某211高校研究生课程矩阵论l矩阵的因子分解剖析
矩阵理论课件-第二章 矩阵的分解
故xH AH Ax=xH x= 2 xH x，因为AH A=I，所以 2 =1.
(因为xH x= x 2 0)
:由条件UHAU=diag{1, , n}共轭转秩得UHAHU=
diag{1,
, n}，所以UHAAT U=diag{ 1 2 ,
,
n
2
}=I
，
n
所以AAT =In .
注1：设A Cnn ,则
Cmr r
,
C
Ir
D
Crn r
.
下设A的前r个列向量线性相关,只需先做列变换，变成
线性无关，
因此存在P
Cmmm，Q
Cnn n
,
满足
PAQ=
Ir 0
D 0
或A=P-1
Ir 0
D 0
Q-1
=P-1
Ir 0
I
r
=BC
D Q-1
其中B=P-1
Ir 0
Cmr r
,C
Ir
D
讨论知AH x1, , AH xp为AH A属于i 0的特征向量，只要证明
AH x1, , AH xp线性无关，就证明了AAH的p重特征值也是AH A 的p重特征值.
下证AH x1, , AH xp线性无关.
设k1AH x1
k p AH xp 0.则( AH x1,
,
AH
xp
)
k1
0
kp
H
=
1 2
11，可知|I-A|无重根，
A为单纯矩阵，但AAH AH A.
推论1：A为正规矩阵,当且仅当A有n个特征向量构成Cn的一组 标基，且A的不同特征值的特征向量正交.
推论2：设A R nn ,则
矩阵论之矩阵的分解
矩阵的分解一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n nA F⨯∈(1) 若,n n L U F ⨯∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。
(2) 若,n n L U F ⨯∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。
,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。
用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -=例1 设223477245A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的LU 分解和LDU 分解。
解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换：3223100223100()477010031210245001068101223100031210006521A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此 100223210,031521006P PA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 令1100223210,031121006L P U -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则223031.006A L LU ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦再利用初等变换，有31121002121030131216001A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦就得到A LDU =其中 311210021210,3,0131216001L D U ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。
下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。
定理 3.1 设(),n nij n n A a F ⨯⨯=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的顺序主子式1112121222012......0,1,2,...,;1,...............k k k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=∆=其中 121,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥===⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -⨯----== 则对,n 将A 分块成1n n Tnnn A A u a τ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),TTn n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==设111100,1001n n n n n n T T n nn nn A L D V v u a l d τ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较两边，则有1111,n n n n A L D U ----= (3.1)11n n n n L D v τ--= (3.2)11T Tn n n n u l D U --= (3.3) 1T nn n n n n a l D v d -=+ (3.4)由归纳假设（3.1）式成立。
矩阵分解及其的综述
96《矩阵论》课程论文题目：矩阵分解与其应用李影赵礼峰摘要：本文主要归纳和总结了代数学中的矩阵分解理论与理论应用。
根据本学期所学知识，本文把矩阵分解分为三角分解、正交三角分解、奇异值分解和满秩分解。
在论文中对相关理论进展了简要的说明与描述，并在应用方面，展示了矩阵分解在一些常见领域的重要以与广泛的应用。
关键词：矩阵分解，应用，三角分解，满秩分解，奇异值分解。
一、引言在有限维线性空间中，线性变换问题可以转化为矩阵问题进展讨论。
因此，将一个矩阵分解为假如干个特殊矩阵的乘积意味着将一个线性变换分解为假如干个特殊线性变换的乘积。
矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解与奇异值分解是将矩阵分解为形式比拟简单或性质比拟熟悉的一些矩阵的乘积，这些分解式能够明显的反映出原矩阵的许多数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值与奇异值等。
另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据。
矩阵的分解给予了我们将线性变换转化成矩阵问题讨论的方法，将以往复杂而且性质不“好〞的矩阵分解成为大家所熟知并且性质“好〞的常用矩阵的乘积。
通过对常用矩阵的分析获取复杂矩阵的相关性质，这在实际的应用中也具有很大的意义。
二、矩阵分解简介1.矩阵的三角分解如果方阵A 可表示为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 之积，即A=LU ，如此称A 可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss 消去法为根据导出的，因此矩阵可以进展三角分解的条件也与之一样，即矩阵A 的前n-1个顺序主子式都不为0，即.所以在对矩阵A 进展三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否如此怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU 的分解可以是唯一的，其中D 是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
《矩阵分析》课程教案
讨 论
练 习
作 业
作业：第3章练习题中任选5题
教学要求
熟练掌握线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准型，内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵，二次型，矩阵分解，特征值的估计与计算，矩阵的扰动问题，向量范数与矩阵范数，矩阵序列和级数，广义逆矩阵，矩阵函数等基本概念和基本方法。
教学方法
课堂讲述+实验演示+实际动手操作+作业+研究报告
教学手段
多媒体课件+案例+理论推导+编程实现
考核方式
结合课堂所学写一篇论文/开卷考试二者选一
教学参考资料
[1]《矩阵分析》，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，2010.6，第3版
[2]《Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition》，Lars Eldén，The SIAM series on Fundamentals of Algorithms，2007.2
本课程针对计算机应用技术专业研究生的知识结构背景，在其本科阶段所学的《线性代数》的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，并着重培养学生运用矩阵分析的知识和方法解决计算机应用领域相关问题的能力。通过本课程的学习，使学生掌握矩阵理论的基本概念，基本理论和基本方法，全面了解和掌握矩阵的标准形、特征值与特征向量、矩阵分解、范数与矩阵函数等重点内容，了解近代矩阵理论中十分活跃的若干分支，为今后的进一步学习和研究打下扎实的基础。
山西财经大学研究生课程教案
课程名称
矩阵分析
课程编码
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§1.1
= −2.
