矩阵论 矩阵的分解
矩阵论中的奇异值分解方法研究
矩阵论中的奇异值分解方法研究矩阵论是数学中的重要分支，研究矩阵的性质和特征。
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是矩阵论中的一种重要方法，广泛应用于线性代数、信号处理、图像处理等领域。
本文将对奇异值分解方法进行深入研究和讨论。
一、奇异值分解的基本原理在介绍奇异值分解之前，我们首先需要了解特征值分解（Eigenvalue Decomposition）的基本概念。
特征值分解是将一个矩阵分解为特征向量和特征值的形式，用于寻找矩阵的主要特征。
奇异值分解是特征值分解的推广，适用于非方阵以及具有零特征值的方阵。
对于任意一个矩阵A，可以将其分解为以下形式：A = UΣV^T其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量，Σ对角线上的元素称为奇异值。
奇异值的大小表示了矩阵A在相应方向上的重要性，越大的奇异值表示了越重要的特征。
二、奇异值分解的应用领域奇异值分解方法在多个领域中被广泛应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 线性代数奇异值分解在线性代数中有着广泛的应用，特别是在最小二乘问题的求解中。
通过对矩阵进行奇异值分解，可以得到一个最优的近似解，从而解决线性方程组的问题。
2. 信号处理在信号处理中，奇异值分解被用于降噪和信号压缩。
通过分解并选取奇异值较大的部分，可以过滤噪声并减少数据维度，从而提高信号质量和处理效率。
3. 图像处理奇异值分解在图像处理领域中也有广泛的应用。
通过对图像矩阵进行奇异值分解，可以实现图像压缩和去噪等处理，同时保留图像的主要特征。
三、奇异值分解的算法奇异值分解的计算过程一般可以通过各种数值计算方法来实现。
常见的奇异值分解算法包括Jacobi迭代法、幂迭代法和Golub-Kahan迭代法等。
其中，Golub-Kahan迭代法是一种效率较高的算法。
该算法通过不断迭代，逐步逼近奇异值和奇异向量。
四、奇异值分解的优缺点奇异值分解作为一种重要的矩阵分解方法，具有以下优点：1. 稳定性奇异值分解对于数据的扰动具有较好的稳定性。
矩阵论最大秩分解
。由
，所以
。从而 可逆。同理可证 (b)
是正定矩阵,所以 可逆。
，
。令
，
，
则
。从而
,则 (c) 由于
,注意到 ,所以(i)成立. ,所以
，记
注 1 矩阵的最大秩分解
不唯一，
但是矩阵
是唯一
的，它在后面要讲的广义逆中有重要作用。
注 2 若矩阵的最大秩分解
中的
满足
，则称这种最大秩分解为 QR
分解，且记
的
解,即
。
定理 2 设
，
。则可Βιβλιοθήκη 将 做满秩分解(或称最大秩分解)，
。其中
，且
，即 是列满秩的， 是
行满秩的．
证明 对 作初等行变换化为行最简形式 ，
令
，则
。取
为 的前 r 行所构成的矩阵，即
则
。下面验证
事实上，易见 的任一列向量 均可由 表示出来，且表示系数为 的第
j 个列向量 ，即
，从
而
由引理知道
第十三讲 主要内容：矩阵的最大秩分解，QR 分解
6.3 矩阵的最大秩分解
定理 1 设
,
,则可经过有
限次初等行变换把 化为行最简形式
其中
， 号的元素
可以不为零， 的第 个列向量为
，第 i 个元素为 1，
.
引理 分块矩阵
经过一次
初等行变换后化为矩阵
，
则 证明
,其中 是相应的初等矩阵. ，而
。由初等变换不改变方程组
。矩阵的 分解总是存
在的，事实上对最大秩分解
的矩阵
的列向量组实事 Gram‐Schmidt 正交化得
矩阵论中不同形式的三角分解的优缺点
矩阵论是数学领域中的一个重要分支，它研究的是矩阵和线性方程组的理论和方法。
在矩阵论中，三角分解是一种常见的矩阵分解方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为一个或多个简单的三角形矩阵的乘积。
不同形式的三角分解有着各自的优缺点，本文将从几种不同的角度来讨论这些优缺点。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解的优点是计算简单，因为它只需要进行一次分解即可得到L和U两个矩阵，后续的线性方程求解可以直接使用LU 分解后的矩阵进行计算。
然而，LU分解的缺点是当原始矩阵A的某些主对角线元素接近于零时，LU分解可能会失效，需要采取一些特殊的技巧来解决这个问题。
二、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解的优点是计算量较小，而且分解出的L矩阵的元素都是实数，因此在存储和计算上都有一定的优势。
然而，Cholesky分解的缺点是它只适用于对称正定矩阵，对于非对称矩阵或不正定矩阵是无法进行Cholesky分解的。
三、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
QR分解的优点是适用范围广，对于任意矩阵都可以进行QR分解，并且分解出的Q和R矩阵都具有一些良好的性质，比如Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然而，QR分解的缺点是计算量较大，尤其是对于大型矩阵来说，QR分解的计算时间会比较长。
不同形式的三角分解都有各自的优缺点，选择合适的分解方法需要根据具体的问题来决定。
在实际应用中，可以根据矩阵的特点和计算需求来选择最合适的三角分解方法，以达到最优的计算效果。
研究和探索更加高效的矩阵分解方法也是矩阵论研究的重要方向之一。
四、SVD分解SVD分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解的优点是适用于所有的矩阵，无论是否为方阵，而且SVD分解是唯一的，即对于每一个矩阵都存在唯一的SVD分解。
矩阵分解总结 -回复
