6-2实对称矩阵
6-3实对称矩阵的相似对角化
1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似 对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示 则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向 量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明 首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出
6-2实对称矩阵ppt课件
若记Q [1,2,L ,n ], 由 AQ Q Ai ii , i 1, 2,L , n,
可推出1, 2,L , n是A的n个特征值, 1,2,L ,n
是与之相应的A的n个标准正交特征向量.
6
实对称矩阵的正交对角化步骤如下：
1 1 1 2
1 2 1
A
SS
1
1 3
1
0
1
2
1
1
2
0 1 1
3 1 1 1
7 1 1
1 3
1
7
1 .
1 1 7
16
方法二、设X1 x1, x2, x3 T 是矩阵A属于特征值2的
一个特征向量，则 ( X1, X3) x1 x2 x3 0. 观察可知该方程组的一个基础解系为
11
注1 设A是实对称矩阵, 则r( A) A的非零特 征值的个数.
注2 与实对称矩阵正交相似的矩阵一定是 实对称的.
定理6.7 设A, B是n阶实对称矩阵, 则 A与B正交相似 相似 A与B特征值相同.
注意 对于一般的n阶矩阵A, B, A与B正交相似 相似 A与B特征值相同， 但反之未必成立.
|2| 3 5 3 5 3 5
(II) 当3 10时，解(10E A) X O，
得特征向量
X3 [2,1, 2]T.
将X
单位化得
3
3
X3 |X 3 |
[
2 3
,
1 3
,
2 3
]T
10
2 2 1 5 35 3
令Q
[1,2
,3
]
1 5
0
4 35
§6实对称矩阵的标准形
矩阵的运算
加法
相同位置的元素相加 。
减法
相同位置的元素相减 。
数乘
所有元素乘以一个数 。
乘法
两个矩阵相乘，仅当 第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数 时，才能进行乘法运 算。
转置
将矩阵的行转换为列 ，或者将列转换为行 。
02
实对称矩阵
实对称矩阵的定义
实对称矩阵的定义
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置矩阵A^T等于A， 则称A为实对称矩阵。
矩阵的初等变换
总结词
详细描述
1. 行交换
2. 行倍法
3. 行消法
矩阵的初等变换是线性 代数中常用的方法，通 过行变换和列变换，可 以将一个矩阵转化为另 一个矩阵。
矩阵的初等变换包括以 下三种
将矩阵的两行互换位置 。
将矩阵的某一行乘以非 零常数。
用某一非零常数乘以矩 阵的某一行中的所有元 素，并将此常数加到另 一行对应位置的元素上 。
退化矩阵：至少有一个特征值为零的实对称矩阵。
正常矩阵：所有特征值都是正数的实对称矩阵。
半正定矩阵：所有特征值都是非负数的实对称矩阵，且 至少有一个特征值为零。
03
实对称矩阵的标准形
实对称矩阵标准形的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置等于它本身， 即$A^T=A$，那么我们称A为实对称矩阵。
矩阵的逆运算
要点一
总结词
矩阵的逆运算是线性代数中一个重要的概念，对于一 个可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得两矩阵相乘等于 单位矩阵。
要点二
详细描述
设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A是可逆矩阵，并将 B称为A的逆矩阵。在实数域上，一个n阶方阵A是可逆 的充分必要条件是|A|≠0。
第六章4正定二次型和正定矩阵
定理 n阶实对称矩阵A负定旳充分必要条件是它与 负单位矩阵 En 协议.
16
为了论述下一种正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵
A (aij )nn , 则其前s行前s列元素构成旳行列式
As | aij |ss , s 1, , n 称为A旳顺序主子式.即
A1
(a11 ),
定理 实对称矩阵A正定旳充分必要条件是它与 单位矩阵协议.
证明 充分性.设实对称矩阵A协议与E,即存在可
逆矩阵C,使得 C T AC E,对于任意向量X≠O,因为
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定旳.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定旳.因为A是实对
O
d
.
d | A || C1 |2| C2 |2 0,
20
令
C3
En1 O
O d 1/2
,| C3
|
d 1/2
0.
