线性代数讲义4_特征值与实对称矩阵的正交变换对角化(精简版)
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
第四章 矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分, 它们不仅在数学的各个分支有着重要的应用, 而且在其他学科、工程技术以及数量经济分析等领域有着极其广泛的应用. 本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵的相似对角化问题, 并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值与特征向量工程技术中的振动问题和稳定性问题, 往往可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题. 特征值和特征向量的概念不仅在理论上很重要, 而且也可直接用来解决实际问题.一、特征值和特征向量的基本概念 先看一个例子设31,51⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 取1,1α⎛⎫= ⎪⎝⎭可验证31144.5114αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A这说明矩阵A 作用在向量α上变成了常数倍. 我们把具有这种性质的非零向量α称为矩阵A 的特征向量, 数4称为对应于α的特征值.对于一般的n 阶矩阵, 引入如下概念：定义1. 1 设A 是n 阶矩阵, 如果存在数λ和n 维非零向量,α使得,αλα=A则称数λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.根据定义, n 阶矩阵A 的特征值, 就是使齐次线性方程组()λ0E A x -= 有非零解的λ的值, 即满足方程0-=E A λ的λ都是矩阵A 的特征值. 在复数域上n 次方程有n 个根（重根按重数计算）, 因此n 阶矩阵A 在复数域上有n 个特征值.方阵A 的对应于特征值λ的特征向量就是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解.定义1. 2 设n 阶矩阵(),⨯=ij n n A a 则()f =λ-E A λ111212122212n n n n nna a a a aa a a a λλλ------=---称为矩阵A 的特征多项式, -E A λ称为A 的特征矩阵, 0-=E A λ称为A 的特征方程.根据上述定义, 求n 阶A 的特征值与特征向量的求法可按如下步骤进行： （1）由()0f E A λλ=-=求出矩阵A 的全部特征值12,,,,n λλλ 其中0)(=λf 的t重根, 对应A 的t 个数值相同的特征值.（2）对于A 的每一个特征值,i λ求解齐次线性方程组(),λ-=0i E A x 设它的一个基础解系为12,,,n r ξξξ- （其中()i r R E A λ=-, 则A 的属于i λ的全部特征向量为1122,n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,n r k k k - 是不全为零的任意实数. 例1. 1 求1124-⎛⎫=⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为-=E A λ11(2)(3),24λλλλ-=---- 故A 的特征值为122,3λλ==．对特征值12λ=, 解方程(2)-=0E A x , 由(2)-E A 1111,2200⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭求得(2)-=0E A x 基础解系为11,1ξ-⎛⎫=⎪⎝⎭故111(0)k k ξ≠是对应于12λ=的全部特征值向量．对特征值23λ=, 解方程(3)-=0E A x , 由2121(3),2100⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E -A求得(3)-=0E A x 基础解系21,21ξ⎛⎫- ⎪= ⎪⎝⎭所以222(0)k k ξ≠是对应于23λ=的全部特征向量．例1. 2 设211020413A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 求A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为221120(2)(1)413E A λλλλλλ+---=-=-+--, 所以A 的特征值为1232, 1.λλλ===-对特征值122λλ==, 解方程(2)-=0E A x , 即41100000,4110x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为12114,0,04ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故对应于122λλ==的全部特征向量为112212(,k k k k ξξ+不同时为0).对特征值31λ=-, 解方程()--=0E A x , 即11100300,4140x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得其基础解系为310,1ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于31λ=-的全部特征向量为333(0)k k ξ≠.例1. 3 求n 阶数量矩阵a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值和特征向量. 解()0,n aaa aλλλλλ---==-=-E A故A 的特征值为12.n a λλλ====把a λ=代入()λ-=0E A x 得1200,00,,00.n x x x ⋅=⋅=⋅=这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意n 个线性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组12100010,,,001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 作为基础解系, 于是A 的全部特征向量为1122 n n k k k ++ εεε(12,,,n k k k 不全为0) .注 特征方程0E A λ-=与特征方程0A λ-=E 有相同的特征根, A 的对应于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组()λ0E A x -=的非零解, 也是()λ0A E x -=的非零解. 因此, 在实际计算特征值和特征向量时, 以上两种形式均可采用.二、特征值与特征向量的性质性质1. 1 设A 为n 阶矩阵, 则A 与A T有相同的特征值.证明 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-所以A 与A T有相同的特征多项式, 故它们的特征值相同.性质1. 