专题4------实对称矩阵的对角化
§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
实对称矩阵的对角化
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
线性代数—实对称矩阵的对角化
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
第四节：实对称矩阵的对角化
−1 1 p1 = −1 3 1
对应
λ2 = λ3 = 1 ，解方程 ( A− I )x = 0
−1 −1 1 1 1 −1 ( A − I ) = −1 −1 1 → 0 0 0 1 1 −1 0 0 0
− P = ( p1 , p 2 , p 3 ) = −
有
−2 0 0 P −1 AP = PT AP = ∧ = 0 1 0 0 0 1
。
，便有
P AP = P AP = ∧
T
−1
∧ 中对角元的排列次序应与
P中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应。 中列向量的排列次序相对应
，注意
例1。设 。
0 −1 1 A = −1 0 1 1 1 0
，
求一个正交阵P 使 P−1AP =∧ 求一个正交阵 解：由
( A + 2I ) x = 0
2 −1 1 1 0 1 ( A + 2 I ) = −1 2 1 → 0 1 1 1 1 2 0 0 0
ξ
− 1 = − 1 1
，
得基础解系
1
，将
ξ λi I ) x = 0 的基础解系。得 的基础解系。
个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。再把它们 正交化、单位化，因 正交化、单位化，
k1 + L + k s = n
故可得n个两两正交的单位特征向量。 故可得 个两两正交的单位特征向量。 个两两正交的单位特征向量
（3）将这 个两两正交的单位特征向量 ）将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交矩阵P， 构成正交矩阵 ，便有
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专题：实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的定义：如果矩阵A 满足：①A 是对称矩阵，即T A A =；②矩阵A 中所有元素都是实数（事实上，我们目前接触到的矩阵的元素都是实数，全体实数与全体虚数（如a bi +，0b ≠就是虚数）组成复数集）。
那么，称矩阵A 就是实对称矩阵。
注意，因为实对称矩阵就是对称矩阵，而对称矩阵是对方阵而言的，故实对称矩阵必须是方阵。
二、实对称矩阵的性质：① 实对称矩阵必可对角化。
（一般的矩阵，也就是非实对称矩阵，可对角化是有条件的，全书P372页说的很清楚）② 特征值全是实数，特征向量都是实向量。
（关于这一点是没有考点，这只是单纯地作为一条性质提出来的）③ 不同特征值的特征向量相互正交。
（这一点很重要，对于一般矩阵而言，不同特征值的特征向量线性无关，不能保证不同特征值的特征向量正交。
注意向量正交的定义：设12,a a 为n 维列向量，1212211212,(,)0,T Ta a a a a a a a a a ⇔===⇒正交线性无关）④ 假设i λ是实对称矩阵A 的k 重特征值，那么对应于特征值i λ必有k 个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=的基础解系的向量个数为k ，()i n r E A k λ--=。
（对于一般矩阵，若i λ是该矩阵（非实对称矩阵）的k 重特征值，那么对应于特征值i λ的线性无关向量最多为k 个，即齐次线性方程组()0i E A x λ-=（这里的A 为非实对称矩阵）的基础解系的向量个数最多为k 个，即()i n r E A k λ--≤）三、基本情况说明：考虑到考研数三的实际情况，加上为了更加清晰地阐述该问题，我这里论述的实对称矩阵是一个4阶矩阵，在此就不长篇大论一般情况（即A 为n 阶矩阵），希望你从这个特殊例子中看出一般情况。
A 为4阶矩阵，其特征值为1λ、2λ、3λ（3λ为二重特征值）。
特征值1λ对应的特征向量为1a ，即111Aa a λ=，明显11k a （10k ≠）也为1λ对应的特征向量；特征值2λ对应的特征向量为2a ，即222Aa a λ=，明显22k a （20k ≠）也为2λ对应的特征向量； 特征值3λ对应的两个线性无关的特征向量为3a 、4a （因为3λ为二重特征值，所以它必有2个线性无关的特征向量），明显3a 、4a 的线性组合3344l a l a +（34,l l 不全为0）也是特征值3λ对应的特征向量。
根据实对称矩阵性质的第二点，这些特征向量之间的关系满足：1122113344223344(,)(,)(,)0k a k a k a l a l a k a l a l a =+=+=（10k ≠、20k ≠、34,l l 不全为0）注意3a 、4a 一定线性无关，但是不一定正交，那么3344(,)l a l a （34,l l 都不为0）的值不一定为0。
上面1122(,)k a k a 、113344(,)k a l a l a +、223344(,)k a l a l a +、3344(,)l a l a 都表示内积。
四、实对称矩阵的对角化全书P372的矩阵相似对角化的方法适合所有矩阵，那么根据该方法，我们构造矩阵P ，令112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++，（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0，向量3344k a k a +与向量3344l a l a +线性无关，即33340k k l l ≠），那么一定有121123333000000(,,,)00000P AP diag λλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦（向量3344k a k a +和向量3344l a l a +线性无关的充要条件是33340k k l l ≠，133443344334433442,,0x k a k a l a l a k a k a l a l a x ⎛⎫++⇔++= ⎪⎝⎭线性无关齐次线性方程组（）只有零解3313334334433443444244(,)0,((,))2kl x k l a a r k a k a l a l a r a a k l x k l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔=⇔++== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只有零解（），由于34(,)2r a a =，所以3344kl k l ⎛⎫⎪⎝⎭必然满秩，33340k k l l ≠）为什么我把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式，而不是像全书上构造成简单的1234(,,,)P a a a a =。