令 C C1C2C3 ,| C || C1 || C2 || C3 | 0,
则
C T AT
C3T
(C
C T T
21
AC1C2
)C3
En1 O
O En1
d
1/
2
RT AR QT P T APQ QT EQ E ,
RTBR 为对角形.
14
例A,B正定,AB正定旳充分必要条件是A,B可互换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可互换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
线性代数 6-3二次型的正定性
结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法
实正定矩阵的判定及其重要结论
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition禄 鹏（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000）摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件1 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具.2 实正定矩阵的等价定理定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>.定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定.引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4[]7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的主对角元均为正.定理1 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10⨯∈≠n R X ，使0>AX X T .证明 由定义1和定义2可证.定理2 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子式大于0.证明[]5 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵，由定义2知，存在二次型 ()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.对于每个k ,,1n k ≤≤令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.我们来证明k f 是一个k 元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数,,,1k c c 有()k k c c f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij c c a 11=()0,,0,,,1 k c c f .0>因此()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知，k f 的行列式,01111>kk k ka a a an k ,,1 =. 这就证明了矩阵A 的一切顺序主子式大于0.充分性, 对n 作数学归纳法. 当1=n 时, ().21111x a x f = 由条件011>a ，显然有()1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 ,于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A αα1. 既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假定, 1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 阶矩阵G 使 11-=n T E G A G ,这里1-n E 代表1-n 阶单位矩阵. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C , 于是 =11AC C T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn T T n a G G E αα1. 再令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n G E C , 有 2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101G E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a G G E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n G E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n GG a E 001. 令 21C C C =, ,ααT T nn GG a a -=就有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边取行列式, a A C =2. 由条件,0>A ,因此0>a . 显然⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，所以A 是正定矩阵.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明 由定理2可证.定理4 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的特征值全大于0.证明 必要性,A 为正定矩阵,若A 的全部特征值为n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ.由引理3存在正交矩阵T 使得()1式成立.令 (),,,,21n T ααα = 则i i i A αλα=()n i ,,2,1 =，即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量. 特别的，取单位特征向量01≠β，即111βλβ=A .于是有 11111βλβββT T A =01≤=λ，这与A 为正定矩阵相矛盾，故A 的全部特征值为n λλλ,,,21 都大于0.充分性: 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由引理3知存在正交矩阵T ，使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-. 从而有 ()T n T Tdiag A λλλ,,,21 =.任取0≠X ，则AX X T ()X T Tdiag X T n T λλλ,,,21 =()Y diag Y n T λλλ,,,21 =，其中 T X Y T T =()0,,,21≠n y y y ，于是AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ，即A 为正定矩阵.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 合同与E .证明 必要性, 由引理1和引理2知正定二次型()n x x x f ,,,21 可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形 22221ny y y +++ .其对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =⇒()EY Y Y AT T Y T T T =，故A 合同与E .充分性, 由于A 合同与E ，即存在可逆矩阵C 使得C C EC C A T T ==.