2 设n 阶方阵()A ⨯=ij n n a 的n 个特征值为12,,,,n λλλ 则（1）121122;n nn a a a λλλ+++=+++ （2）12.n A λλλ=其中A 的主对角线的元素之和1122nn a a a +++ 称为矩阵A 的迹, 记为().A tr证明 由行列式的定义可知1112121222121122() =()()()n n n n nnnn a a a a a a f a a a a a a λλλλλλλλ------=-=------+E A其中一项是主对角线n 个元素的乘积, 而省略的各项至多含有2-n 个主对角线上的元素, 因此特征多项式中含nλ与1n λ-的项只能在主对角线元素乘积项中出现, 显然nλ的系数为1,1n λ-的系数为1122().nn a a a -+++又因为, 在特征多项式中令0λ=可得其常数项为(0),f A =-故11122()()(1).n n n nn f a a a A λλλ-=-+++++-另一方面, 由于12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值, 所以1211212()()()() ()(1).n n n nn n f λλλλλλλλλλλλλλλλ-=-=-⋅--=-+++++-E A在上述两式中, 比较1n λ-的系数和常数项, 可得121122n nn a a a λλλ+++=+++ 和12.n A λλλ=推论 n 阶方阵A 可逆的充要条件是A 的n 个特征值都不为零. 例1. 4 设n 阶方阵A 满足等式2A A =, 证明A 的特征值为1或0. 证明 设λ为A 的特征值, 则存在非零向量α, 使,αλα=A 因此2(),ααλαλα=2A =A(A )=A由题设知22,A λαααλα===A即2()0.λλα-=因为0α≠. 所以20λλ-=, 即1λ=或0.例1. 5 设λ是方阵A 的特征值, α为对应于特征值λ的特征向量, 证明 （1）k λ是A k 的特征值（k 为任意常数）； （2）对正整数,m m λ是m A 的特征值（m 为正整数）； （3）若A 是可逆的, 则1λ-是1A -的特征值. 证明 由题意, 对向量0,α≠有,A αλα=（1） 因为()()(),kA k A k ααλα==所以k λ是A k 的特征值. （2）由112()(),m m m m m A A A A A A ααλαλαλα---=====知m λ是mA 的特征值.（3）当A 可逆时, 由推论可知, 0,λ≠用1A -左乘A αλα=两边, 得1,A αλα-=即11,A αλα--=所以1λ-是1A -的特征值.用例1. 5的方法, 读者可自证：若λ是方阵A 的特征值, ()g A 是矩阵多项式, 即1110()k k k k g A a A a A a A a E --=++++ ,则矩阵()g A 有特征值1110().k k k k g a a a a λλλλ--=++++例1.6 设三阶方阵A 的三个特征值分别为2, 3, 7, 求行列式5A E +.解 当i λ是A 的特征值, 可知, （51i λ+）为5A E +的特征值, 即5A E +有特征值521⨯+, 531⨯+, 571⨯+所以由性质1. 2知51116366336.A E +=⋅⋅=定理1.1 设12,,,m λλλ 是矩阵A 的m 个不同的特征值, 12,,,m ααα 是A 的分别属于12,,,m λλλ 的特征向量, 则12,,,m ααα 线性无关.证明 用数学归纳法对特征向量个数m 进行归纳证明.当1m =时, 由于10,α≠因此1α线性无关.假设对1m -个互异的特征值定理成立, 即121,,,m ααα- 线性无关. 对向量组12,,,m ααα , 设有数12,,,m k k k 使11220.m m k k k ααα+++= （4. 1）两端左乘,A 并利用条件,i i i A αλα=得1112220m m m k kk λαλαλα+++=(4. 2) 将m λ·（4. 1）－（4. 2）, 得11122211()()()0m m m m m m k k k λλαλλαλλα---+-++-=由归纳假设,121,,,m ααα- 线性无关, 因此()0, 1,2,, 1.i m i k i m λλ-==-又()0,m i λλ-≠从而0(1,2,,1),i k i m ==- 代入（4. 1）, 得0,m k = 从而12,,,m ααα 线性无关.推论 如果n 阶方阵A 有n 个不同的特征值, 则A 有n 个线性无关的特征向量. 类似地可以证明： 定理 1.2 设12,,,m λλλ 是矩阵A 的m 个互不相同的特征值, 12,,,ii i is ααα 是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ= 的线性无关的特征向量, 则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,ms s m m ms ααααααααα线性无关定理1.3 设λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值, 则λ对应的线性无关的特征向量至多有t 个.习题4. 11．求矩阵211031213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.2. 已知方阵A 满足2+23,A A E =试确定A 的特征值的可能取值.3. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 0, 4, 又知2,A B E +=求B 的特征值.4. 设矩阵122212,221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的特征值. （2）求矩阵1A E -+的特征值.5. 设矩阵0011100A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量, 求,x y 应满足的条件.§4.2 相似矩阵在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算最方便. 自然要问, 对于一个n 阶矩阵,A 是否可化为对角矩阵, 且保持矩阵A 的一些重要性质不变, 本节将讨论这个问题.一、相似矩阵的概念与性质定义2. 1 设A 和B 都是n 阶方阵, 如果存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=则称B 是A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似, 记为,A B ～可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 对A 进行的运算1P AP -称为对A 进行相似变换. 相似是方阵之间的一种关系, 这种关系具有下列三个性质： （1）自反性：;A A ～（2）对称性：若,A B ～则;B A ～ （3）传递性：若,A B ～,B C ～则.A C ～即它是一种等价关系. 彼此相似的矩阵具有一些共性, 也称为相似不变性．定理2. 1 若n 阶矩阵A 与B 相似, 则 （1）()();R A R B =（2）;A B =（3）A 和B 的特征多项式相同, 即,E A E B λλ-=-从而A 和B 的特征值相同；（4）kkA B ～(k 为正整数)； （5）11A B --～ (A 可逆时).证明 这里仅证（3）, 其余留给读者自行证明. 因为,A B ～ 故存在可逆矩阵,P 使1,P AP B -=于是11()E B E P AP P E A P λλλ---=-=-1.P E A PE A λλ-=-=-从而A 和B 的特征值相同.推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似, 则12,,n λλλ 是A 的n 个特征值.从定理2. 1可以看出相似矩阵有许多共同的性质, 若一个矩阵与一个简单矩阵相似, 可以通过研究简单矩阵的性质来得到原来矩阵的一些性质, 最简单的矩阵就是对角阵. 下面来研究矩阵A 满足什么条件与对角阵相似.