矩阵分解总结-回复矩阵分解总结:1. 什么是矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵拆解成若干个子矩阵的过程。
通过分解矩阵，我们可以更好地理解矩阵的性质和结构，从而简化矩阵的计算和应用过程。
常见的矩阵分解方法包括LU分解、QR分解、奇异值分解(SVD)和特征值分解等。
2. LU分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的过程。
LU分解的主要应用是求解线性方程组和矩阵的逆。
通过LU分解，我们可以将线性方程组的求解过程简化为两个方程组的求解，从而提高计算效率。
3. QR分解QR分解是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积的过程。
QR分解的主要应用是求解最小二乘问题和计算矩阵的特征值。
通过QR分解，我们可以将最小二乘问题转化为最小化上三角矩阵R的问题，从而简化求解过程。
4. 奇异值分解(SVD)奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的过程，即将矩阵A分解为U、Σ和V的乘积。
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。
SVD 的主要应用是降维和推荐系统。
通过SVD，我们可以将高维矩阵降低到低维空间，从而简化计算和提高推荐系统的准确性。
5. 特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为特征向量和特征值的乘积的过程。
特征值分解的主要应用是计算矩阵的幂和对角化。
通过特征值分解，我们可以将矩阵的幂运算简化为特征值的幂运算，从而提高计算效率和准确性。
总结：矩阵分解是一种将矩阵拆解为更简单结构的方法，可以简化矩阵的计算和应用过程。
不同的矩阵分解方法适用于不同的应用场景，如LU分解适用于线性方程组的求解，QR分解适用于最小二乘问题的求解，SVD适用于降维和推荐系统，特征值分解适用于幂运算和对角化。
矩阵分解在数学、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，对于提高计算效率和准确性起到了重要的作用。
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
矩阵论矩阵的分解
对称和反对矩称矩阵阵：A，T=A，则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题，涉及：
Hermite 矩阵的谱分解 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n，AT=–A，证明
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1， 2， ， s}。
74 ）对矩阵A Cn n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
nn LU分解：A Fn n， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论：正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明：源于Schmidt正交化方法（P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上 三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
西北工业大学矩阵论课件PPT第四章例题矩阵分解
u1
a3 e~1 a3 e~1 2
1 2
1 0 1
于是
0 0 1
H~1
I
2u1u1T
0
1
0
1 0 0
令
H1
1 0
0T H~1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
2 1 0 0
则
H1AH1
1 0
1 3
3 1
4 2
0 4 2 1
对 a2 (3,4)T，取 2 a2 2 5，则
1
0
0 0 0 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解
将列向量
a1
0
0
，a2
3 4 ，a3
1 2
正交化得
2
1
2
p1
a1
0
0
，
p2
2
a2
2 4
p1
3 4
，p3
0
a3
4 4
p1
5 25
p2
8 5
6 5
0
单位化得
0
q1
1 2
p1
0 ， 1
证 因为
I O A B I O A B B I I B A I I O A B 取行列式即得。
例 设A, B, C, D为同阶方阵，A可逆, 且AC = CA。
证明 证 因为
det A C
B det(AD CB) D
I CA1
O A I C
B A D O
(2 )4
4!
A4
某211高校研究生课程《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解剖析
(4.6.1)
引理4.6.2 设A C mn ,则
(1) AH A与AAH的特征值均为非负实数 ； (2) AH A与AAH的非零特征值相同，并且非零特征
值的个数(重特征值按重数计算)等于rank ( A).
定义4.6.1 设ACmn ,如果存在非负实数和非零向量
u Cn, v Cm使得
Au v, AH v u
定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征 值的模。
定理4.6.2 设 A是 m n 矩阵，且rank(A) = r，则存在 m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得
V
H
AU
0
0 0
(4.6.5)
其中 diag(1,, r )，且1 r 0.