方阵行列式的运算性质
(1) (2)
AT = A ;
λ A = λn A ;
(3)
AB = A B
6. 方阵的迹
定义: n 阶方阵 A 的对角元素的和称为 A 的迹， 记作 tr( A)，即
tr( A) = a11 + a 22 +
方阵迹的运算性质
(1) tr( A) + tr( B ) = tr( A + B ) ;
(1) (2) (3) (4)
(AT)T = A; (A+B)T = AT + BT; (λA)T = λAT; (AB)T = BTAT;
5. 方阵的行列式
定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做 方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
⎛ 2 3 ⎞, 则 A = 2 3 例如: A = ⎜ ⎟ 6 8 6 8⎠ ⎝
• • • • • • 基础知识和矩阵的分解 矩阵的标准形 线性空间与线性变换 内积空间 矩阵分析 矩阵的广义逆
线性代数基础知识
• 矩阵的基本运算 • 线性方程组的解的结构以及求解方法 • 矩阵的特征值与特征向量 • 实对称矩阵的基本性质
§1.1 矩阵的基本运算
定义: 由m×n个数 aij ( i =1, 2, ···, m; j =1, 2, ···, n ) 排成的 m 行 n 列的数表: a11 a12 a1 n a 21 a 22 a2n
+ a nn
( 2) tr( kA) = k tr( A) ;
( 3) tr( AB ) = tr( BA) ;
7. 共轭矩阵
定义: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 a ij 表示aij 的共轭 复数, 记 A = (a ij ), 称 A 为A 的共轭矩阵. 运算性质 设A, B为复矩阵, λ为复数, 且运算都是可行的, 则:
矩阵的分解分析
矩阵的奇异值分解
H mn 定义 2.2.5 设 A Cr ，A A 的特征值为
1 2 r r 1 n 0
则称 i i (i 1,2,, n) 为 A的奇异值；当 A为零矩阵时，它 的奇异值都是0. 定理 2.2.6 设 A Crmn (r 0) ，则存在m 阶酉阵 U 和 n阶 酉矩阵 V ， 0 U H AV 使得 （2-2-5）
矩阵QR分解的求法
（1）Schmidt正交化法
（2）用初等旋转矩阵左乘矩阵A （3）用初等反射矩阵左乘矩阵 A
矩阵的满秩分解
定理 2.2.4设 m n 矩阵 A C mn ， rankA r (r 0) .如果存 在一个列满秩矩阵 C C mr (rankC r )
D C rn (rankD r ) 使得
矩阵的分解及其应用
内容简介
矩阵分解对矩阵理论及近世计算数学的发展起了关键作用 .矩阵 分解是把一个矩阵写成性质比较熟悉或结构比较简单的另一些矩阵的 乘积，其本质是通过建立相应的矩阵分解使有些问题能够得以简化和 分解，从而更加清晰地得到矩阵的相关特性.本文的具体安排如下：
（1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩 及其特征值和特征向量的等；
V ；
（2）求 A的秩
1 , 2 ,, r diag
r ，奇异值
i
i (i 1,2,, n) 及
（3）计算 i
1 Ai (i 1,2,, n) ，从而得正交矩阵U ； i
A U 0 0 T V 0
(4)的奇异值分解为
矩阵分解的应用
5 0 0 0
2 1 5 2 5 1
某211高校研究生课程《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解剖析
(4.6.1)
引理4.6.2 设A C mn ,则
(1) AH A与AAH的特征值均为非负实数 ； (2) AH A与AAH的非零特征值相同，并且非零特征
值的个数(重特征值按重数计算)等于rank ( A).