定义2. 2 对n 阶方阵,A 若存在可逆矩阵,P 使1,P AP -=Λ则称A 相似于对角矩阵, 也称矩阵A 可相似对角化.如果方阵A 能够对角化, 则可简化许多运算过程. 但并不是每个矩阵都能对角化, 即矩阵的可对角化是有条件限制的. 下面将从特征向量的角度来刻画矩阵可对角化的条件.二、矩阵可对角化的条件定理2. 2 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似（A 可对角化）的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证明 必要性设A 可对角化, 即存在可逆矩阵P 和n 阶对角阵Λ,使121.n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 设12(,,,),n P ααα= 由1,P AP -=Λ得AP P =Λ, 即121212121122(,,,)(,,,)(,,,) =(,,,) n n n n n n AP A A A A ααααααλλαααλλαλαλα==⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此, (1,2,,)i i i A i n αλα== . 由于P 可逆, 所以0, 1,2,,.i i n α≠= 故12,,,n ααα 分别是属于特征值12,,,n λλλ 的特征向量, 且由P 可逆知12,,,n ααα 线性无关.充分性设12,,,n ααα 为A 的分别属于特征值为12,,,n λλλ 的n 个线性无关的特征向量, 则有(1,2,,)i i i A i n αλα== 取12(,,,),n P ααα= 因为12,,,n ααα 线性无关, 所以P 可逆, 于是有12,n AP P λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 即121,n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Λ 因此A 可对角化.注 因特征向量不是唯一的, 所以矩阵P 不具有唯一性．推论 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值, 则A 必相似于对角矩阵．定理2. 3 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 的每一个i t 重特征值i λ对应i t 个线性无关的特征向量, 即()i i R E A n t λ-=-这里121, ,,,mim i tn λλλ==∑ 是A 的所有互异的特征值.定理2.2不仅给出了一个矩阵可对角化的充要条件, 而且定理证明的本身给出了对角化的具体方法. 将这种方法总结如下：(1)求出矩阵A 全部互不相等的特征值12,,,,m λλλ 它们的重数依次为1212,,()m m t t t t t t n +++= ，.(2) 求A 的特征向量.对每个特征值λi , 求出齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一个基础解系, 设为12,,, (1,2,,) ,ii i is i m ξξξ=(3)判断A 是否可对角化.若A 的i t 重特征值有i t 个线性无关的特征向量(1,2,,)i m = , 则A 可对角化, 否则A 不可对角化.例2. 1 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵P ．（1）200110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, （2）122212.221B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 （1）A 的特征多项式为2(2)(1),E A λλλ-=--故A 的特征值2,1321===λλλ．其中121==λλ为二重特征值, 又100(1)100,110E A -⎛⎫⎪⋅-=- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)2,3(1)321,R E A R E A ⋅-=-⋅-=-=故1=λ只对应一个线性无关的特征向量, 故矩阵A 不能相似于对角阵．（2）B 的特征多项式为2(1)(5)0E B λλλ-=+-=故B 的特征值5,1321=-==λλλ．其中1-为B 的二重特征值, 又当1-=λ时222111(1)222000,222000E B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭所以3()312,R B E -+=-=故1-=λ对应2个线性无关的特征向量, 即B 可对角化, 且121-==λλ对应的线性无关特征向量为.)1,0,1(,)0,1,1(T T --由于53=λ为单特征值, 它有且仅有一个线性无关的特征向量, 由(5)0E B x -=,得线性无关的特征向量(1,1,1).T取111101,011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是111.5P BP --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭习题4. 21. 设方阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭与50000004y ⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似, 求,.x y2. 设A B 、都是n 阶方阵, 且0A ≠, 证明AB 与BA 相似．3. 判断下列矩阵能否相似于对角阵, 若能, 则求出相似变换矩阵.P（1）220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭； （2）421201.110B ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭4. 当k 为何值时, 方阵25141001k A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭可相似对角化？§4.3 向量的内积与正交矩阵本节主要讨论向量的内积、长度、正交矩阵等概念, 并介绍它们的性质. 若不特别说明, 本章讨论的向量都是实数域上的.一、向量的内积 定义3. 1 设n 维向量1122,,n n x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ 令 []1122,,αβ=++ n n x y x y x y称[],αβ为向量α与β的内积.由于内积是两个向量间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积可用矩阵记号可表示为[],.T =αβαβ容易证明内积满足下列运算性质（其中,,αβγ为n 维向量, k 为实数）：(1) [][],,;αββα= (2) [][],,;k k =αβαβ (3) [][][],,,;+=+αβγαγβγ(4) 当0=α时, [],0;=αα当0≠α时, [],0.>αα定义3. 2 令||||α==称||||α为n 维向量α的长度（或范数）．当||||1α=时, 称α为单位向量． 对nR 中的任一非零向量α, 向量||||αα是一个单位向量, 因为1.||||=αα用非零向量α的长度去除向量α, 得到一个单位向量, 这一过程通常称为把向量α单位化.