我先说明这种构造的合理性。
把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式的合理性说明：由上面的第三点——基本情况说明里面的论述，可以知道：112233443344,,,k a k a k a k a l a l a ++（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0）这四个向量必然分别是特征值1233,,,λλλλ对应的特征向量，如果向量3344k a k a +和向量3344l a l a +线性无关，那么P 可逆，且11233(,,,)P AP diag λλλλ-=。
注意到1234(,,,)P a a a a =是112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++的一种特殊情况。
五、施密特正交化方法的意义说明考研数三对Schmidt 正交化方法的考察，最多涉及三个向量，因此，我在这里只说明3个向量的Schmidt 正交化。
1a ，2a ，3a 线性无关令11a β=，2122111(,)(,)a a βββββ=-，313233121122(,)(,)(,)(,)a a a βββββββββ=--。
其实不需要严格的证明，通过观察，我们就会发现1β，2β，3β都是1a ，2a ，3a 的线性组合。
注意正交化后的1β，2β，3β是两两正交的。
假设1a ，2a ，3a 都是实对称矩阵A 的关于某一个特征值的i λ的三个线性无关的特征向量，因为1β，2β，3β都是1a ，2a ，3a 的线性组合，那么1β，2β，3β也是实对称矩阵A 的关于同一个特征值的i λ的三个线性无关的特征向量。
六、把矩阵P 构造成112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++这种形式的意义说明矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++（12,k k 都不为0，34,k k 不全为0，34,l l 不全为0，向量3344k a k a +与向量3344l a l a +线性无关，即33340k k l l ≠）包含了所有情况。
在矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++中令111k a =，221k a =，331k a =，40k =，43333434333(,)(,)(,)(,)a a a a l a a a a a a =--，44343331(,)(,)l a a a a a a =- 那么得到的矩阵Q 是矩阵112233443344(,,,)P k a k a k a k a l a l a =++的一种特殊情况：431234312333434333(,)1111(,,,()(,)(,)(,)a a Q a a a a a a a a a a a a a a a a =--注意，在这里对34,a a 运用了Schmidt 正交规范化方法，所以此时的矩阵Q 就是一个正交矩阵，即TQ Q E =，1T Q Q -=（矩阵的每一个列向量都是单位向量，且列向量两两正交，无需证明，行向量也满足都是单位向量，且两两正交）。
由于矩阵Q 满足11233(,,,)Q AQ diag λλλλ-=，而1T Q Q -=，那么由11233(,,,)Q AQ diag λλλλ-=可得：1233(,,,)T Q AQ diag λλλλ=七、化二次型为标准型的问题的等价问题 对于二次型（n 元二次方程）12(,,,)T n f x x x x Ax =，其中A 为实对称矩阵，我们的目的是要通过坐标变换（即找到一个可逆矩阵Q ，令y Qx =，注意这里对Q 的表述仅仅是可逆矩阵，没有说找一个正交矩阵——当然正交矩阵也是可逆矩阵，因为我们在这里的目的仅仅是作坐标变换，作坐标变换的矩阵必须是可逆矩阵），把二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =化为标准型22212121122112212(,,,)(,,,)0000(,,,)00y QxTT T n n n nn n n f x x x x Axf y y y y Q AQy y y y y y y y y y ηηηηηη==⇔==+++⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭坐标变换（12,,,n ηηη为n 个实数）这个问题等价的表述就是：对于实对称矩阵A ,找到一个可逆矩阵Q ，使得12(,,,)T n Q AQ diag ηηη=。
注意，这里的Q 不是唯一的，这里的12,,,n ηηη随着Q 的不同而取不同的值，特别的，如果这里的Q 选择的是上面第六点中的431234312333434333(,)1111(,,,()(,)(,)(,)a a Q a a a a a a a a a a a a a a a a =--，那么这里的12,,,n ηηη依次取对应的12,,,n λλλ。
八、化二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =为标准型具体步骤：（1） 根据||0E A λ-=求出n 阶实对称矩阵A 的所有特征值i λ（2） 通过解齐次线性方程组()0i E A x λ-=求出每一个特征值所对应的特征向量i a（3） 把一重特征值对应的特征向量单位化，把k 重（2k ≥）特征值对应的k 个特征向量规范正交化，得到n 个两两正交的单位向量i r（4） 构造矩阵Q ，令12(,,,)n Q r r r =。
明显Q 是正交矩阵，即T Q Q E =，1T Q Q -=（5） 作坐标变换，令x Qy =，那么12121122222121122(,,,)(,,,)0000(,,,)00QyTT T n n n n nn n f x x x x Axf y y y y Q AQyy y y y y y y y y λλλλλλ==⇔=⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥==+++ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭坐标变换x其中，12,,,n λλλ为对应的n 个特征值。