任取0≠X ，令()Tn y y y Y CX ,,,21 ==，则0≠Y ，于是Y Y CX C X AX X T T T T ===22221ny y y +++ 0>. 故A 是正定矩阵. 定理6 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式都大于0. 证明 必要性，A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.设矩阵A 与k A 的二次型分别为AY Y T 和X A X k T . 对任意(),0,,10≠=Ti i mb b X 存在(),0,,10≠=Tn c c Y 其中⎩⎨⎧==.;,,,0,1other i i k b c k k k 由A 正定,00AY Y T ,0>得00X A X k T是正定的, 故存在实可逆矩阵k T , 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k T k T A T λλ 1， 其中(),,,10k i i =>λ 从而k k k k T k T A T A T λλ 12==0>. 又 02>k T ,故 0>k A ()n k ,,2,1 =.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子式都大于0, 所以A 的一切顺序主子式都大于0. 由定理2可证A 为正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.证明 必要性,A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.又因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,由定理6知k 个主子式都大于零, 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子矩阵都是正定矩阵, 则矩阵A 的一切主子式都大于零, 由定理6即证A 是正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 半正定且0≠A .证明 必要性, 因为A 正定，则显然A 一定半正定，且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ,由A 半正定可知，i λ(),,,2,10n i =≥又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ，故(),,,2,10n i i =>λ 由定理4可知A 正定.定理9 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实列满秩矩阵m n C ⨯, 都有AC C T 为正定矩阵.证明 必要性, 首先()TT ACC AC C T =,对任意的1⨯∈m R X ,0≠X ,由秩C n =, 知,0≠CX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即 AC C T 为正定矩阵.充分性, AC C T 正定, 则对任意的1⨯∈m R X ,0≠X , 由秩C n =, 知,0≠CX 并且 ()()CX A CX T=()0>X AC C X T T , 即A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实可逆矩阵T , 都有AT T T 为正定矩阵.证明 必要性,首先()TT ATT AT T T =, 对任意的1⨯∈n R X ,0≠X ,由秩T n =, 知,0≠TX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=TX A TX X AT T X TT T即 AT T T 为正定矩阵.充分性,AT T T 正定, 则对任意的1⨯∈n R X , 0≠X , 由秩T n =,知,0≠TX 并且 ()()TX A TX T=()0>X AT T X T T , 即A 为正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正定矩阵B ,使2B A =. 证明 必要性, 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21 全大于0，由引理3得 ()121,,,-=T Tdiag A n λλλ=()],,,[121-T Tdiag n λλλ ()],,,[121-T Tdiag n λλλ =2B ，其中 =B ()],,,[121-TTdiag nλλλ .因为B 为实对称矩阵，且特征值0>i λ(),,,2,1n i = 所以B 为正定矩阵.充分性, 由于B 为正定矩阵, 使2B A =，则B 为实对称可逆矩阵，且有 2B A =B B T =EB B T =，即A 合同与E .再由定理5得A 为正定矩阵.定理12 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.证明 必要性,A 是实对称正定矩阵，则存在实可逆矩阵P 使得 EP P A T =P P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵.充分性, 因为存在实可逆矩阵P , 使得P P A T =,并且P P A T =EP P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵. 即实对称矩阵A 合同与E ，所以A 为正定矩阵.定理13 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵n m Q ⨯, 使Q Q A T =.证明 必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵P , 使得 P P A T =()()n m n T nn P -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0. 令 =Q ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0, 则 Q Q A T=, 其中Q 为n m ⨯列满秩矩阵.充分性,n m Q ⨯为实列满秩矩阵,则Q Q T 为n 阶可逆矩阵,故对任意的1⨯∈n R X ,0≠X , 由秩Q m =, 知,0≠QX 并且=AX X T QX Q X T T ()()QX QX T=,0>即A 为正定矩阵.定理14 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =.证明 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =. 又由引理4知,存在矩阵Q 和P 使得 QR P =, 其中Q 为n 阶正交矩阵,R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵, 从而P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性, 因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 由定理12即可证A 是正定矩阵.定理15 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,U U A T =.证明 类似于定理14.定理16 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充要条件是1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.