向量的长度具有下述性质：(1) 非负性 ||||0,≥α且||||00;=⇔=αα(2) 齐次性 ||||||||k k =αα (3) 三角不等式 ||||||||||+≤+αβαβ 另外, 可以证明向量的内积满足柯西-施瓦兹（Chauchy-Schwarz ）不等式[][][]2,,,,≤αβααββ这里不予证明. 由此成立[],1|||| ||||≤αβαβ （当,≠≠00αβ时）,于是, 可定义向量的夹角．定义3. 3 当||||0,||||0≠≠αβ时, 称[],arccos|||| ||||=αβθαβ为n 维向量α与β的夹角．定义3. 4 当向量α与β满足[],αβ=0时, 则称向量α与β正交． 显然, 若,=0α则α与任何向量都正交．定义3. 5 若12,,,r ααα 是一个非零向量组, 且12,,,r ααα 中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组．例如, nR 中单位向量组()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是正交向量组.定理3. 1 若n 维向量12,,,r ααα 是一组两两正交的非零向量, 则该向量组线性无关． 证明 设有12,,,r k k k 使得11220,r r k k k ++=ααα用(1,2,,)i i r =α 与上式两端作内积, 得1122(,)(0,),r r i i k k k ++=ααααα即1122(,)(,)(,)(,)0.i i i i i r r i k k k k ++++=αααααααα由于i α与1211,,,,i i r -+ααααα 均正交, 即,0,1,2,,1,1,,,i j j i i r ⎡⎤==-+⎣⎦αα 所以有[],0i i i k =αα, 再有0,i ≠α得0, 1,2,,.i k i r == 所以,12,,,r ααα 线性无关．例3. 1 已知3维向量空间3R 中两个向量()()121,1,1,1,2,1TT==-αα正交, 试求一个非零向量3α, 使123,,ααα两两正交．解 记 12111,121T T A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα则3α应满足齐次方程=0Ax , 即1231110,1210x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭由111101,121010A ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得132,0,x x x =-⎧⎨=⎩ 从而有基础解系()1,0,1T-．则取()31,0,1Tα=-即为所求．定义3. 6 设n 维向量12,,, r e e e 是向量空间()nV V R ⊂的一个基, 如果12,,, r e e e 两两正交, 且都是单位向量, 则称12,,, r e e e 是V 的一个规范正交基（或标准正交基）．例如 n 维向量()()()121,0,,0,0,1,,0,,0,0,,1===TTTn e e e 是nR 的一个规范正交基．再如123411,0,0,,0,0,,,,,22⎫⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎭⎝⎭TTTTe e e ε就是4R 的一个规范正交基．若12,,, r e e e 是V 的一个规范正交基, 那么V 中任一向量α都能由12,,, r e e e 线性表示, 设表示式为1122,αλλλ=+++r r e e e为求出其系数(1,,)i i r λ= , 可用i e 与上式两端作内积, 有[],.=i i e λα这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式．利用这个公式能方便的求出向量的坐标, 因此, 我们在给向量空间取基时常常取规范正交基．设12,,,r ααα 是向量空间V 的一个基, 要求V 的一个规范正交基. 也就是要找一组两两正交的单位向量12,,,,r e e e 使12,,, r e e e 与12,,,r ααα 等价. 该过程称为把12,,,r ααα 规范正交化．我们可以用以下的办法把12,,,r ααα 规范正交化, 具体的步骤为： (1) 正交化：取[][][][][][][][]112122111121121112211;,;,,,,,,,,----==-=----r r r r r r r r rβααββαββββαβαβαβαβββββββββ容易验证12,,,βββr 两两正交, 且12,,,βββr 与12,,,r ααα 等价． (2) 单位化：取112212111,,,,===r r re e e ββββββ则12,,, r e e e 就是向量空间V 的一个规范正交基．上述从线性无关向量组12,,,r ααα 导出正交向量组12,,,βββr 的过程称为施密特正交化过程．它不仅满足12,,,βββr 与12,,,r ααα 等价, 还满足：对任何(1)≤≤k k r , 向量组12,,,βββk 与12,,,k ααα 等价．例 3. 2 设1231142,3,1,110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化．解 正交化：取[][][][][][]112122111313233121122;1,51;,311,,20.,,1=-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭βααββαβββαβαββαββββββ再单位化, 取3121231231112,1,0,111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪======⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎭⎭⎭e e e ββββββ 则123,,e e e 即为所求．二、正交矩阵定义3. 7如果n 阶实矩阵A 满足T AA E =（即1T A A -=）,那么, 称A 为正交矩阵, 简称正交阵. 显然, n 阶单位矩阵E 是正交矩阵.由正交矩阵的定义, 显然有下面的的性质：(1) 如果A 为正交矩阵, 则1T AA -=；(2) 如果A 为正交矩阵, 则1()TA A -也是正交矩阵；(3) 如果,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵． (4) 正交矩阵的行列式等于1或－1．定理3. 2 n 阶矩阵A 是正交矩阵的充分必要条件是它的列（行）向量组是单位正交向量组．证明 设A 是实矩阵, 它的列向量组为12,,,n ααα , 则A 与TA 可表示为1212(,,,),,T T T n T n A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααααα于是[][][][][][][][][]111212122212,,,,,,,,,,n n T n n n n A A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭αααααααααααααααααα因此, TA A E =的充分必要条件是1,;,0,.i j i j i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩αα当当即A 的列向量组是单位正交向量组．又A 正交时, TA 也正交, 因此A 是正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组是单位正交向量组．例3. 