概率论 5.2-5.3矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解
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线性代数矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
2. 相似矩阵的性质
相 似 性质 (1) 反身性 A ~ A;
矩 阵
P144
(2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A;
(3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C .
P144 (4) 若 A ~ B , 则 r( A) r(B) .
的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。
8
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
(2) P 如何构成？
相 似
设 P ( p1, p2 , , pn ), 则由 P 1 AP Λ 有 AP PΛ, 即
矩 阵
A( p1, p2 , , pn ) ( p1, p2 , , pn ) Λ,
11
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r),
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
相
似
从而有 P 1 AP Λ;
矩
阵
s1个
其中
Λ
s2
个
sr 个
12
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
§5.2 矩阵的相似对角化
章
一、相似矩阵的基本概念与性质
相 似
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
矩 阵
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
1
§5.2 矩阵的相似对角化
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化幻灯片
1
2
s
要注意矩阵 Q的列与对角矩 阵 主对角线上的元素
( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 6
四、举例
例1 设
1 2 A2 2
2 4
2 4 2
求正交矩阵 Q , 使 Q-1AQ 为对角矩阵.
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 7
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 8
解之得基础解系 2
0
1 0 , 2 1.
1
1
第三步 将特征向量正交化
将 1 , 2 正交化：令
1 1 (2, 0,1)T ;
2
2
[[11,,12]]1
(0,1,1)T
1 (2, 5
0,1)T
( 2,1, 5
4 ); 5
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
主要内容
实对称矩阵的性质 实对称矩阵相似对角化的步骤 举例
2020/3/22
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 1
一、问题的提出
上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条
件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个
线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道,
p1 (1,1,1)T .
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
2020/3/22
[ p1,x] x1 x2 x3 0, 黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 16
2020/3/22
专题4------实对称矩阵的对角化
专题：实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的定义：如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。
那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。
注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。
二、实对称矩阵的性质：① 实对称矩阵必可对角化。
（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372页说的很清楚）② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。
（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质提出来的）③ 不同特征值的特征向量相互正交。
（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。
注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列向量，1212211212,(,)0,T Ta a a a a a a a a a ⇔===⇒正交线性无关）④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。
（对于一般矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤）三、基本情况说明：考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。
A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）。
特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；特征值2λ对应的特征向量为2a ，即222Aa a λ=，明显22k a （20k ≠）也为2λ对应的特征向量； 特征值3λ对应的两个线性无关的特征向量为3a 、4a （因为3λ为二重特征值，所以它必有2个线性无关的特征向量），明显3a 、4a 的线性组合3344l a l a +（34,l l 不全为0）也是特征值3λ对应的特征向量。
相似对角化矩阵及其求法
是A的 特 征 值.
由(1)可知 i aii a11 ,所以
1
9 7 3
A
P
3
4
P 1
1 2
3 3
1 2
3 8
1 A1 P 3
1 P 1
4
1 P
1 3
1 4
P
1
1 24
1 9 2
25 33 2
0 0 . 1
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．可见 P 未必唯一。
例3 三阶方阵A的三个特征值 1 1,2 3,3 4,
且对应的特征向量分别是 X1 1,1,0T , X2 1,0,1T , X3 1,1, 2T ,求A和A1.
例如
，A
1 0
0 1 1, B 0
1 1.
容易算出
A与B的 特征 多项 式 均为 (1 )2
但 A是 一个 单位 阵， 对 任给的 可逆 阵P, 有
P1AP P1IP P1P I
因此，若B与A相似，则B必是单位阵. 而现在
B不 是 单 位 阵.
把 1代入A Ex 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T , 几何重数 < 代数重数,
故 A不能化为对角矩阵.
例2
设
A
4 3
6 5
0 0,
3 6 1
A能否对角化？若能对角化，
则求出可逆矩阵P, 使 P 1 AP为 对 角 阵.
解 (1) A 可对角化的充分条件是 A有 n 个互异的
由(1)可知 i aii a11 ,所以
1
9 7 3
A
P
3
4
P 1
1 2
3 3
1 2
3 8
1 A1 P 3
1 P 1
4
1 P
1 3
1 4
P
1
1 24
1 9 2
25 33 2
0 0 . 1
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．可见 P 未必唯一。
例3 三阶方阵A的三个特征值 1 1,2 3,3 4,
且对应的特征向量分别是 X1 1,1,0T , X2 1,0,1T , X3 1,1, 2T ,求A和A1.
例如
，A
1 0
0 1 1, B 0
1 1.
容易算出
A与B的 特征 多项 式 均为 (1 )2
但 A是 一个 单位 阵， 对 任给的 可逆 阵P, 有
P1AP P1IP P1P I
因此，若B与A相似，则B必是单位阵. 而现在
B不 是 单 位 阵.
把 1代入A Ex 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T , 几何重数 < 代数重数,
故 A不能化为对角矩阵.