证明 当1A 可逆时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T ()2 必要性, 若A 正定，那么1A 也正定，11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E T 0211，则T 可逆，所以AT T T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵，因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.充分性, 由1A 和21123A A A A T--为正定矩阵.且两个正定矩阵的和也是正定矩阵知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵. 再由()2式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TT 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-T ，即A 为正定矩阵.定理17 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的正惯性指数等于A 的维数n .证明 由引理1和定义2显然可证.定理18 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正交向量组,,,,21n ααα 使.2211Tn n T T A αααααα+++=证明必要性,A 是正定矩阵,则由引理3可知,存在正定矩阵,U 使 ()U diag U A n T λλλ,,,21 =,()Tn U βββ,,,21 =,令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =，为正交向量组, 即得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,T n n T T A αααααα+++= 2211=[]T n TT ααα 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ααα 21 U U T = （U 为正交矩阵）, 显然A 是正定矩阵.3 实正定矩阵的重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外, 还有一些很重要的结论,下面给出详细内容及其证明. ()1 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则0>A .证明 设A 是一正定矩阵,因为A 与单位矩阵合同,所以有实可逆矩阵C 使 C C EC C A T T ==. 两边取行列式, 就有02>==C C C A T.()2 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明 因为A 是实对称正定矩阵, 则0>A , 所以A 可逆. 又因为 ()(),111---==A A A T T所以1-A 也是实对称矩阵.设A 定特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 但1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =, 即1-A 为正定矩阵.()3 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明 已知*A =,1n n R A A ⨯-∈ 且()(),***==A A A T T又A 是正定矩阵, 所以0>A .设A 的特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,于是*A 的n 个特征值为11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零, 即*A 也是正定矩阵.()4 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则k A （k 是正整数）也是正定矩阵.证明 设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,则k A 对全部特征值为,,,,21knk k λλλ 也都大于零, 即k A 也是正定矩阵. ()5 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则必有nn a a a ,,,2211 都大于零,即主对角线上的元素都大于零.证明 根据定义1和定义2可知，对任意的1⨯∈n R X ,且0≠X 有0>AX X T ,故依次令,100,,001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= X可得,011>a ,022>a , ,0>nn a 即证主对角线上的元素都大于零.()6 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则存在实数,a 使得A aE -是正定矩阵. 证明 设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 则A aE -的特征值为 .,,1n a a λλ--令 {}1,,2,1,max +==n i a i λ, 则有()n i a i ,,2,10 =>-λ从而A aE -是正定矩阵, 即证存在实数a 使得A aE -是正定矩阵.()7 若A 是n 阶实对称矩阵,E 为n 阶单位矩阵, 证明:存在正数ε,是得A E ε+为正定矩阵.证明 可证A E ε+为实对称矩阵, 且存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T AT T λλ 1, 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值,令 {}n λλλλ,,,max 210 =.不妨设0λ0>（因为,若0λ0=,则01===n λλ ,0=A ,结论已证）. 再令 110+=λε, 那么110<+λλi ()n i ,,2,1 =.所以 ()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=-110011λλλλεn T A T⇒()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=+-11110011λλλλεn T A E T ，其中0110>++λλi ()n i ,,2,1 =, 故A E ε+为正定矩阵.()8 若B A ,都是n 阶实对称矩阵,A 是正定矩阵, 证明: 存在实可逆矩阵T , 使得AT T T 与BT T T 同时为对角形.证明 由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 是BP P T 对特征值.令 PQ T =,则AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ其中E 为n 阶单位矩阵.()9 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明 .B A B A +>+证明 由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称正定矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 都大于零是BP P T 对特征值.令 PQ T =, 则 AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,其中E 为n 阶单位矩阵,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1, ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+n T T B A T λλ111 , 有 ()()()n T B A λλλ+++=+111212.