3 判断下列矩阵是否为正交阵 (1) 1001⎛⎫⎪-⎝⎭； (2) 1001⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) 184999814999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；(4) 0⎛ ⎝； (5) 1112310121112⎛⎫- ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(6) 0⎛ ⎝． 解 (1)、(2)、 (3)、 (4)都是正交矩阵．因为它们的列向量组都是单位正交向量组． (5)、（6）都不是正交矩阵．因为它们的第一列都不是单位向量． 定义3. 6 若P 为正交矩阵, 则线性变换=y Px 称为正交变换.设=y Px 为正交变换, 则有||||||||.y x =====这说明正交变换后向量的长度保持不变, 这是正交变换的优良特性.习题4. 31. 已知()()1,2,1,1,2,3,1,1,TT=-=-αβ求[][],,32,23,--αβαβαβ||||α||||,βα与β的夹角．2. 设()()1,1,2,1,0,1,TT=-=-αβ求与,αβ等价的标准正交向量组.3. 设()()()123123,3,3,3,3,,3,,3,(,,),TTTk k k A m ====αααααα求,,m k 使A 为正交阵.§4. 4实对称矩阵的对角化从上一节我们看到, 一般的矩阵并不一定可对角化. 本节专门讨论一种特殊的方阵——实对称矩阵，这种矩阵一定可对角化, 并且还能正交相似于对角矩阵. 定理4.1 实对称矩阵的特征值为实数.证明 设λ是实对称矩阵A 的特征值, α为对应的特征向量. 即,0,A αλαα=≠以λ表示λ的共轭复数, α表示α的共轭复向量,则()().A A A αααλαλα====于是有(),TTTA A ααααλαα==及()()(),TTTTT TA A A ====ααααααλααλαα以上两式相减, 得 ()0,Tλλαα-=因为0,≠α所以0.Tαα≠，故λλ=即λ为实数. 对实对称矩阵A , 因其特征值λi 为实数, 故方程组()0i A E x -=λ是实系数方程组,由0i A E -=λ知它必有实的基础解系, 所以A 的特征向量可以取实向量. 定理 4.2 设12,λλ是实对称矩阵A 的两个特征值, 12,αα 依次是它们对应的特征向量.若12,≠λλ则1α与2α 正交.证明 111,=A αλα222,=A αλα 12,≠λλ 故12212().T T A ααλαα=因A 对称, 故1212112112()()(),T T T TA A ααααλααλαα===于是()12120.T λλαα-=因12≠λλ，故120,=Tαα即1α与2α正交.定理 4.3设A 为n 阶对称矩阵,λ是A 的特征方程的t 重根, 则矩阵-A E λ的秩()-=-λR A E n t ，从而特征值λ恰有t 个线性无关的特征向量.证明 略定理4.4 设A 为n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使1P AP Λ-=, 其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵.证明 设A 的互不相等的特征值为12λλλm ，，，，它们的重数依次为12,,m t t t ，， 于是12m t t t n +++= . 根据定理4. 1及定理4. 3知, 对应特征值i λ恰有i t 个线性无关的实特征向量, 把它们正交单位化, 即得(1,2,,)i t i m = 个两两正交的单位特征向量, 由12m t t t n +++= 知这样的特征向量恰有n 个. 又实对称矩阵不等的特征值对应的特征向量正交, 故这n 个特征向量构成规范正交向量组. 以它们为列构成正交矩阵,P 并有1.P AP Λ-=其中对角矩阵Λ的对角元素含i t 个(1,2,,),i i s =λ 恰是A 的n 个特征值. 根据定理4. 3及定理4. 4, 我们有下述把对称阵A 对角化的步骤： （1）求出A 的全部互不相等的特征值12 m λλλ，，，，它们的重数依次为1212,,().m m t t t t t t n +++= ， （2）对每个i t 重特征值i λ, 求方程()0-=i A E x λ的基础解系, 得i t 个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化, 得i t 个两两正交的单位特征向量. 因12,m r r r n +++= 故总共可得n 个两两正交的单位特征向量.（3）把这n 个两两正交的单位特征向量为列构成正交阵,P 便有1.TP AP P AP -==Λ 注 Λ中对角元的排列次序应与P 中列向量的排列次序相对应.例4. 1 设500021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一正交矩阵P 使得1.P AP -=Λ解 A 的特征多项式为50021(1)(3)(5),012A E λλλλλλλ--=-=---- 故A 的特征值为12313 5.===，，λλλ对11=λ, 由12340000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得10.p ⎛⎫⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ 对23=λ, 由12320000110,0110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12301,1x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得20.p ⎛⎫⎪= 对35=λ, 由12300000310,0130x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得基础解系为12310,0x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单位化得30.0p ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将123,,p p p 构成正交矩阵123001(,,)0,0⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭P p p p 则 .5311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 2设111111111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求一正交矩阵P 使1-=ΛP AP .解 A 的特征多项式为2111111(3),111A E λλλλλλ--=-=--故A 的特征值为1230, 3.===λλλ对120==λλ, 解齐次线性方程组(0)0,-=A E x 求得基础解系为:12111,0,01ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭经过施密特正交化, 再单位化得12,.0⎛⎛== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p对33=λ, 解齐次线性方程组3)0,-=A E x （求得基础解系为31,1ξ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭单位化得3.=p 取123(,,),0P p p p ⎛==⎝则.3001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-AP P AP P T例4. 