例2
设
A
4 3
6 5
0 0,
3 6 1
A能否对角化？若能对角化，
则求出可逆矩阵P, 使 P 1 AP为 对 角 阵.
解 (1) A 可对角化的充分条件是 A有 n 个互异的
线性代数 第5.2节 矩阵相似对角化
2 2 得基础解系 p1 1 , p2 0 . 0 1 当 3 7 时，齐次线性方程组为 A 7 E X 0 1 8 2 2 1 0 2 2 5 4 0 1 1 A 7E 0 0 0 2 4 5
求矩阵 A.
22
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。
因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
1 1 1 其中 P 1 0 2 , 1 1 1
求得 P 1
1 3 1 2 1 6 1 3 0 1 3
A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为
A Ex 0
5 5 1 1 系数矩阵 A E 2 2 0 0
x1 x2
1 令 x2 1 得基础解系: p1 1
25
当
2 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0 2 5 2 5 系数矩阵 A 2 E 2 5 0 0
x1 2 x2
2 得基础解系 p1 1 , 0
0 0. p2 1
当 3 2 时，齐次线性方程组为 A 2 E X 0
6 A 2 E 3 3 6 3 6 0 1 0 0 3 0 0 1 0 1 1 0
可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 A 的特征值是
1 0, 2 1, 3 3, 1 1 1 1 , 0 , 2 , 相应的特征向量是 1 2 3 1 1 1
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解共37页
实对称矩阵的相似标准形分 解
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
实对称矩阵的相似对角化
但因x 但因 ≠ 0,所以 ,
x′x = ∑ x i x i = ∑ | x i | ≠ 0,
i =1 i =1 n n 2
这就说明λ为实数. 故 λ λ = 0 ,即 λ = λ ,这就说明λ为实数.
定理2 是实对称阵A的两个特征值 定理 设λ1,λ2是实对称阵 的两个特征值, , 是实对称阵 的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量.若λ1 ≠ λ2,则p1,p2 是对应的特征向量. , 是对应的特征向量 , , 正交. 正交. 证 λ1 p1 = A p1,λ2p2 = Ap2,λ1 ≠ λ2. , , . 对称, 因A对称,故 对称 λ1p1′ = (λ1p1)′ = (A p1)′ = p1′A′ = p1′A, ′ λ ′ ′ ′ ′ ′ , 于是, 于是, λ1p1′p2 = p1′Ap2 = p1′ (λ2p2) = λ2p1′p2, ′ ′ ′ λ ′ , λ1) ′ 即 (λ2λ p1′p2 = 0 λ λ 正交. 但λ1 ≠ λ2,故p1′p2 = 0,即p1与p2正交. , ′ , 与 正交
例2 设
1 1 1 0 1 0 1 1 A= 1 1 0 1 1 1 1 0
求一个正交阵P, 求一个正交阵 ,使P1AP=∧为对角阵. ∧为对角阵. 解 A的特征多项式为 的特征多项式为
λ 1 1 1 1 1 λ A λE = 1 1 λ 1 λ 1 1 1 1 = (λ 1) 3 (λ + 3)
对ξ1,ξ2,ξ3应用施密特正交化方法,得 应用施密特正交化方法, , , 应用施密特正交化方法
1 1 ζ 2 = ξ1 = 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1 [ξ 2 , ζ 2 ] ζ3 = ξ2 ζ2 = = 1 2 0 2 2 [ζ 2 , ζ 2 ] 0 0 0
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解37页PPT
矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形 分解
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝之易安源自。16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
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吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
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南
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以
寄
傲
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审
容
膝之易安源自。16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
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如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
由于
201 0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角 化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
1,2 线性无关.
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
作业
• P200 8，9，10 • P203 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵,即A AT . 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P1AP PT AP ，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化（; 若特征向量不正交） 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
Hale Waihona Puke 01 0 , 2 1.
1
1
1,2 线性无关.
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.
定理3 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值为 对角 元 素 的 对 角 矩 阵.（此定理不证）
推论：设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 (2) A 5
1 3
2 3
能否对角化？
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量,若1 2 ,则p1与p2正交. 证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
同理, 对3 7,由A E x 0, 求得基础解系 3 1,2,2T
由于
201 0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角 化.
2 1 2
(2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
证明 A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
B E P1AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
A与B相似 可逆阵P,使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
1,2 线性无关.
将3 2代入A E x 0,得方程组的基础
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
解系
3 1,1,1T .
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
作业
• P200 8，9，10 • P203 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵,即A AT . 说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P1AP PT AP ，其具体步骤为：
1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化（; 若特征向量不正交） 4. 将特征向量单位化.
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2 4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
Hale Waihona Puke 01 0 , 2 1.
1
1
1,2 线性无关.
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交.
定理3 设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵P,使
P 1 AP ,其 中 是 以A的 n 个 特征 值为 对角 元 素 的 对 角 矩 阵.（此定理不证）
推论：设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有r 个线性无关的特征向量.
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 (2) A 5
1 3
2 3
能否对角化？
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A E x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.