矩阵特征值的计算
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。
定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。
二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。
以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。
1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。
首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。
然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。
最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。
雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。
但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。
2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
首先，随机选择一个非零向量b作为初值。
然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。
最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。
幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。
然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。
三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。
特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。
通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。
2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。
谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。
【精品】矩阵特征值计算
【精品】矩阵特征值计算矩阵特征值计算是线性代数中的重要内容之一，它是研究矩阵的性质和分析矩阵的重要工具。
下面我们将详细介绍矩阵特征值的概念、计算方法和应用。
一、矩阵特征值的概念矩阵特征值是指一个矩阵对应于某个非零向量，使得该向量的线性组合与该向量的数量乘积相等，即Ax=kx，其中x为非零向量，k为特征值。
可以发现，矩阵特征值是一种特殊的线性变换，它将一个向量变换为与其数量乘积相等的另一个向量。
二、矩阵特征值的计算方法矩阵特征值的计算方法有多种，其中比较常用的有幂法、逆矩阵法和行列式法。
1.幂法幂法是一种通过不断将矩阵自乘来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的n次幂的特征值就是k的n次方。
具体来说，我们可以从1开始逐渐乘以矩阵A，直到得到一个与原始矩阵相同的矩阵为止，这时得到的乘积就是矩阵A的特征值。
2.逆矩阵法逆矩阵法是一种通过计算逆矩阵来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的逆矩阵的特征值就是1/k。
具体来说，我们可以先计算出矩阵A的逆矩阵，然后再计算逆矩阵的特征值，得到的结果就是矩阵A的特征值。
3.行列式法行列式法是一种通过计算行列式来计算特征值的方法。
它的基本思想是，如果矩阵A的特征值为k，那么A的行列式的特征值就是k的阶乘。
具体来说，我们可以先计算出矩阵A的行列式，然后再计算行列式的特征值，得到的结果就是矩阵A 的特征值。
三、矩阵特征值的应用矩阵特征值在许多领域都有广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景：1.判断矩阵是否可逆如果矩阵A的特征值均为非零，则A可逆；如果存在一个特征值为零，则A不可逆。
因此，通过计算矩阵的特征值，可以判断该矩阵是否可逆。
2.求解线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果A存在特征值k，且k不为0，那么可以通过将方程组转化为(A/k)x=b的形式来求解x。
这是因为(A/k)x=b等价于Ax=(k/k)x=b，也就是说(A/k)x=b有解当且仅当Ax=b有解。
矩阵特征值快速求法
矩阵特征值快速求法矩阵特征值是矩阵分析中十分重要的概念。
它在物理、工程、数学等许多领域都有着广泛的应用。
矩阵特征值是指矩阵运动时特殊的运动状态，是一种宏观量度矩阵运动的指标。
