3实对称矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0][b1a2b20...0][0b2a3b3...0][00b3a4...0][..................][ 0 0 0 ... bn-1 an ]下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
实对称矩阵特征值与特征向量的性质
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量 共14页
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
3
3
(3 , (2,
2 2
) )
2
(3, 1) (1, 1)
1
s
s
(s , s1 ) (s1, s1 )
s1
(s , 2 ) (2 , 2 )
2
中的两个列向量，则 n T a1b1a2b2 anbn aibi i1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
2. 内积的性质
(1) ( , ) = ( , ) ;
(2) (k , )= k( , );
(3) ( + , )= (, )+ ( , );
令 1 1
2
2
(2, 1) (1, 1)
1
3
3
(3 , (2,
2 ) 2 )
2
(3, 1) (1, 1)
1
s
s
(s , s1 ) (s1, s1 )
s1
(s , 2 ) (2 , 2 )
n
T ai2
i1
如果 || || = 1，则称 为单位向量.
0 ，则 1 为单位向量或标准化向量.
4. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ;
7.Th.: 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量组, 则1,2 , …,s
线性无关.
实对称矩阵的特征值和特征向量
A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即 若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量 组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量（一）摘要在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。
QR 方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。
QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.由于特征值和特征向量能从本质上揭露矩阵的某些重要性质，因而得到它们的精确解十分重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题。
特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解。
关键词：特征值；特征向量；QR分解Solve Real Symmetry Three Diagonal Matrix Eigenvalue AndEigenvectorABSTRACTValues in the feature, the QR method has milepost sense. QR method is a transformation method, is the calculation of the general matrix ( small and medium-sized matrix ) one of the most effective methods of eigenvalue problems. The QR method has fast convergence, algorithm stability. Because the eigenvalues and eigenvectors can reveal some important properties of matrix from the nature, and thus obtain their exact solutions is very important, but the calculation is very complicated mathematical problems. Especially when the high rank of matrix, the calculation is very large, and is not easy to find the exact solution.Key words:eigenvalue; eigenvector; QR decomposition目录1 绪论 (1)1.1 问题重述 (1)1.2研究方法 (1)2 QR方法 (3)2.1 QR分解的概念 (3)2.2 Givens方法 (3)2.3豪斯霍尔德方法（镜像变换） (5)2.2.1 Householder 矩阵和Householder变换 (5)2.2.2QR算法 (6)3 QR算法C实现过程 (8)3.1主要参数 (8)3.2组成模块 (8)3.3程序改错 (8)4 测试运行 (11)参考文献……………………………………………………………………………….…….. 附录…………………………………………………………………………….……………..1 绪论1.1 问题重述（1）用你所熟悉的计算机语言编制利用QR 方法求实对称三对角矩阵全部特征值和特征向量的通用子程序。