又知 12=P A ,n P B λλ 12=. 而PQ T =,其中Q 为正交矩阵, 则1±=Q , 且2222P Q P T ==.所以 ()()()n P B A λλλ+++=+111212n λλλ 211+≥,而 []n P B A λλλ 2121+=+, 即证 B A B A +>+.()10 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,则B A +也正定.证明 B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 则()B A B A T +=+, 且对任意的1⨯∈n R X ,0≠X 有()0>+=+BX X AX X X B A X T T T , 所以B A +也正定.()11 若A 是n 阶实对称正定矩阵,证明:nn a a a A 2211≤, 其中()n i a ii ,,2,1 =为A 的主对角元素.证明 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A A αα1, 其中1A 为A 的1-n 阶顺序主子阵, ()n n n n T a a a ,121,,,-= α因为A 正定, 所以1A 正定,11-A 存在,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111A E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn Ta A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1111αA E n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-αα11100A a A T nn ,两边取行列式得()αα111--=A a A A T nn .因为1A 正定, 所以11-A 正定,011≥-ααA T ,01>A , 则由上式可得 nn a A A 1≤.同理1,121--≤n n a A A , 其中2A 为A 的2-n 阶顺序主子阵, 这样继续下去,可得 nn a A A 1≤nn n n a a A 1,12--≤≤≤ nn a a a 2211.()12 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明:AB 的特征值均大于零.证明 由于A 是正定矩阵, 则A 合同与单位矩阵E , 即存在实可逆矩阵,P 使得 E PAP T =.()()()11111-----==P B P BP P PAP PABP TTT .因为B 为正定矩阵, ()()11--P B P T也正定, 从而它的特征值全大于零. 再由上式可知AB 与()()11--P B P T相似, 所以它们有相同的特征值, 因此AB 的特征值均大于零.()13 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 且BA AB =, 证明AB 为正定矩阵. 证明 见参考文献[]7第273271-页.参考文献[1] Pullman NP. Matrix Theory and its Applications[M]，Academic Press,1976. [2] COM PA. Principles and Practice of Mathematics[M]，SpringerVerlag,Berlin Heidelberg,1998.[3] Johnson CR. Positive definite matrices[J]，AmerMathMothly ,1970.[4] 胡跃进. 广义正定矩阵的一个不等式[J]，阜阳师范学院学报（自然科学版），2001. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教 育出版社，2003.[6] 张禾瑞,郝镔新. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教育出版社，1983. [7] 钱吉林. 高等代数解题精粹（修订版）[M]，北京:中央民族大学出版社,2002.。
线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5（矩阵正定的必要条件）
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵，
证明： 因为A正定，所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性：设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性： f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.
解
A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P
1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例4 设n阶实对称矩阵A满足A2 A, 且A的秩为r , 试求行列式 det 2 E A的值.
该方程组的一个基础解系为1 1,1, 0 , 2 1, 0, 1 .
1 1 令S 1 , 2 , X 3 1 0 0 1 S 1 AS diag(2, 2,3) ， 从而
1 1 ，则 S 为可逆阵，且 1
将X1，X 2正交化，令
1 X1 [2,1, 0]T ( X 2 , 1 ) 4 2 4 2 X2 1 X 2 5 1 [ 5 , 5 ,1]T . ( 1 , 1 )
将1， 2单位化得
1 1 | [ | 1
2 1 , , 0]T , 5 5
T
参数k 和矩阵A.
解 因为A 实对称，故 X X 3，有 0 ( X , X 3 ) 97 k 99 k 2.
方法一、设X1 x1 , x2 , x3 是矩阵A属于特征值2的
T
一个特征向量，则
( X1 , X 3 ) x1 x2 x3 0.
T T
(I) 当1 2 1时，解( E A) X 0， 1 2 2 1 2 2 0 0 0 EA 2 4 4 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 4 0 0 0 得特征向量X1 [2,1, 0]T ， X 2 [2, 0,1]T
T A 111T 222 T n n n .
, n是A的n个
,n为相应的n个标准正交的特征
例3 (课后15题） 设 3 阶实对称矩阵A的特征值为 2, 2, 3, 且 X 97 , k , 99 为矩阵A的属于特征值 2的一个特征向量，
T
X 3 1 ,1 ,1 为矩阵A 的属于特征值 3的一个特征向量, 求
定理6.2 若实矩阵A正交相似于对角矩阵D, 则A必为实对称矩阵.
即，与对角阵正交相似的矩阵必为实对称矩阵.
实对称矩阵的性质
1、n 阶实对称矩阵A必有n个实特征值. （定理6.3）
2、 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征 向量必正交.（定理6.4 ）
3、实对称矩阵A的每个特征值的几何重数 等于代数重数.
1 |1|
1 1 1 ，则Q为可逆阵，且 令Q 1 ,2 ,3 1 0 1 0 1 1 Q 1 AQ Q T AQ diag(2, 2,3) ， 从而
A Q Q 1 Q Q T
1 2 1 2 1 6 1 6 2 0 6 1 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 0 2 6 1 3
方法二、设X1 x1 , x2 , x3 是矩阵A属于特征值2的
T
一个特征向量，则
T
( X1 , X 3 ) x1 x2 x3 0.
