实对称矩阵的正交对角化
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
14实对称矩阵的相似对角化
1
2
3
A
PP 1
1 3
7 0 2
1 2 2
P (1,2 ,3) 2 2 1
2 1 2
0 5 2
2 2 6
P 1
1 9
1 2 2
2 2 1
2 1 2
例2：设1，1，1是三阶实对称方阵 A的3个特征值，
1 （1，1，1）T ,2 （2，2，1）T 是A的属于特征值1的
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1
(iii) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
1 0 1
1 0 1
2
2
Q 0 1 0
1 2
0
1 2
A, P或Q及三者的互求
已知A，可以求出 A的特征值及特征向量，从而可以
判断A能否与对角阵相似，并在相似时求出对角阵及相
似变换矩阵P.
P1AP
1
, 1,
, n为A的特征值；
n
P (P1, , Pn ), P1, , Pn为A的特征向量。
2 (
2, 5
1 5
,0)T
，3
(2 35
,
4 35
,
5 35
)T
Q 1 2
1
3
3
2 3
2 3
2 5
1 5
0
2
3 5
4
35 5
35
Q
5.3实对称矩阵的对角化
令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理 若实对称矩阵A的特征值 的重数为k，则A 恰有k个对应于 的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单 其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
基于特征分析的实对称矩阵可正交对角化证明
２ ０ １ ３ 年 ５ 月
喀 什 师 范 学 院 报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｋａ ｓ ｈ ｇ ａ ｒ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ３
Ｍａ ｖ ２ ０１ ３
基于特征分 析的实对称矩 阵可正交对角化证 明
引理 ３ 设 Ｘ为实对称 矩阵 Ａ 的特征 向量 ，若 Ｙ上
证明 设 Ａ ｘ ＝ Ａ ｘ且 ｘ Ｓ ， ＝ ０ ． 由（ １ ） 式可得
（ Ａ ｙ ） Ｔ ｘ ＝ ｙ Ｔ （ Ａ ｘ） ＝ ｙ Ｔ （ Ｘ Ｘ ） ＝ ａ（ ） ＝ Ａ （ ） ＝ ０ ， （ ５ ）
由（ ５ ） 式 得 知 ａｙ上Ｘ， 即 ａｙ正 交 于 Ｘ ．
一 一 一 ｒ— ｒ ～ 一 ｒ
定义
若Ａ（ 鳓
Ａ 映射所得像的集合． 即Ｘ∈ 必有 Ａ ｘ ∈嚣 则
称 为 Ａ 的不 变 子 空 间．
号两边 同取共轭 ， 就有Ａ ＝ Ａ 再取转置 ， 得Ｘ Ａ ＝ Ａ Ｘ ．
一
显然， 对应于特征值 Ａ的特征空间 』 ｖ （ Ａ— ｈ ｉ ） 是Ａ 的 不变子空间． 因为 若Ｘ ∈Ⅳ（ Ａ— Ａ Ｉ ） ， 则Ａ ｘ ＝ Ａ ｘ∈Ｎ（ Ａ— Ａ Ｉ ） ．
＝ ，
两边左乘 Ｘ ， 就有
（ ２ ）
对 Ａｘ ＝ Ａ ｘ两边取转置 ， 得ｘ ｒ Ａ￣Ａ ｘｒ ， 此 式 两边 再 右 乘 ，
即得
ｒ Ａ ＝
，
（ ３ ）
本 文介绍一种异于文献 和教科 书 的新证 明方法 ，此法结合 了一 些重要 的线性代数分析技巧 ， 包括不变 子空间、 正交补 集 和分块矩阵运算等 ，它在 加深学生对高等代数本质理论
5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
得 1 2 2(二重), 3 7.
第二步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量
将 1 2 2代入 A 2E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
1 2 4 1 2 0 2
2
0
得 1 4, 2 1, 3 2.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
值为 6 , 3 , 3, 且特征值 6 对应的一个特征向量为
p1 (1,1,1) .
