奇异值分解
矩阵的特征分解和奇异值分解在线性代数中，矩阵的特征分解和奇异值分解是两种重要的分解方法。
特征分解可以将一个方阵分解为特征向量和对应的特征值，而奇异值分解则适用于非方阵，将矩阵分解为奇异向量和对应的奇异值。
本文将详细介绍这两种分解方法的原理和应用。
一、特征分解特征分解是将一个方阵分解为特征向量和对应的特征值的过程。
对于一个n阶方阵A，存在特征向量x和对应的特征值λ，使得满足下式：Ax = λx其中λ是一个标量，x是非零向量。
特征分解的步骤如下：1. 求方阵A的特征多项式：先计算A减去λ乘以单位矩阵I的行列式，得到特征多项式。
2. 求特征多项式的根：解特征多项式的方程，得到所有特征值λ。
3. 求特征向量：对每个特征值λ，带入原方程组(A-λI)x = 0，求解齐次线性方程组，得到特征向量x。
4. 归一化特征向量：对每个特征值对应的特征向量进行归一化处理。
特征分解是一种重要的矩阵分解方式，可以用于求解线性方程组、矩阵运算和特征值问题等。
特征分解的结果可以提供矩阵的基本性质和结构信息。
二、奇异值分解奇异值分解是将一个m×n矩阵分解为奇异向量和对应的奇异值的过程。
对于一个m×n矩阵A，存在奇异向量u和v以及对应的奇异值σ，使得满足下式：Av = σu其中σ是一个非负标量，u和v是非零向量。
奇异值分解的步骤如下：1. 求矩阵A的转置矩阵A'的乘积AA'的特征值和对应的特征向量。
2. 求矩阵A的乘积A'A的特征值和对应的特征向量。
3. 计算奇异值：将特征值开根号得到矩阵A的奇异值。
4. 求解奇异向量：将特征向量与奇异值对应，得到矩阵A的奇异向量。
奇异值分解是一种常用的矩阵分解方法，它能够提取矩阵的结构信息和重要特征。
奇异值分解在信号处理、图像压缩、数据降维和推荐系统等领域得到广泛应用。
三、特征分解与奇异值分解的比较特征分解和奇异值分解都是将矩阵分解为向量和标量的过程，但它们的目的和应用场景有所不同。
奇异值分解
H
03 H X 01
(6.3.8)
利用式（6.3.4），不难证明
(6.3.9)
类似的其向量形式为 •
(6.3.10)
6.3.2 奇异值分解与特征值分解的关系
• 由于YHY=YYH=I,式6.3.1可以改写成
（6.3.11）
(6.3.12)
• 所以
T H 03 H 0 H 2 A A X T T Y Y X 0 2 01 0 3 01
i
(i 1,2, , r )
为矩阵A的正奇异值，简称奇异 值。
矩阵奇异值分解定理
对任意复矩阵 A C , L=N-M+1,秩为K，那么存在酉矩阵X C MXM 和 酉矩阵 Y C LXL ，使得
LXM
其中
diag 1， 2， .... K
是A的全部非零奇异值，而01，02，03分 别是（L-K)X(M-K),(L-K)XK，KX(M-K)的零矩阵。式6.3.1称为矩阵A 的奇异值分解。
• AHA是非奇异的
• 由于 AH A C MXM 是非奇异的，即AHA的秩K=M,则AHA有M个非零特征值， 或矩阵A有M个非零奇异值。此时式（6.3.11）可表示为 H A Y X 0
， M )而 • 其中，0是（L-M)XM的零矩阵， diag( 1， 2，
ˆ 的范数最小，等价于使z的范数最小。由于z是由确定量z1 这就是说，要使 w 和任意量z 2 构成的，如式（6.3.23）所示，所以，当且仅当分量z 2 =0时，向 量z的范数最小，此时的范数也将取得最小值。
• 令 •
，得方程的解为 （6.3.30）
• 利用式 得 • 将上式代入（6.3.30）得
矩阵的“特征值分解”和“奇异值分解”区别
矩阵的“特征值分解”和“奇异值分解”区别在信号处理中经常碰到观测值的⾃相关矩阵，从物理意义上说，如果该观测值是由⼏个（如 K 个）相互统计独⽴的源信号线性混合⽽
成，则该相关矩阵的秩或称维数就为 K，由这 K 个统计独⽴信号构成 K 维的线性空间，可由⾃相关矩阵最⼤ K 个特征值所对应的特征向量或观测值矩阵最⼤ K 个奇异值所对应的左奇异向量展成的⼦空间表⽰，通常称信号⼦空间，它的补空间称噪声⼦空间，两类⼦空间相互正交。
