矩阵论第一章
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自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
x N Z x xN 或 例: 整数集合 p p 与 q 互质 Q p Z , q N , 有理数集 q
称为映射 f1 和 f 2 的乘积（复合），记为 f 3 f 2 f1
C
f1 ( A)
来自百度文库注意: 构成复合映射的条件 f `1 ( A) B 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
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定理1.1.3 设有映射 f1 : A B, f 2 : B C,
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f ( x) x X
称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
先证f是单映射。 对a1 , a2 A, f (a1 ) f (a2 ),
则 a1 (f-1 f )(a1 )=f-1 ( f (a1 ))=f-1 ( f (a2 ))=a2 , f是A B单映射;
再证f是满映射。对b B, 设f (b) a, 则
-1
f(a)=f(f-1 (b)) (f f-1 )(b) b,f是A B满映射， f是A B的双射。
定义1.1.6” 设（A , ≤ ）是一个偏序集，如 果对任意 a, b A ，总有 a b 或 b a 则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A , ≤ ） 为序集或序空间。
1.1.3 映射
1. 映射的概念 引例1. 南航学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
矩阵论5班学生 的集合
按一定规则入座
逆映射与复合映射
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 使 称此映射 g为 f 的逆映射 , 习惯上 计为 f 1. 若f有逆映射，则称f可逆. 例如, 映射
A
f
f 1
若存在一新映射
B
其逆映射为
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定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A，有aRa；
（2） 反对称性：对任意a, b A ，如果aRb， 且bRa，则a = b； （3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果 aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若 ≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系≤的偏序集，记为（A ,≤ ）。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
A与B之间是一个住宿关系。
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3} （三套房间），
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
主讲人: 赵洪涌教授 E-mail:h2862753@yahoo.com.cn
课时:
60学时
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。
主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003.
3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
复合映射
引例.
B
A f1
手电筒
f 2 . f1
C
复合映射
A
f 2 . f1
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定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并 设 有两个映射 f1 : A B, f 2 : B C, 由 f1 , f 2
确定 A 到 C 的映射 f 3 : a f 2 ( f1 (a))( a A)
显然有下列关系 :
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
交集 A B x 差集 余集
或
A B
B A
A\ B
A B
且
且 x B
A \ B x
c BA
A \ B ( 其中B A )
A c BA
定理1.1.2 （1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。 （2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi } 是A的一个分类，令 R {( x, y) |存在 Bi ，使得 x Bi , y Bi } 则R是A上的一个等价关系。
有
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
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设
f1 : A1 B1
f 2 : A2 B2
则称映射
f1与f 2 相等，
B1 B2 , 并且对任意a A1有 f1 (a) f 2 (a)
如果 A A , 1 2
记为f1 f 2 .
f 3 : C D, 则有
(1)
(2)
f 3 ( f 2 f1 ) ( f 3 f 2 ) f1;
f1 I A I B f1 f1.
f1 (1) 2
注意：复合映射一般不满足交换律。
如设A B C {1, 2}.定义： {
则(f 2 . f1 )(1) f 2 ( f1 (1)) f 2 (2) 1, 而
A / R 【男】【女】 { 1 R, 1 R }.
例 5： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
则
Ｒ1把Ａ分为四类同花类，
Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
定义1.1.6 设每个 Bi (i I ) 都是集合A的非空 子集，如果 A Bi ，并且对任意 i, j I ， iI 当 i j 时有 Bi B j ，则称 {Bi } 是A的 一个分类。
1.1 预备知识：集合· 映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标
1.4 线性子空间
1.5 线性空间的同构
1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合· 映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系
1.1.3 映射
1.1.4 数域与代数运算
1.1.1
1. 定义及表示法
集合
必要性（略）。
定义1.1.11 设A 是一个非空集合，A 到 自身的映射称为A 的变换；A 到自身的双 映射称为A 的一 一变换；如果A 是有限集， A 的一一变换称为A 的置换。
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D1
D
手电筒
D
映射f
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恒等映射（单位映射）I：
设A为一个非空集合 , I : A A的映射，对 a A, 有I (a) a.