T
解 设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征
值所对应的特征向量正交, 故
[ p1,x] x1 x2 x3 0,
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
二、实对称矩阵的性质
性质 1 对称矩阵的特征值为实数.
性质 2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值
p1 , p2 是对应的特征向量, 若 1 2 , 则 p1 , p2
正交.
黄凤英 5.3实对称矩阵的正交相似对角化
性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, 是 A 的特征方
1 2 s
且 Q-1AQ = 其中
Λ diag( λ1,, λ1, λ2 ,, λ2 ,, λs ,, λs ).
线性代数13.实对称矩阵对角化、二次型
AQ
.
1 2
1 2
0
解 1.计算特征值 由 E A 0容易求得A的3个特征值分别为1, - 1，- 1 22
1
2.计算特征向量. 特征值 1对应的一个特征向量为：p1 1，
1
1
特征值
1 2
对应的两个线性无关特征向量为：p2
1
,
3.对特征向量进行正交化处理.
0
1
p3
0
.
1
0,1, 2.
0 0 1
对于 0， 求解特征方程组0E A x 0，
1
得通解：x
k1
1
0
对于 1， 求解特征方程组1E A x 0，
0
得通解：x
k2
0
1
1
对于 2， 求解特征方程组2E A x 0，
得通解：x
k3
1
0
1
0
1
取
p1
1，p2 0
0
，
1
5.3实对称矩阵的正交相似对角化
5.3.1实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵有如下重要结论：
定理5.3.1 实对称矩阵的特征值全是实数.
定理5.3.2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.
证： 设1, 2为A的两个不同特征值，
p1, p2分别为1, 2对应的特征向量，下面证明p1, p2正交.
解:
2 1 1
二次型的矩阵为A
1
2
1
1 1 2
得A的特征值: 1,1, 4
2 1 1 fA () | E A | 1 2 1 ( 1)2 ( 4)
1 1 2
对于 1， 求解特征方程组1E A x 0，
实对称矩阵的对角化
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
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实对称矩阵的正交对角化
摘要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。
本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。
关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化
作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。
线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。
在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。
如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。
因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。
本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。
Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。
下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。
（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。
（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-
λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。
Ii：αi1，αi2，…，αini
则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。
令P1=（I1，I2，…，Ik），
则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。
（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。
Ji：ei1，ei2，…，eini
则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。
说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini
正交化得：
βi1=αi1，βi2=αi2-■βi1，…，βil=αil-■■βim（l=2，3，…，ni）
规范化得，
eil=■（l=1，2，，…，ni）
从上述过程易知，向量组Ji可由向量组Ii表出，即Ji中的任何向量都是αi1，αi2，…，αini的线性组合，从而一定是A的对应于特征值λi的特征向量。
（4）令P=（J1，J2，…，Jk），
则P为正交矩阵，且P-1AP=PTAP=∧=diag（■，■，…，■）。
说明：因为，P为正交矩阵？圳P的n个列向量是Rn的一组正交规范基，则从P中任取两列，必正交，因为有两种情况：（1）这两列是属于同一特征值的特征向量，因为这两列来自正交规范向量组，从而必正交。
（2）这两列是属于不同特征值的特征向量，因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，从而必正交。
又每个向量都来自正交规范向量组，必是单位向量。
故P的n个列向量是Rn的一组正交规范基，从而P为正交矩阵。
定理的注释：正交矩阵P是不唯一的，一方面P
各列可以交换，同时对角矩阵主对角线相应元素进行交换，另一方面从P的构成上来看，由于J1，J2，…，Jk不唯一，P也不唯一。
参考文献：
1.居余马等.线性代数（第2版）[M].北京：清华大学出版社，200
2.
2.蔡光兴，李逢高.线性代数（第三版）[M].北京：科学出版社，2011.
（作者单位：湖北工业大学理学院）。