(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.
d1 a11 ,
dk
k k 1
,
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实 对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得
QT AQ
(4.5.13)
其中 diag(1,, n )，i (i 1,, n)是A的实
特征值。
4.6 奇异值分解
引理4.6.1 设A C mn ,则
rank( AH A) rank( AAH ) rank( A)
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2 2
1
定理3.8（P.76） ：设矩阵ACmn是列满秩的矩阵，则 矩阵A可以分解为A=QR，其中Q Cmn的列向量是标准 正交的向量组，R Cnn是主对角线上元素为正数的上三
角形矩阵。
2 、Schur 分解 定理3.7（P.74 ）对矩阵ACnn，存在酉 矩阵U和上三角矩阵T，使得 1 UHAU=T= 证明要点：
A 4 7 7 2 4 5 求A的LU和LDV分解。
结论：如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换 化为阶梯形，则A有LU分解。
三角分解的存在性和惟一性
定理3.1 （P.62） ：
• 矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到 的行列式，k=1，2， … ，n。 • 定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺 序主子式Ak非零，k =1，2，…，n-1。 • 讨论 （1） LDV分解的存在LU分解存在 （2）矩阵可逆与顺序主子式非零的关系 定理3.2（P.64）设矩阵AFnn ，rank（A）=k（ n），如果A的k阶顺序主子式大于0，则 A有LU分解。 讨论： LDV分解与LU分解的关系 例题2 （P.65 eg2）
主要技巧：
各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块
§3.1 常见的矩阵标准形与分解
常见的标准形
等价标准形 相似标准形 合同标准形
I r 0 Amn pmm Qnn 0 0 Ann PJ A P 1
Ann CC T
AT=A
本节分解：
三角分解
满秩分解
等价标准形
分解结果：
i 1
s
Pi I
2
A i Pi
i 1
s
，P具性质：
Pi Pi Pi Pj 0 i j
幂等矩 阵
意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和
2、 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5（P.73 ） 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱 2 分解 P P
第3章、 矩阵的分解
Matrix Factorization and Decomposition
矩阵分解的概述
矩阵的分解： 矩阵分解的原则与意义：
实际应用的需要 显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法与矩阵技术 A=A1+A2+…+Ak A=A1A2 …Am 矩阵的和 矩阵的乘积
理论上的需要 计算上的需要
可对角化矩阵的谱分解
相似标准形
一、矩阵的三角分解（triangular decomposition)
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上 三角形矩阵U ，使得A=LU。 LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。 已知的方法：Gauss-消元法 2 2 3 例题1 （P.61eg1）设
A=PJ AP–1 ， P=UR A= PJ AP–1 =U（RJR–1 ）UH =UTUH。
2
n
二、正规矩阵（Normal Matrices）
1、 定义3.3（P.77 ）A是正规矩阵 AHA=AAH。 常见的正规矩阵：
对角矩阵 对称和反对称矩阵：AT=A，AT=–A。 Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=–A 正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。 例题1 （P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A， 证明B也是正规矩阵。 正规是酉相似的不变性质
例题2、AFmn，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。
2、正规矩阵的基本特性 定理3.10 （P.78 ） ： ACnn正规A酉相似于对角形。
推论：正规ACnnA有个标准正交的特征向 量构成空间Cn 的标准正交基。
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） Hermite A正规A有如下谱分解： 性
A i Pi
i 1 s
，满足条件：
Pi Pj 0
i
i
i j
i 1
s
Pi I
充分性的证明： 在A有谱分解时 Cn=V 1V 2 V n
3. 幂等矩阵的性质 定理3 .4（P.72）PFnn ，P2=P，则
矩阵PH和矩阵（I–P）仍然是幂等矩阵。 P 的谱{0，1}，P 可相似于对角形。 Fn = N（P） R（P） N（P）=V =0 ，R（P）=V=1 P和（I – P）的关系 N（I – P）=R（P），R（ I – P ）=N（P）
空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系 重点：理论结果
中的标准正交基
一、 Schur 分解
1、 可逆矩阵的UR分解
定理3.7（P.74）ACnn为可逆矩阵，则存在酉矩 阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使 得A=UR。（ 称A=UR为矩阵A的酉分解） 证明：源于Schmidt正交化方法（P.18） 2 8 2 1 A 7 1 例题1 求矩阵A的UR分解，其中
Hermite 矩阵的谱分解 定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite
矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。 A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。 讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵？ 在内积空间中讨论问题，涉及： 列向量是空间Cn
例题2 （ P.69，eg5）
例题3（ P.70，eg6）
三、可对角化矩阵的谱分解
将方阵分解成用谱加权的矩阵和
I A ( 1 ) ( 2 ) ( s )
r1 r2
谱：设AFnn ，
rs
则A的谱={1，2，，s}。
1. 可对角矩阵的谱分解
分解分析：
A i Pi
i 1
s
Pi Pi , Pi Pi Pi Pj 0 i j
2
HLeabharlann i 1sPi I
3、正规性质的应用举例 例题1（P.79 ，eg11） 例题2（P.79 ，eg12） 例题3 设ARnn，AT=–A，证明
1. A的特征值是零和纯虚数。 2. 矩阵A的秩是偶数。
LU分解的应用举例：求解线性方程组AX=b
二、矩阵的满秩分解
列 满 秩
定义3.2 （P.66 ） 行满秩 对秩为r 的矩阵AFmn ，如果存在秩为r的矩阵 B Fmr，CFrn ，则A=BC为A 的满秩分解。
定理3.2：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。
满秩分解的求法：
方法1： 方法2 例题1（ P.68， eg4 ） 方法3 • 方法建立 的思想 • 方法实现的途径