T
观察可知该方程组的一个基础解系为
1 1,1, 0 , 2 1, 1, 2 ,且 1 , 2正交.
由A 实对称可知1 , 2 , X 3为正交组. 将1 , 2 , X 3单位化得 1 1 2 T 1 [1,1, 0] , 2 [1,1, 2]T , | 2 | 2 6 1 X3 2 | X | [1,1,1]T , 3 3
6.2 实对称矩阵的对角化
定义6.3 设A, B R 使得 S AS S AS B,
T 1 nn
, 若存在正交矩阵S ,
则称A正交相似于B.
注
(1) 正交相似是一种等价关系.
(2) 正交相似必相似.(反之不成立）
4 3 1 0 例如：A , B , 2 1 0 2 二者相似，但不能正交相似. (因为与对角阵正交相似的一定是对称阵）
（2）求(i E A) X 0的基础解系，并组内 施以施密特正交化和单位化，得到A的属于特 征值i的ni 个标准正交的特征向量 ( I i )： i1 , i 2 , , ini (i 1, 2, t)
（3）令S I1 , I 2 ,
, I t ，则S是正交矩阵, 且 , t Ent ).
注1 设A是实对称矩阵, 则r ( A) A 的非零特 征值的个数. 注2 与实对称矩阵正交相似的矩阵一定是
实对称的.
定理6.7 设A, B是n 阶实对称矩阵, 则 A与B正交相似 相似 A与B特征值相同.
注意 对于一般的n 阶矩阵A, B, A与B正交相似 相似 A与B特征值相同， 但反之未必成立.
1 1 1 A S S 1 3 0 7 1 1 3 1
1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 7 1 . 1 7
定理6.3的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
定理6.6 n 阶实对称矩阵A必正交相似于实对 角矩阵, 即存在正交矩阵Q, 使得 Q AQ Q AQ diag(1 , 2 ,
2 2 | [ | 2
2
3 5 3 5 3 5
,
4
,
5
]T ,
(II) 当3 10时，解(10 E A) X O， 得特征向量 将X 3单位化得 X 3 [2,1, 2]T . X3 3 [ 2 , 1 , 2 ]T |X 3 | 3 3 3
2 1 2 5 3 5 3 1 4 2 令Q [1 ,2 ,3 ] ,则Q为正交阵， 3 5 3 5 5 2 0 3 3 5 且 Q 1 AQ Q T AQ diag[ 1, 1, 10].
2
2
2 4
2
2 0
2
2
5
4
5
5 4 1 1
2
2 0
4 2 4 2 2 9 4 ( 1) 2 9 0 1
( 1) 2 ( 10) 故A的全部特征值为1 2 1 , 3 10
1 2 例2 与矩阵 正交相似的为__________. 2 3 1 1 0 1 (A) (B) 1 3 1 4 2 3 1 1 (C) (D) 3 4 4 3
答：(B).
谱分解定理 设A为n阶实对称矩阵，1 , 2 , 特征值，1 ,2 , 向量，则
S 1 AS S T AS , 其中 diag(1 En1 , 2 En2 ,
(书226页11题)
2 2 2 , 求正交矩阵Q及对角 例1 设A 2 5 4 5 2 4 T 矩阵 , 使得Q AQ .
解
2 E A 2
T 1
, n ).
若记Q [1 ,2 , 可推出1 , 2 ,
,n ], 由 , n, , n
AQ Q Ai ii , i 1, 2,
, n是A的n个特征值, 1 , 2 ,
是与之相应的A的n个标准正交特征向量.
实对称矩阵的正交对角化步骤如下： （）计算 1 E A 0, 求出A的全体互异的 特征值1，2， ，t，它们的代数重数分别为 n1 , n2 , , nt ；
2
方法三、实对称矩阵A 2 E3 的全部特征值为 0,0,1，令Y
1 3
X 3，则Y 为A 2 E3属于特征值
1的单位特征向量.由实对称矩阵的谱分解定理， 1 1 1 1 1 T A 2 E3 1 YY 1 1 1 1 1 1 1 , 3 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 7 1 . 故 A 2 E3 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 7