线性代数 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值与特征向量主要内容◼矩阵共轭的概念◼实对称矩阵的性质⚫矩阵共轭的概念定义(),ij m n A a ⨯=并称A 是A 的共轭矩阵.就是对它的每个元素取共轭. 记为对复数域上的矩阵(或向量)取共轭(1)kA k A =(2);A B A B +=+(3) ;AB AB =()(4) ;T T A A =(5);A A =()11.A A −−=(6)若A 可逆, 则(k 为复数)共轭矩阵的性质⚫实对称矩阵的特征值与特征向量定理1实对称矩阵的特征值都是实数, 相应的特征向量可取为实向量.证明：设λ是实对称矩阵A 的任意特征值，且x 是属于λ特征向量, xAx λ=上式两边取共轭,x Ax λ=即.x x A λ=由A 是实对称矩阵，,A A =即得故因此有.x x A λ=上式两边同时转置后、再右乘x , 得T T T T x A x x Ax x xλ===即T T x x x xλλ=T T x x x xλλ==右边左边即,λλ=说明λ是实数.这样当实对称矩阵的特征值都是实数时, 齐次方程组(λE −A )x =0是实系数的方程组, 因此必有实的基础解系, 所以对应的特征向量可取为实向量.而()1212T n n x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭012≠=∑=n i ix注意若A是一般的实矩阵而非对称的，则它的特征值与特征向量完全可能是复数.定理2证,A αλα=对第一个等式两边转置并右乘β, 设A 是实对称矩阵，特征值的特征向量必正交.则属于A 的不同设λ, μ是A 的两个不同特征值,α, β是分别属于λ,μ的特征向量，则有A βμβ=T T TA αβλαβ=得由于A =A T , A β=μβ，()0T λμαβ−=由于λ≠μ，代入上式左边并移项得，故αT β=0，即α与β正交. 证毕.定理2指出，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的，是相互正交的.这为寻找实对称矩阵的正交特征向量组提供了方法. 而且。
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
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则 Q 为正交矩阵，并且使得矩阵 A Q T AQ Q 1 AQ 。 对角化为 ： 例3．设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 0 ， 2 3 1（二重）， A 的属于0的特征向量为
解： 因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重 特征值1的线性无关向量 应有两个特征向量组成， 设为 2 , 3 。 根据定理4.13, 它们都与 1 正交，故 2 , 3 是
T
令 Q 1 0 ,Q Q Q ， 3 1 3 0 Q2 则 Q3 , Q 均为 n 阶正交矩阵， 并且
1 0 Q AQ Q3 (Q1 AQ1 )Q3 0 Q 2
1 1 1
1
1 0 1 0 0 A 0 Q 1 2
det(E A) 0
解齐次线性方程组 对于 1 2 3 ， 即求解 (3E A) X 0 1 2 2 x1 0 2 4 4 x2 0 2 4 4 x 0 3 得到一个基础解系 1 (2,1, 0)T， 2 (2, 0,1)T 。 对于 3 6 ， 解齐次线性方程组 (6 E A) X 0 ， 8 2 2 x1 0 即求解 2 5 4 x2 0 2 4 5 x 0 3 得到一个基础解系 3 (1, 2, 2) 。
将它们单位化： 则 1 ， 2 , 3 是正交组，
1 2 T 1 (0, 1, 1) 1 2 2 2 (1, 0, 0)T 2 3 2 3 (0, 1, 1)T 3 2
构造矩阵
Q ( 1 , 2 , 3 )
0 2 1 2 1 2
0 1 0 Q T AQ 2 1 2
1 0
0 1 1 Q2 0
0 1 A1 0
0 Q2
这表明 Q 1 AQ 为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，
diag(1, 2 , 3 ,, n )
证明： 对矩阵 A 的阶数 n 用数学归纳法。 当 n 1 时, 定理结论显然成立. 假设对于所有 n 1 阶实对称矩阵来说定理成立。 下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。 设 1 是 A 的一个特征值， 1 是属于特征值 1 的特征 1 向量, 显然单位向量 1 1 也是 A 的属于 1 的 特征向量. 故不妨设1是单位向量， 记 Q1 是以 1 为 第一列任意正交矩阵。 把 Q1 分块为 Q1 (1 , Q0 )， 其中 Q0 为 n (n 1) 矩阵。
于是有
1 2 1 2 2 1 (1 2 ) 2 1 0 这样，由 1 2 得到 2 T 1 0，即 1 与 2 是正交的。
T T T
【注】 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的 特征向量相互正交的线性无关组。 例1 在§4.1中里4中，矩阵 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3 是实对称矩阵， 特征值 1 2 1 （二重）对应特征
正交化， 得到正交向量组 i1 , i 2 ,, ini ，
再把 i1 , i 2 ,, ini 单位化，得到一个 标准正交组 i1, i 2 ,, ini ， (i 1,2,, m)
；
注意：它们都是属于 i 的线性无关特征向量！！
第四步 令 Q (11 ,12 ,,1n1 ,, m1 , m 2 ,, mnm ) ， 则 Q 是正交阵, Q T AQ Q 1 AQ 为对角阵， 且