对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;
X
若
则称 f 为单射;
f
Y f (X )
531教室座位 的集合
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定义1.1.7 则 f , 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x).
特例: R R
记
R
2
B
A B
A
为平面上的全体点集
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定义1.1.3 设A、B是两个集合， A B 的子集 R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种 规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R， 其中 a A, b B. 记为：aRb.
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的 二元关系。
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作
a M
(或
a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
(3).分配律 : A (B C) ( A A (B C) ( A
B) B)
(A (A
C) C)
1.1.2
二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {( a, b) | a A, b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
A B {( a, b) | a A, b B}
为A B上的一个二元关系。
例 2： A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
例３： Ａ＝｛ 张华 ， 王兵 ， 陈平 ， 李兰
a1 a2 a3 a4
Ｂ＝｛ 软件， 硬件， 自动化， 遥感
b1 b2 b3 b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝ 是选双学位专业的二元关系。
实数集合
R x x 为有理数或无理数
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . 例如 , , ,
A R {[ a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点： 1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间 无此关系。 2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个 等价类的研究，大大减少了工作量。
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男】 ，【女1】 。 1 R {男生} R {女生}
B
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由集合的交与并运算的定义，显然有
A A B A A A A B A A A A B A B
A A
A B B
A
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
(1).交换律：A B B
A, A B B
A
C
(2).结合律: A ( B C ) ( A B) A ( B C ) ( A B) C
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa； （2） 对称性：对任意 则bRa；
，如果aRb， a, b A
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果 aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系， a A 称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。 A的所有元素关于R的等价类集合
第1章
线性空间与内积空间
第2章
线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
第1章 线性空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。
f1 (2) 1
,{
f 2 (1) 1
f 2 (2) 1
.
( f1. f 2 )(1) f1 ( f 2 (1)) f1 (1) 2, f 2 . f1 f1. f 2 .
定理1.1.5 映射f :A→B是可逆映射的充 分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。
-1 设 f:A B 是可逆映射 ,f :B A为f的逆映射. 证明：
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
M x x 所具有的特征
x N Z x xN 或 例: 整数集合 p p 与 q 互质 Q p Z , q N , 有理数集 q
称为映射 f1 和 f 2 的乘积（复合），记为 f 3 f 2 f1
C
f1 ( A)
来自百度文库注意: 构成复合映射的条件 f `1 ( A) B 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
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定理1.1.3 设有映射 f1 : A B, f 2 : B C,
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f ( x) x X
称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
先证f是单映射。 对a1 , a2 A, f (a1 ) f (a2 ),
则 a1 (f-1 f )(a1 )=f-1 ( f (a1 ))=f-1 ( f (a2 ))=a2 , f是A B单映射;
再证f是满映射。对b B, 设f (b) a, 则
-1
f(a)=f(f-1 (b)) (f f-1 )(b) b,f是A B满映射， f是A B的双射。
定义1.1.6” 设（A , ≤ ）是一个偏序集，如 果对任意 a, b A ，总有 a b 或 b a 则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A , ≤ ） 为序集或序空间。
1.1.3 映射
1. 映射的概念 引例1. 南航学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
矩阵论5班学生 的集合
按一定规则入座
逆映射与复合映射
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 使 称此映射 g为 f 的逆映射 , 习惯上 计为 f 1. 若f有逆映射，则称f可逆. 例如, 映射
A
f
f 1
若存在一新映射
B
其逆映射为
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定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆 映射 f 1 是唯一的。
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A，有aRa；
（2） 反对称性：对任意a, b A ，如果aRb， 且bRa，则a = b； （3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果 aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若 ≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系≤的偏序集，记为（A ,≤ ）。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。
例 1：
A与B之间是一个住宿关系。
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3} （三套房间），
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
主讲人: 赵洪涌教授 E-mail:h2862753@yahoo.com.cn
课时:
60学时
教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。
主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003.
3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
复合映射
引例.