理论上，由于噪声的存在，⾃相关矩阵是正定的，但实际应⽤时，由于样本数量有限，可能发⽣奇异，矩阵条件数⽆穷⼤，造成数值不稳定，并且⾃相关矩阵特征值是观测值矩阵奇异值的平⽅，数值动态范围⼤，因⽽⼦空间分析时常采⽤观测值矩阵奇异值分解，当然奇异值分解也可对奇异的⾃相关矩阵进⾏。
在⾃相关矩阵正定时，特征值分解是奇异值分解的特例，且实现时相对简单些，实际中，常采⽤对⾓加载法保证⾃相关矩阵正定，对各特征⼦空间没有影响。
在信号处理领域，两者都⽤于信号的特征分析，但两者的主要区别在于：奇异植分解主要⽤于数据矩阵，⽽特征植分解主要⽤于⽅型的相关矩阵。
矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解
矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解矩阵特征分解是一种常见的矩阵分解方法，用于计算矩阵的特征值和特征向量。
而奇异值分解也是一种重要的矩阵分解技术，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
本文将详细介绍矩阵特征分解和奇异值分解的原理以及其在计算机科学和工程领域中的应用。
一、矩阵特征分解矩阵特征分解是一种将一个方阵分解为特征向量和特征值的方法。
对于一个n × n的方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax = λx，那么x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量和特征值是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。
特征分解的过程可以表述为：A = QΛQ^(-1)，其中Q是一个由特征向量构成的矩阵，Λ是一个对角阵，对角线上的元素是A的特征值。
矩阵特征分解在很多领域都有广泛的应用，比如在物理学中用于描述振动模式，化学中用于描述分子的电子云运动，图像处理中用于特征提取和图像压缩等。
二、奇异值分解奇异值分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。
对于一个m × n的矩阵A，它的奇异值分解可以表述为：A = UΣV^T，其中U是m × m的正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素是矩阵A的奇异值，V^T是n × n的正交矩阵的转置。
奇异值分解广泛应用于数据降维、图像压缩和推荐系统等领域。
在数据降维中，通过保留较大的奇异值可以有效地提取出重要的特征，减少数据的维度；在图像压缩中，利用奇异值分解可以将图像矩阵分解为若干个部分，其中一部分的奇异值较大，可以用于恢复图像的大部分信息。
三、特征分解与奇异值分解的联系和区别虽然特征分解和奇异值分解都为矩阵分解的方法，但两者在应用场景和结果解释上有所不同。
特征分解更适用于方阵，可以得到矩阵的特征向量和特征值，用于描述矩阵的振动模式、电子云运动等。
而奇异值分解适用于任意矩阵，可以得到矩阵的奇异值和正交矩阵，常用于数据降维和图像压缩。
Matrix3-2矩阵的奇异值分解
左奇异向量
V=[v 1，v2，…，vr ，… ，v n] =[V1 V2]∈C n×n的列向 量是空间C 的标准正交基。 量是空间C n的标准正交基。 U=[u 1，u2，…，ur ，… ，u m] =[U1 U2]∈C m×m的列 向量是空间C 的标准正交基。 向量是空间C m的标准正交基。
U1 的列向量是R(A)的标准正交基。 的列向量是R(A)的标准正交基 的标准正交基。 U2的列向量是R ⊥ (A)的标准正交基。 的列向量是R (A)的标准正交基 的标准正交基。 右奇异向量 V2的列向量是空间N(A)的标准正交基。 的列向量是空间N(A)的标准正交基 的标准正交基。 V1的列向量是空间 N ⊥ (A) 的标准正交基。 的标准正交基。
2. 奇异值的定义：(P.197) 奇异值的定义： A∈C m×n，秩(A)=r，设AHA的特征值λ1 ≥ λ2 ≥… ≥ )=r， 的特征值λ λr > 0，λr+1= λr+2 =…=λ n =0.，则矩阵的奇异值 =0.
σi = λi , i =1,2,...,r.