3 设2112-⎛⎫=⎪-⎝⎭A , 求nA解 因A 对称, 故A 可对角化, 即有可逆矩阵P 及对角阵Λ, 使1.Λ-=P AP 于是1,Λ-=A P P 从而1.Λ-=n n A P P由 22143(1)(3),12λλλλλλλ---==-+=----A E得A 的特征值为121, 3.==λλ于是1010,0303ΛΛ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n 对应11,=λ 由()0,-=A E x 解得基础解系为111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对应23,=λ 由(3)0,-=A E x 解得基础解系为211ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭.并有1211(,)11ξξ⎛⎫==⎪-⎝⎭P , 再求出1111.112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭P 于是1111011131311110311221313-⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n nnn n n A P P Λ. 习题4. 41. 试求一个正交矩阵P , 将下列对称矩阵化为对角矩阵.(1) 400031013⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭; (2) 222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 2. 设A 为三阶实对称矩阵, 特征值是1,1,0.-而11=λ和21=-λ的特征向量分别是21,1,113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a a a a 求矩阵A . 3. 设三阶对称矩阵A 的特征值为6,3,3,特征值6 对应的特征向量为1(1,1,1),=T p 求A .4. 设142034,043⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 求100.A§4.5 应用举例例5. 1 社会调查表明, 某地劳动力从业转移情况是：在从农人员中每年有3/4改为从事非农工作, 在非农从业人员中每年有1/20改为从农工作. 到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5, 试预测到2015年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势．解 到2011年底该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比分别为1114;45205⨯+⨯31194.45205⨯+⨯ 如果引入2 阶矩阵(),ij A a =其中121/20a =表示每年非农从业人员中有1/20改为从农工作. 213/4a =表示每年从农人员中有3/4改为从事非农工作. 于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20/194/320/14/1A再引入 2 维列向量, 其分量依次为到某年底从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比．如向量1/54/5X ⎛⎫=⎪⎝⎭表示到2010年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5．那么, 2011年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比就可由下述运算得出1/41/201/53/419/204/5AX ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1114452053119445205⎛⎫⨯+⨯⎪= ⎪ ⎪⨯+⨯ ⎪⎝⎭9/10091/100⎛⎫= ⎪⎝⎭于是, 到2015年底该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的百分比应为5,A Xk 年后该地劳动力的从业情况可由计算k A X 而得.矩阵A 的特征多项式)1)(15(20194320141||--=--=-λλλλλE A得A 的特征值121/5, 1.λλ==所以A 能与对角矩阵相似.求特征值11/5λ=对应的特征向量为：11⎛⎫⎪-⎝⎭求特征值21λ=对应的特征向量为：115⎛⎫⎪⎝⎭取矩阵11,115P ⎛⎫=⎪-⎝⎭则P 为可逆矩阵, 且使得11/50.01P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭因为11511,1116P --⎛⎫=⎪⎝⎭所以 555111/50(1/5)0,0101A X P P X P P X --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)5/1(151115⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11115161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5/45/1 66111151116155⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪- ⎪⎝⎭类似的, 第k 年底该地劳动力的从业情况为111511/5(1/5)01115114/51601kk A X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++11511155111161545151515511155115151161k k k k k k 按此规律发展, 多年之后该地从农工作和从事非农工作人员占全部劳动力的百分比趋于16/10011594/10016⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即多年之后该地从农工作和从事非农工作人员各占全部劳动力的6/100 和 94/100.例5. 2 在1202年, 裴波那契在一本书中提出一个问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖, 每个月生出一对后代, 现在有一对新生兔子, 假设兔子只繁殖, 没有死亡, 那么问每月月初会有多少兔子？解 假设这对兔子出生时记为零月份, 这时只有一对兔子, 一个月后即1月初, 这对兔子还未开始繁殖, 所以依然是一对兔子, 2月初, 它们生了一对兔子, 因此, 此时有两对；3月初, 它们又生了一对兔子, 而在1月初生下的那对兔子还未繁殖, 故此时共有3对, ……, 依次下去, 有1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …,这一数列称为裴波那契数列.