T 而 齐次线性方程组1 X 0 的基础解系， T 1 X 0 (0,1, 1)( x1 , x2 , x3 )T 0 x2
T 1 (0,1, 1)，求矩阵 。
x3 0
所以，可取 2 (1, 0, 0)T , 3 (0, 1, 1)T （彼此正交）
n1 n2 nm QT AQ Q 1 AQ diag(1 ,, 1 , 2 ,, 2 ,, m ,, m )
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序 与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。 这种对角化形式是唯一的。 在不计排列顺序情况下，
2
0 1 1
2 3 2 T 3 (0, 1, 1) 3 2
1
则
1T 1T A1 1T AQ0 Q11 AQ1 Q1T AQ1 T A(1 , Q0 ) T Q Q A Q T AQ 0 0 1 0 0 注意到 A1 11 1T 1 1, A AT
§3.3 实对称矩阵特征值和特征向量
实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。
永远可以对角化。 这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，
一、 实对称矩阵特征值的性质 定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。 证明：设 A 是 n 阶实对称矩阵， 0是矩阵 A 的在复数 域上的任一特征值， 属于 0 的特征向量为 (a1 , a 2 ,, a n )T 则 A 0 ( 0) ， 于是，两边取复数共轭得到
则 Q 为正交矩阵， 并且使得 矩阵 A 对角化为 ：
Q T AQ Q 1 AQ
0 0 1 0 1 0 1 1
于是 A QQ T
0 2 1 2 1
1 1 0 0 0 2 0 1 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 (0, 1, 1)T 2 1 2 0 1 1 2 2 (1, 0, 0)T
T 2
由于 0 ，所以有 0 0 0 0 0 这样，0 是实数。由 0 的任意性，实对称矩阵 A 的 特征值都是实数。
附注：进一步地有， 实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同 特征值的 特征向量相互正交。 证明： 1 ， 2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ， 设
T
把 1 (2,1, 0) 正交化： T 1 1 (2,1, 0)
T
2 (2, 0,1)
T
4 2 4 T 2 T 1 T T 2 2 T 1 (2, 0,1) (2,1, 0) ( , ,1) 5 5 5 1 1 将 1 , 2 , 3 单位化， 得到 构造矩阵 Q ( 1 , 2 , 3 ) 1 5 T 1 (2, 1, 0) 6 2 5 1 5 5 2 5 3 4 2 5 2 (2, 4, 5)T 15 2 15 0 5 2 5 3 1 2 2T 3 3 ( , , ) 3 3 3 3 3
2 分别是属于特征值 1 ， 2 的特征向量。 于是 A1 11 (1 0) ， A 2 2 2 ( 2 0) 2 T ， 得到 对上面第一式两边左乘
2 T A1 1 2 T 1
而
T T T T T
（4.12）
T
2 A1 ( A 2 ) 1 ( A 2 ) 1 (2 2 ) 1 2 2 1
（实对称矩阵A 的标准形！！）
2 2 2 A 2 1 4 2 4 1 求一正交阵 Q , 使 Q 1 AQ 成对角矩阵。 解： 矩阵 A 的特征多项式为
例2 对矩阵
2 2 2 2 2 0 det(E A) 2 1 4 2 1 3 2 4 1 0 3 2( 3) ( 3) 2 ( 6) 解特征方程得特征值 1 2 3 （二重）， 3 6 。
对任意
n
阶实对称矩阵定理结论成立。
二、 实对称矩阵对角化方法
根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。 具体步骤如下: 第一步 对给定实对称矩阵 A ， 解特征方程， det(E A) 0 求出 A 的所有特征值, 设 A 的所有不同的特征值为 1 , 2 ,, m
n 其中 i 为 ni 重的， 1 n2 nm n ； 第二步 对每个 i , 解齐次线性方程组 (i E A) X 0 求出它的一个基础解系 i1 , i 2 ,, ini (i 1,2,, m) ； 第三步 利用施米特正交化方法，把 i1 , i 2 ,, ini
A 0
A 0
A 0
(4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到 定理4.12 实对称矩阵 T T A 0 的特征值都是实数。 两边再右乘 ， 得到 T A 0 T 0 T 0 T (0 0 ) T 0
及1与Q0 的各列向量都正交， 所以
0 1 0 1 Q1 AQ1 T 0 Q0 AQ0 0 A1
1
其中 A1 Q0 AQ0 为 n 1 阶实对称矩阵。 根据归纳法假设， 对 A1 存在 n 1 阶正交矩阵 Q2 使得 1 T Q2 A1Q2 Q2 A1Q2 diag(2 , 3 ,, n )
向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T 都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过 标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 Q , 使 Q T AQ Q 1 AQ 为对角阵. 存在正交阵