3. 特殊矩阵的奇异值： 特殊矩阵的奇异值：
σr
0
0
O
σr
证明思想： 证明思想： 2 ∆ ，⇒酉矩阵V。 AHA正规，VHAHAV= 正规， 酉矩阵V 0
• 令 ui =
Avi
σi
，i=1，2，…，r，得U1=[u1，u2， … ，ur] =1， 扩充为标准正交基 ⇒酉矩阵U。 酉矩阵U
二、矩阵的奇异值分解
1. 定理3.14 定理3 14(P.201)
任何矩阵A 任何矩阵A∈C m×n，秩(A)=r，则存在酉矩阵 (A)=r， U∈C m×m，V∈C n×n，使得 σ1 σ1 σ σ2 H 0 2 A =U V ∆ = O
大学《统计学习方法》第2版教学课件-第15章 奇异值分解
《统计学习方法》第2版
第十五章 奇异值分解
定义与定理
定义与定理
•
：矩阵A的奇异值分解（singular value decomposition,
SVD)
• ：矩阵 A的奇异值（singular value)
• U的列向量：左奇异向量（left singular vector)
• V 的列向量：右奇异向量（right singular vector)
• 注意奇异值分解不要求矩阵A是方阵，事实上矩阵的奇异值分解 可以看作是方阵的对角化的推广。
例
• 给定一个5x4矩阵A
例
• 它的奇异值分解由三个矩阵的乘积 给出
例
• 矩阵 是对角矩阵，对角线外的元素都是0，对角线上的元素 非负，按降序排列。
• 同样，若P是n阶正交矩阵，则有 •故 •即
矩阵的最优近似
• 奇异值分解是在平方损失弗罗贝尼乌斯范数）意义下对矩阵的最 优近似，即数据压缩。
矩阵的最优近似
15.32 15.33
矩阵的最优近似
• 证明
•令
为满足式（15.32）的一个矩阵。由于
• 下面证明
于是式（15.33）成立
矩阵的最优近似
的列空间是相同的， v1, v2, …, vr是AT的一组标准正交基，因 而也是R(AT ）的一组标准正交基。
标准性质
• 矩阵A的n-r个右奇异向量vr+1,vr+2, …,vn构成A的零空间N(A)的一 组 标准正交基。
• 矩阵A的r个左奇异向量u1, u2, …, ur构成值域R(A）的一组标准 正交基。
• Ur： m x r 矩阵 • Vr： n x r 矩阵 • ： r阶对角矩阵
矩阵的特征值分解和奇异值分解
矩阵的特征值分解和奇异值分解矩阵的特征值分解和奇异值分解是线性代数中非常重要的理论和方法。
它们在很多领域都有着广泛的应用，如机器学习、图像处理、信号处理等。
本文将详细介绍矩阵的特征值分解和奇异值分解的概念、计算方法以及应用。
一、特征值分解（Eigenvalue Decomposition）特征值分解是将一个矩阵分解为可对角化的形式，其中对角线上的元素为特征值，对应的非零特征值所对应的特征向量构成的集合构成了矩阵的特征向量矩阵。
特征值分解可以表示为以下形式：A = PDP^{-1}其中，A是一个n×n的矩阵，P是一个由特征向量构成的矩阵，D 是一个对角阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
特征值分解可以用于解决线性方程组、矩阵对角化、矩阵幂的计算等问题。
它在降维、特征提取、谱聚类等领域也有广泛的应用。
二、奇异值分解（Singular Value Decomposition）奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，形式如下：A = UΣV^T其中，A是一个m×n的矩阵，U是一个m×m的酉矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，对角线上的元素称为奇异值，V是一个n×n的酉矩阵的转置。
奇异值分解是一种对矩阵进行降维和压缩的方法。
它可以用于最小二乘问题的求解、图像压缩、特征提取等领域。
在机器学习中，奇异值分解也常用于主成分分析（PCA）方法。
三、特征值分解与奇异值分解的计算特征值分解的计算比较复杂，需要求解矩阵的特征多项式，然后通过求解特征多项式的根来得到特征值和特征向量。
对于大规模矩阵，特征值分解计算的时间复杂度较高。
奇异值分解的计算相对简单，可以通过多种算法来实现，如Jacobi迭代法、分裂法等。
在实际应用中，大部分计算都是基于奇异值分解来进行的。
四、特征值分解与奇异值分解的应用特征值分解和奇异值分解在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 图像处理和压缩：奇异值分解可以用于图像压缩，通过取前k个奇异值实现图像的降维和压缩。
第二章矩阵分解4 矩阵的奇异值分解
1 2 的奇异值分解. 例10 求矩阵 A = 0 0 的奇异值分解 0 0
解: 可以求得矩阵
1 2 1 2 1 0 0 H A A= 2 0 00 0 = 2 4 0 0
对应的特征向量可取为 λ1 = 5, λ2 = 0 ,对应的特征向量可取为
1 1 6 2 1 2 1 1 1 0 − 3 = 2 6 2 0 1 2 0 0 6
V1 = ，
1 6 1 6 2 6
1 2 1 − 2 0
λ1 Σ 2 O H H ⋱ V ( A A)V = = O O λn
或
Σ 2 O AH AV = V O O
其中: 其中
λ1 2 Σ = ⋱ λr
设V有分块形式 有分块形式
阵的充要条件A是为正规矩阵 阵的充要条件 是为正规矩阵. 是为正规矩阵
二.矩阵的奇异值分解 矩阵的奇异值分解