求解矩阵特征值是一项复杂的任务，通常需要使用高级算法来完成。
本文将介绍几种常用的求解矩阵特征值的算法，其中包括幂法、反幂法、QR算法、分裂Broyden算法等。
一、幂法幂法是求解矩阵特征值的一种基础算法，其基本思想是通过迭代来逐步逼近矩阵的最大特征值。
幂法的核心公式如下：x_(k+1)=A*x_k/||A*x_k||其中，x_k表示第k次迭代中得到的特征向量，A表示原始矩阵。
幂法通过不断的迭代来逼近A的最大特征值，当迭代次数趋近于无限大时，得到的特征向量就是A的最大特征值所对应的特征向量。
幂法的运算量较小，适用于比较简单的矩阵。
反幂法与幂法类似，不同之处在于每次迭代时采用的是A的逆矩阵来进行计算。
其核心公式如下：x_(k+1)=(A-λI)^(-1)*x_k其中，λ表示要求解的特征值。
反幂法能够求解非常接近于特征值λ的特征向量，并且对于奇异矩阵同样适用。
需要注意的是，在实际计算中，如果A-λI的秩不满，那么反幂法就无法使用。
三、QR算法1. 将原矩阵A进行QR分解，得到A=Q*R。
2. 计算A的近似特征矩阵A1=R*Q。
5. 重复步骤3-4，直到A的对角线元素全部趋近于所求特征值为止。
QR算法的计算量较大，但其具有收敛速度快、精度高等优点，广泛应用于科学计算中。
四、分裂Broyden算法分裂Broyden算法是QR算法的一种改进算法，其基本思想是将矩阵分解成上下三角形式，然后再对其进行QR分解，以减少QR算法中的乘法运算量。
具体实现过程如下：2. 构造一个倒数矩阵B=U^(-1)*L^(-1)。
4. 计算A的近似特征矩阵A1=Q^(-1)*L^(-1)*A*R^(-1)*U^(-1)*Q。
分裂Broyden算法的计算量较小，能够有效地解决QR算法中的乘法运算量过大的问题。
矩阵特征值的求法举例
矩阵特征值的求法举例
矩阵的特征值是线性代数中一个非常重要的概念，它对于矩阵的性质和求解问题具有
重要意义。
特征值是一个数，它可以通过解一个特征方程来求得，特征方程是一个关于特
征值的多项式方程。
下面我们将通过几个具体的例子来介绍矩阵特征值的求法。
假设我们有一个2×2矩阵A，其元素如下所示：
A = |a b|
|c d|
我们希望求解矩阵A的特征值。
我们将矩阵A减去一个单位矩阵的倍数，得到新的矩阵B：
B = A - λI
λ是一个未知的数，I是单位矩阵。
具体地，我们有：
接下来，我们需要求解特征方程，即求解方程|B| = 0。
|a-λ b | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0
|c d-λ|
展开计算得到：
这个二次方程就是特征方程。
根据一元二次方程的求解公式，我们有：
λ = [(a+d) ± √((a+d)^2 - 4(ad-bc)) ] / 2
这里，√表示开方。
通过求解该二次方程，我们就能够求得矩阵A的特征值。
具体的计算过程比较复杂，可以使用数值方法（如牛顿法）来求解，或者使用专门的
软件工具进行计算。
总结：
通过以上两个例子，我们可以看到求解矩阵特征值的过程其实就是求解一个代数方程
的过程。
对于小规模的矩阵，我们可以通过手工计算来得到特征值，但对于大规模的矩阵，
通常需要借助计算机来进行计算。
矩阵特征值的求法对于理解和应用线性代数有着重要的意义，它在很多领域（如数学、物理、金融等）中都有广泛的应用。
矩阵特征值计算公式(二)
矩阵特征值计算公式(二)矩阵特征值计算公式什么是矩阵的特征值？矩阵在线性代数中起到非常重要的作用，其中一个重要的概念就是矩阵的特征值。
矩阵的特征值可以用来描述矩阵在变换中的行为，是一种非常重要的指标。
简单来说，矩阵的特征值是指在某个矩阵变换下，仍保持原向量方向的特定向量。
矩阵特征值计算公式计算矩阵的特征值通常使用特征多项式方法。
特征多项式是一个关于变量λ 的多项式，其次数等于矩阵的阶数 n。
根据特征多项式，可以得到矩阵的特征值。
以下是计算矩阵特征值的公式：1.特征多项式公式：|A−λI|=0–其中 A 表示待求特征值的矩阵，λ是特征多项式的根，I 是单位矩阵。
–|A−λI|表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。
–解上述方程，即可得到矩阵 A 的特征值。
2.特征值计算公式：det(A−λI)=0–其中det表示行列式，A 表示待求特征值的矩阵，λ是特征值，I 是单位矩阵。
–det(A−λI)表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。
–解上述方程，即可得到矩阵 A 的特征值。
计算特征值的例子假设有一个 2x2 的矩阵 A，其元素为：A = [[2, 5], [1, 3]]我们可以按照上述公式计算矩阵 A 的特征值。
1.通过特征多项式公式计算特征值：–|A−λI|=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。