B
A f1
手电筒
f 2 . f1
C
复合映射
A
f 2 . f1
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定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并 设 有两个映射 f1 : A B, f 2 : B C, 由 f1 , f 2
确定 A 到 C 的映射 f 3 : a f 2 ( f1 (a))( a A)
显然有下列关系 :
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x
交集 A B x 差集 余集
或
A B
B A
A\ B
A B
且
且 x B
A \ B x
c BA
A \ B ( 其中B A )
A c BA
定理1.1.2 （1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。 （2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi } 是A的一个分类，令 R {( x, y) |存在 Bi ，使得 x Bi , y Bi } 则R是A上的一个等价关系。
有
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
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设
f1 : A1 B1
f 2 : A2 B2
则称映射
f1与f 2 相等，
B1 B2 , 并且对任意a A1有 f1 (a) f 2 (a)
如果 A A , 1 2
记为f1 f 2 .
f 3 : C D, 则有
(1)
(2)
f 3 ( f 2 f1 ) ( f 3 f 2 ) f1;
f1 I A I B f1 f1.
f1 (1) 2
注意：复合映射一般不满足交换律。
如设A B C {1, 2}.定义： {
则(f 2 . f1 )(1) f 2 ( f1 (1)) f 2 (2) 1, 而
A / R 【男】【女】 { 1 R, 1 R }.
例 5： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
则
Ｒ1把Ａ分为四类同花类，
Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
定义1.1.6 设每个 Bi (i I ) 都是集合A的非空 子集，如果 A Bi ，并且对任意 i, j I ， iI 当 i j 时有 Bi B j ，则称 {Bi } 是A的 一个分类。
1.1 预备知识：集合· 映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标
1.4 线性子空间
1.5 线性空间的同构
1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合· 映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系
1.1.3 映射
1.1.4 数域与代数运算
1.1.1
1. 定义及表示法
集合
必要性（略）。
定义1.1.11 设A 是一个非空集合，A 到 自身的映射称为A 的变换；A 到自身的双 映射称为A 的一 一变换；如果A 是有限集， A 的一一变换称为A 的置换。
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D1
D
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D
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恒等映射（单位映射）I：
设A为一个非空集合 , I : A A的映射，对 a A, 有I (a) a.
对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;
X
若
则称 f 为单射;
f
Y f (X )
531教室座位 的集合
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定义1.1.7 则 f , 使得
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
有唯一确定的 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x).
特例: R R
记
R
2
B
A B
A
为平面上的全体点集
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定义1.1.3 设A、B是两个集合， A B 的子集 R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种 规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R， 其中 a A, b B. 记为：aRb.
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的 二元关系。
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作
a M
(或
a M ) .
表示法：
(1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
(3).分配律 : A (B C) ( A A (B C) ( A
B) B)
(A (A
C) C)
1.1.2
二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {( a, b) | a A, b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
A B {( a, b) | a A, b B}
为A B上的一个二元关系。
例 2： A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
例３： Ａ＝｛ 张华 ， 王兵 ， 陈平 ， 李兰
a1 a2 a3 a4
Ｂ＝｛ 软件， 硬件， 自动化， 遥感
b1 b2 b3 b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝ 是选双学位专业的二元关系。
实数集合
R x x 为有理数或无理数
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . 例如 , , ,
A R {[ a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点： 1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间 无此关系。 2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个 等价类的研究，大大减少了工作量。
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男】 ，【女1】 。 1 R {男生} R {女生}
B
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由集合的交与并运算的定义，显然有
A A B A A A A B A A A A B A B
A A
A B B
A
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
(1).交换律：A B B
A, A B B
A
C
(2).结合律: A ( B C ) ( A B) A ( B C ) ( A B) C
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa； （2） 对称性：对任意 则bRa；
，如果aRb， a, b A
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果 aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系， a A 称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。 A的所有元素关于R的等价类集合
第1章
线性空间与内积空间
第2章
线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
第1章 线性空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。
f1 (2) 1
,{
f 2 (1) 1
f 2 (2) 1
.
( f1. f 2 )(1) f1 ( f 2 (1)) f1 (1) 2, f 2 . f1 f1. f 2 .
定理1.1.5 映射f :A→B是可逆映射的充 分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。
-1 设 f:A B 是可逆映射 ,f :B A为f的逆映射. 证明：