设第n 月初有n x 对兔子, 则有12.n n n x x x --=+这是一个递推公式, 显然01 1.x x == 将上式用矩阵表示, 有11101.11n n n n n n n x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记101,,11n n n x X A x +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么0011,1x X x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且21201.1n n n n n X AX A X A X A --⎛⎫===⋯== ⎪⎝⎭易知A的特征值为121122+==λλ 属于1λ的特征向量为()111,T=ξλ属于2λ的特征向量为()221.T=ξλ 令()121211,P ⎛⎫==⎪⎝⎭ξξλλ那么1120.0P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭λλ而 21112211211111,111P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλλλλλλλ于是1111212212211111212222212121211111111 =,n n n n n n n n n n n n X A P P -++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪---⎝⎭⎭λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以11111211).22n n n n n x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭λλ 这就是裴波那契数列的卢卡斯通项公式.习题四1. 求与()()()1231111,1111,2113TTTααα=-=--=正交的单位向量．2. 试用施密特正交化方法把下列向量组正交化：(1) 1231021,1,0123ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2) 123111011,,101110ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3. 判断下列矩阵是不是正交矩阵, 并说明理由.(1)10;3323⎛ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)11123111.2211132⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭4. 设,A B 为同阶正交矩阵, 则它们的乘积AB 也是正交矩阵.5. 求下列矩阵的特征值与特征向量（1）211031;213-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）001010;100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）11111111;11111111⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭ （4）10000100;00010000a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭6. 设,A B 为n 阶方阵, A 可逆, 证明AB 与BA 有相同的特征值．7. 设A 是三阶矩阵, 它的特征值是-1, 2, 1, 求*32A A E ++.8. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为1p 和2p , 证明12p p +不是A 的特征向量.9. 设21253,102A b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭已知A A ,1-=的伴随矩阵*A 特征值0λ所对应的特征向量T )1,1,1(--=α, 求0λ和b 的值.10. 已知111p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵21153143A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量. (1) 求参数,a b 及特征向量p 所对应的特征值; (2) 问A 能不能相似对角化？并说明理由.11. 设110220,421A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求kA12. 设n 阶方阵A 的秩为,r A A =2． （1）求A 的特征值;（2）证明E A -的秩为();n R A -（3）证明A 可相似于对角矩阵, 并写出对角矩阵.13. 设A 为3阶矩阵,12,αα为矩阵A 的分别属于特征值 -1和1 的特征向量, 3α满足323A ααα=+, 证明 123,,ααα线性无关.。
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
线代第四章之实对称矩阵
目录
• 实对称矩阵基本概念与性质 • 实对称矩阵的相似对角化 • 特征值与特征向量在实对称矩阵中的应用 • 正交变换在实对称矩阵中的应用 • 线性方程组在实对称矩阵中的解法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01
实对称矩阵基本概念与性质
定义及性质
性质：实对称矩阵 具有以下性质
不同特征值对应的 特征向量正交；
拓展延伸：其他类型矩阵简介
反对称矩阵
反对称矩阵是一个方阵，其转置等于它本身的相反数，即$A^T = -A$。反对称矩阵在量 子力学和刚体动力学等领域有着重要应用。
正交矩阵
正交矩阵是一个方阵，其逆等于它本身的转置，即$A^{-1} = A^T$。正交矩阵在保持向 量长度和角度不变的线性变换中扮演着重要角色。
举例说明
例子1
例子2
例子3
矩阵$A=begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$是一个实对称矩阵 ，因为$A^T=A$。
矩阵$B=begin{pmatrix} 1 & 2 -2 & -1 end{pmatrix}$不是一个实对称 矩阵，因为$B^T neq B$。
应用正交变换求解
03
04
05
首先，通过正交变换将 然后，根据对角矩阵
矩阵$A$化为对角矩阵， $D$的元素即为原实对
即求解$P^{-1}AP = D$， 称矩阵的特征值，求得
其中$D$为对角矩阵， 特征值为$lambda_1 =
$P$为正交矩阵；
1, lambda_2 = 4$；
最后，根据特征值求得 对应的特征向量，并构 造正交矩阵$P = begin{pmatrix} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}$。
1线性代数 4.4实对称矩阵的对角化
2 x2 2 x3 0,
1
解之得基础解系
3 2.
2
第三步 将特征向量正交化.
因为1, 2 , 3是属于 A的 3 个不同特征值的
特征向量, 故它们必两两正交.
第四步 将特征向量单位化.
令 i
i i
,i
1,2,3,得
2 / 3
2 / 3
1/ 3
1 2/ 3 , 2 1/ 3 , 3 2/ 3.
由的任意性, 知实对称矩阵的特征值
都是实数.
性质2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征 向量是正交的。
证明 : 设1, 2是实对称阵 A的两个特征值 , (1 2 ),
x1, x2是对应于 1, 2的特征向量 ,
即
Ax1 1x1, Ax2 2 x2
由A AT , 有1x1T (1x1)T ( Ax1)T x1T AT x1T A
2
解之得基础解系
1 2 .
1
对 2 1,由(E A)x 0,得
x1 2 x2
0,
2
x1
2 x3 0,
2 x2 x3 0,
解之得基础解系
2
2 1 .