–根据上面的矩阵 A，我们得到公式：|(2−λ)(3−λ|=0–化简求解得：λ2−5λ+1=0–解上述方程得到两个特征值：$_1 $ 和 $_2 $2.通过特征值计算公式计算特征值：–det(A−λI)=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。
–根据上面的矩阵 A，我们得到公式：det[2−λ513−λ]=0–化简求解得：(2−λ)(3−λ)−(1)(5)=0–解上述方程得到两个特征值：$_1 $ 和 $_2 $ 综上所述，根据矩阵 A 的特征多项式或特征值计算公式，我们可以得到矩阵 A 的特征值。
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
矩阵的特征值计算
矩阵的特征值计算
矩阵的特征值在线性代数中起着重要的作用，它不仅与矩阵的本质特
性有关，也是各种计算任务的基础。
一、什么是矩阵特征值？
矩阵的特征值是指矩阵在一定条件下满足的特定方程的解，也可视为
一个复数。
（lambda - λ）
二、如何计算矩阵特征值？
通常有以下两种方法：
1. 主对角线法：通过找到一个行列式，然后求解其根，即可得到矩阵
的特征值。
该方法的优点是易于计算和理解，但对于复杂的矩阵计算
较为繁琐。
2. 幂法：通过不断迭代一个向量和矩阵的乘积，从而得到矩阵的特征值。
该方法的优势在于能够处理大型矩阵，同时也能计算复数特征值。
三、矩阵特征值的应用
通过矩阵的特征值计算，可以进行以下应用：
1. 求解线性方程组，例如：Ax=b，其中A为矩阵，b为向量。
2. 深度学习中的主成分分析（PCA）算法，通过计算特征向量和特征值，对高维数据进行降维处理。
3. 常用于计算机图像处理，通过计算特征向量和特征值，进行图像压缩、模式识别等操作。
四、总结
矩阵的特征值计算是线性代数的重要内容，通过计算特定的方程组，可以得到矩阵的特征值和特征向量，从而应用于各种计算任务中。
选用主对角线法或者幂法进行计算，根据实际需要选择适当的方法。
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其中 j 1,2,, n 2
• 通过（n-2）次变换，可以约化为三对角阵。
18
Householder 变换
例 2 对例1中的矩阵，用Householder 变换约化为三对角阵。
k 1 ，得向量 xT (1,2,1,2) 解： ，因此
1 1/ 2 s [2 (1,2) 2 ] 3
3 0 0 1 3 2 . 3333 0 . 4472 0 . 1491 A3 G2,4, A2G T (2,4, ) 0 0.4472 2 1 0 0.1491 1 0 . 3333
0 0 0 0.6667 1 0 0 0.7475
换 H，使得
Hx = e1
其中 = sgn(x1)||x||2, e1= (1, 0, ..., 0)T ，H
uuT
u x e1 ( x1 )
I
的选取是为了防止在实际计算中 与 x1 互相抵消 若 x1=0, 则取 = ||x||2
17
1 T G G (2) 正交：
(3) 如果A是对称阵，则GAGT也是对称阵 (4) 用 G 左乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两行的值 (5) 用 G 右乘一个矩阵时，只改变该矩阵中两列的值
7
Givens 变换
定理：设 x = (x1, ..., xi , ... , xj , ... , xn)T，且 xi , xj 不全为零，
w2 (0,0,0.99751 ,0.07199 )T 3 0 1 2.3333 0.4714 3 A3 0 0.4714 1.1667 0 0 1.5000
0 0 1.5000 0.5000
20
• 当矩阵比较稠密时，具有更高的效率
19
Householder 变换
3 0 0 1 7 7 1 3 3 15 15 T 7 118 101 A2 H1 A1 H 1 0 15 75 75 1 101 7 0 15 75 75 7 7 1 7 1 k 2, xT (3, , , ) x3 , y 3 15 15 15 15 7 2 1 1 12 7 s [( ) ( )( )] 0.4713 v3 s 0.9310 15 15 15 15
10
Givens 变换
由 A2，令
i 2, j 4, tan a14 2 , cos 0.7454 0.8944 ，得 sin 0.6667 a12 2.2361
则
0 1 0 0.7475 G (2,4, ) 0 0 0 0.6667
a12 sin a13 cos a22 sin a23 cos a23 sin a33 cos
0
5
Givens 变换
定义：称矩阵 i j
i
j
为 Givens 变换，或 旋转变换。
6
Givens 变换
性质
(1) 只有四个元素与单位矩阵不同
(2) Givens变换：Ak 1 G Ak GT 。经过变换可以把
k 1,2, , 1 (n 1)(n 2) 2
ai (i m) ai (i 1)
(i 2, i), (i, i 2), (i 3, i), (i, i 3),...,(n, i), (i, n) 上的元素化为0。
0 cos sin
0 sin cos