现在开始论述矩阵的奇异值分解。 现在开始论述矩阵的奇异值分解。 定义2.21 设 A∈Cr m×n (r > 0) ，AH A 定义 的特征值为 的奇异值； 则称σi = λi (i = 1,2,⋯, n) 是A的奇异值；规定零矩阵 的奇异值 的奇异值 规定零矩阵0的奇异值 都是0. 都是 定理2.9 设 A∈C m×n (r > 0), 则存在 阶酉矩阵 和n阶酉 则存在m阶酉矩阵 阶酉矩阵U和 阶酉 定理 r 矩阵V,使得 矩阵 使得
，
1 0 1 例11 设矩阵 A = 0 1 1 0 0 0
，求它的奇异值分解. 求它的奇异值分解
1 1 1 x1 = 1, x2 = −1, x3 = 1 2 0 −1
Matrix3-2
二、矩阵的奇异值分解
1、定理3.14 定理3 14（P.83）
任何矩阵A 任何矩阵A∈C m×n，秩（A）=r，则存在酉矩 阵 U∈C m×m，V∈C n×n，使得 σ1 σ1 σ σ2 2
0 H ∆= V ⋱ σr 0 0 证明思想： 证明思想： ∆2 AHA正规，VHAHAV= 正规， 酉矩阵V 0 ，⇒酉矩阵V。 Avi ，i=1，2，…，r，得U1=[u1，u2， … ，ur] •令 =1， u = A =U
压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的 奇异值分解和矩阵范数下的逼近。 奇异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数 字矩阵A的奇异值分解为：A=UΣ 其展开式： 字矩阵 A的奇异值分解为 ： A=UΣVT， 其展开式：
A = σ u v +σ u v +⋯+σ u v
H 1 1 1
A = σ u v +σ u v +⋯+σ u v
H r r r
例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解 例题 图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解
计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化 存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。 存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。 转换的原理是将图形分解成象素（pixels） 转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一 个矩形的数阵， 个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵 A=（a ij）m×n来存储。矩阵A的元素a ij是一个 A=（ 来存储。矩阵A的元素a 正的数，它相应于象素的灰度水平（ level） 正的数，它相应于象素的灰度水平（gray level） 的度量值。 的度量值。 由于一般来讲， 由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度 水平值， 水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的 条件下，将存储一个m 条件下，将存储一个m×n阶矩阵需要存储的 m×n个数减少到n+m+1的一个倍数。 个数减少到n+m+1的一个倍数 的一个倍数。
矩阵的奇异值分解
非对称矩阵分解
非对称矩阵的特征值分解
对于非对称矩阵，其特征值可能是复数，因此不能直接进行实数域上的特征值分 解。但是，可以通过引入复数域上的特征向量和特征值，将非对称矩阵分解为复 数域上的特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积。
非对称矩阵的奇异值分解
对于任意实非对称矩阵，都可以进行奇异值分解，即$A = USigma V^T$，其中 $U$和$V$是正交矩阵，$Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的奇异值。 非对称矩阵的奇异值分解在数据降维、图像处理等领域有广泛应用。
通信信道均衡策略
信道均衡原理
在通信系统中，信道均衡是一种用于补偿信道失真、提高通信质量的技术。奇异值分解可用于信道均衡中的信道 矩阵分解，从而实现对信道特性的准确估计和补偿。
基于奇异值分解的信道均衡算法
利用奇异值分解对信道矩阵进行分解，根据得到的奇异值和左右奇异向量设计均衡器，实现对信道失真的有效补 偿。
3
个性化推荐
结合用户历史行为数据和相似度计算结果，为用 户推荐与其兴趣相似的物品或服务。
05 奇异值分解在信号处理和 通信中应用
信号降噪与重构技术
基于奇异值分解的信号降噪
利用奇异值分解能够将信号分解为多个独立成分的特点，对含噪信号进行降噪处理，提高信号质量。
信号重构技术
通过保留奇异值分解得到的主要成分，对信号进行重构，实现信号的压缩和恢复。
特殊类型矩阵分解
正定矩阵的Cholesky分解
对于正定矩阵，可以进行Cholesky分解，即$A = LL^T$，其中$L$是下三角 矩阵。Cholesky分解在求解线性方程组、最优化问题等场景中具有重要作用。
稀疏矩阵的分解
对于稀疏矩阵，可以采用特定的分解方法，如LU分解、QR分解等，以便更有效 地进行存储和计算。这些分解方法在数值计算、科学计算等领域有广泛应用。