2
对 3 2,由(2E A)x 0,得
4 x1 2 x2
0,
2 x1 3 x2 2 x3 0,
i , (i 1,2,, n)
,解齐次
线性方程组 (i E A)x 0
找出基础解系 pi1 , pi2 ,, pis
3）、将 p1, p2 ,, pn 正交化，单位化 ，
得一组正交单位
向量 1,2 ,,n ,这组列向量就构成了
正交矩阵 P
例4.4.2
已知1 6，2 3 3是实对称矩阵A的三个特征值，
线性代数—实对称矩阵的对角化
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
思考题1解答
解由 A 2A 可A 的 得特1或 征 0,又 值 A 是为 实对
阵 ,且秩 r,故 为 存在 P ,使 可 得 逆阵
P1AP Er 0, 0 0
其中 Er是 r阶单位 . 阵 从 d 2 E 而 e A ) d t 2 P ( P e 1 P t P 1 ) (
矩P 阵 1,使得 P 1 1 A P 1 d ( n , i 0 , a , 0 )g ,
还可求得
de B tE ()(n )( )n 1,
即B与A有相同的特征 . 值
对应特 2 征 值 n0,有 n1个线性无
特征,故 向存量 在可逆 P2矩 ,使阵 得 P2 1BP2 ,
从而 P 1 1 A P 1 P 2 1 B P 2 ,
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2 2 0 例 设A2 1 2,求一个正交矩阵P，
0 2 0 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
2 2 0
AE 2 1 2 4 1 2 0
0 2
得 1 4 ,2 1 ,3 2 .
第二 由 A i步 E x 0 ,求 A 的 出 特征
1 Tx1x2x30.
解之得基础解系
2
-1
1
，
3
-1
0
.
0
1
, 即 与 特 征 值 = - 1 相 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .
2 3
将特征向量正交化
令 1=1,2=2,
3=
3
2 , 3 2 , 2
2
1 2
1 2
1
.
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Ap l p
那么称数 l 为 A 的特征值, 特征值 l 的特征向量. • p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即 p 为方 称非零向量 p 为 A 对应于
程组 (lE A) x 0 的任一非零解.
• l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE A | 0. • 对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性 无关的特征向量, 称属于 l 的线性无关特征向量组.
k 2
5
n
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. • 在复数范围内, n 阶方阵有 n 个特征值(重根按重数算). • 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值, 则有
| l E A | (l l1 )
特征值的性质 (1) (2)
(l ln ) l ( l i )l
n i 1
n
n 1
ck l n k
k 2
n
| A | l1
ln ;
ann . A 的迹, 记为 tr(A).
6
l1
ln a11 a22
A P L P 1 , Ak P L k P 1 , f ( A) Pf ( L ) P 1
而对于对角阵 L diag(l1,…, ln), 有
k L k diag (l1k , , ln ), f ( L ) diag[ f ( l1 ), , f ( ln )]
由此可方便地计算 A 的多项式. 定理1 n阶方阵 A与对角阵 L diag(l1,…, ln) 相似 的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1,…, pn 满足
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cnc1 (Biblioteka 11 a22 ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 注: 方阵 A 的特征多项式也记为 | AlE | , 除了可能差 一个负号外与 |lE A| 并无本质性的差异.
线性代数讲义4
特征值与实对称矩阵的正交变换对角化(精简版)
张宏浩
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1
相似矩阵
设
f ( x ) an x n
a1 x a0 ,
记
f ( A) a n A n
称 f (A) 为方阵 A 的多项式. 对于方阵
a1 A a0 E
B P 1 AP , 有 B k P 1 A k P , f ( B ) P 1 f ( A) P
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9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 方阵 A 的特征多项式为
|lE A|
l 9
2 2
2 2 l 6 4 4 l 6
l 9
2 2
2 0 l 9 2 0 l 6 l 10 4 l2 0 4 l 10 2 4 l 10
P 1 AP B , 故
| l E B | | l E P 1 AP | | P 1 (l E A) P | | P 1 | | l E A | | P | | l E A |
推论 若对角阵L 是 A 的相似矩阵, 则L 以 A 的特征值 为对角元素.
相似矩阵 设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使
P 1 AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵. 称 P 为相似变换矩阵.
• 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.
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可相似对角化方阵的多项式计算 若存在可逆矩阵 P, 使 P1AP 为对角矩阵 L, 则称 方阵 A 可相似对角化. 此时有
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1
其中
cn
c1 (a11 a22
ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 定理2 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值). 证明 设 A 与 B 相似, 即有可逆阵 P, 使
Api li pi ( i 1,
提示: 当 P ( p1,…, pn )可逆时, 是 AP PL.
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, n) , ln pn )
3
P1AP L 的充要条件
AP ( Ap1 ,
, Apn ), PΛ (l1 p1 ,
方阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量 设 A 为方阵, 如果存在数 l 和非零向量 p, 使
(l 10)(l 2 11l 10) (l 1)(l 10)2
方阵 A 的特征值为
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l1 1, l2 l3 10.
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9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 当 l1 1 时, 解方程组 ( E A) x 0. 由
l a11
|lE A| a21 an1
a12 l a22 an 2
n n k k 2
a1n a2 n
l ann
l ( aii )l
n i 1 n n 1
(l a11 )
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(l ann ) bk l
ck l n k