a13 a12
a11 GA a12 cos a13 sin a sin a cos 13 12
令 tan
0
a11 AGT a12 a 13
a12 cos a13 sin a22 cos a23 sin a23 cos a33 sin
其特征多项式
pn ( ) det(I C )
c1
b1
b1
c1
b2 bn 2
c1
bn 1
bn 1
c1
多项式序列 { pn ( )}是一个Sturm序列。应用Sturm定 理，可以求出在 ( , ) 内实根的个数和隔离出 C的特征值区间，原则上可以用二分法求出全部或 者部分特征值。
(4) 保模： Hw x
2
x
2
(5) det( Hw ) 1
15
Householder 变换
定理：设 x, y Rn, x y 且 ||x||2 = ||y||2，则存在 n 阶 Householder 变换 H，使得
y = Hx
16
Householder 变换
定理：对任意的非零向量 x Rn，存在 Householder 变
25
一般矩阵特征值的计算
对任意非奇异矩阵，用QR算法迭代， 它将收敛于一个上三角阵，主对角线上的 元素近似为矩阵的特征值。
26
QR算法
27
QR算法
定理：设 矩阵A是n 阶 非奇异实矩阵，则存在正交分解
A = QR
其中 Q 是正交矩阵 ，R 是非奇异上三角矩阵 。
s [a
y y]
T
1
2
yT (ak 2,k , ak 3,k ,, an,k )
经过变换可以把
k 1,2,, n 2
T (2) Householder变换。 Ak 1 H wk Ak H wk
( j 2, j ), ( j, j 2), ( j 3, j ), ( j, j 3),...,(n, j ), ( j, n)上的元素化为0。
2
x2 2 , yT (1,2) ，得
1 (0,5,1,2)T 30
1 2 A 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
v2 2 s 5
1 1 w 1 2 3 (3 2) 30 2s( s x2 )
13
Householder 变换
定义：设 w R n 且 wT w 1 ，称矩阵
Hw I 2wwT
为Householder变换。
14
Householder 变换
性质
T (1) 对称：H w Hw 1 T H H (2) 正交： w w Hw 2 I (3) 对合：H w
3
Givens变换
4
引例
a1 1 A a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
a12 a22 cos a23 sin a22 sin a23 cos
1 G (2,3, ) 0 0
a23 cos a33 sin a23 sin a33 cos a13
Householder 变换
计算步骤
T T T T (1) 构造H w 矩阵。 ，其中 w ( 0 , v , y ) H wk I 2wk wk k k 1
0
T
1 为k维向量 2s( s | ak 1 |)
2 k 1, k
vk 1 ak 1 sgn(ak 1 )s
数值分析
第七章 矩阵特征值的计算
—— 正交变换与QR 算法
王伟
1
主要内容
正交变换
Givens 变换 Householder 变换
Sturm序列与二分法
QR 算法
基本算法 具有移位的QR算法
2
实对称阵特征值的计算
通过正交变换，将实对称矩阵约化为三 对角阵，利用Sturm定理隔离特征值，最后 用二分法求出所需特征值。
0 0 0 1 0 0 . 8944 0 . 4772 0 G (2,3, ) 0 0.4772 0.8944 0 0 0 0 1
1 2.2361 A2 G (2,3, ) A1G T (2,3, ) 0 2 2.2361 1 1 1.3416 0 1 2 0.4472 2 1.3416 0.4472 1
同理，得
3 0 0 1 0 3 2.3333 0.4714 A4 0 0.4714 1.1667 1.5000 0 0 1.5000 0.5000
11
Householder变换
12
Householder 变换
1985年，A.S.Householder提出用初等 Hermite阵代替Givens阵将对称阵约化为三 对角阵，只需要（n-2）次变换（Givens方 法需要（1/2(n-1)(n-2)）次变换）就能达到 简化目的。
T H1 I 2w1w1
1
1 0 0 0
0 2 3 1 3 2 3
0 5 I 2 1 30 1 30 (0,5,1,2) 1 0 0 1 2 2 3 3 14 2 15 15 2 11 15 15
•规定
p0 ( ) 1
23
Sturm序列与二分法
2 1 例3 考察矩阵C的特征值分布 C 解：C的特征多项式 1 2 1 1 2 1 1 2
2
pn ( ) det(I C ) 1
1 2 1
1 2 1
Sturm序列与二分法
21
Sturm序列与二分法
设C是n阶对称阵A通过前面两种方法之一，约化 为的三对角阵。
c1 b1 C b1 c2 b2 bn 2 cn 1 bn 1 bn 1 cn