定义4.6.1 设ACmn ,如果存在非负实数和非零向量
u Cn, v Cm使得
Au v, AH v u
定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征 值的模。
定理4.6.2 设 A是 m n 矩阵，且rank(A) = r，则存在 m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得
V
H
AU
0
0 0
(4.6.5)
其中 diag(1,, r )，且1 r 0.
(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.
d1 a11 ,
dk
k k 1
,
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实 对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得
QT AQ
(4.5.13)
其中 diag(1,, n )，i (i 1,, n)是A的实
特征值。
4.6 奇异值分解
引理4.6.1 设A C mn ,则
rank( AH A) rank( AAH ) rank( A)
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QA
R 0
定理4.4.3 设A 是 m n矩阵，且 rank(A) r 0 ，
则存在 m 阶正交（酉）矩阵 Q 和 r n 行满秩矩
则存在 m×r 矩阵B 和 r×n 矩阵 C 使得
A BC
并且rank(B) = rank(C) = r.
满秩分解的应用： • 有关结论的证明。 • 计算广义逆矩阵。
4.3 三角分解
设A = (aij)是n 阶矩阵，如果 A 的对角线下(上)方 的元素全为零，即对i >j, aij = 0（对i < j,aij = 0），则 称矩阵 A 为上（下）三角矩阵。上三角矩阵和下三角 矩阵统称为三角矩阵。对角元全为1的上（下）三角 矩阵称为单位上（下）三角矩阵。
并且若上述条件成立，则使H(w)a = b 成立的单位向
量w可取为
w ei (a b) a b
(4.1.9)
其中θ为任一实数。
4.2 满秩分解
• 什么是矩阵的满秩分解？ • 矩阵的满秩分解是否存在？如果存在，满秩
分解是否唯一？ • 如何计算矩阵的满秩分解？ • 满秩分解有什么应用？
定理4.2.1（满秩分解定理）设 m×n 矩阵 A的秩为r>0,
上（下）三角矩阵的性质
• 什么是矩阵的LU分解？ • 矩阵的LU分解是否存在？如果存在， LU分解
是否唯一？ • 如何计算矩阵的LU分解？ • LU分解有什么应用？
定理4.3.1（LU分解定理）设 A 是 n 阶非奇异矩 阵，则 存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩 阵U使得
A LU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零, 即
,n
(4.1.6)
则Li A的(i 1, j), , (n, j)元素全为零.这就是消去法的一步
4.1.3 Householder矩阵
取u = v = w, σ=2，并且w是单位向量，即
||w|| =1，初等矩阵
H (w) E(w, w,2) I 2wwH
(4.1.7)
称为Householder矩阵或初等Hermite矩阵。
定理4.1.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：
(1) det(H (w)) 1;
(2) H (w)H H (w) H (w)1 ;
(3) 设a,b Cn且a b,则存在单位向量w使得H (w)a b 的充分必要条件是
aH a bH b, aH b bH a (4.1.8)
I
lieiT
l jeTj
li1,i
0
lni
1
0
l j1, j
lnj
0
1
(4.1.5)
用初等下三角矩阵Li左乘一个矩阵A，等于从A的
第 k 行减去第 i 行乘以 lki(k i 1, , n) 。
对于A (a
ij)l，ki 如aa果kijj ,aij
0 ，取 k i 1,
d1 a11 ,
dk
k k 1
,
k 2, , n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2, , en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 , , in 是1,2,…n的一个排列。
1
.
(4.1.2)
(3) 对任意非零向量 a,b C n ,可适当选取 u, v和使得
E(u,v, )a b
(4.1.3)
4.1.2 初等下三角矩阵
令u li (0, ,0,li1,i , ,lni )T ,v ei , 1，则
Li Li (li ) E(li , ei ,1)
称为初等下三角矩阵, 即
1 k k A1 k 0, k 1, , n 1
定理4.3.2（LDU分解定理）设A是n阶非奇异矩阵,
则存在唯一的单位下三角矩阵L，对角矩阵
D=diag(d1, d2,…,dn )和单位上三角矩阵U使得
A LDU
的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
k 0 (i 1, , n 1) ，并且
1
0
1
Li Li (li ) I lieiT
li1,i 1
0
0
ln,i
1
(4.1.4)
由定理4.1.1知det(Li ) 1,并且Li 1 E(li , ei ,1) Li (li ) .
对初等下三角矩阵，当i <j 时，有
1
0
1
Li (li )Lj (l j )
• 排列矩阵的性质。 • 排列矩阵的作用。
定理4.3.3 设 A是 n 阶非奇异矩阵，则存在排列
矩阵P 使得
PA LU~ LDU
其中L是单位下三角矩阵, U~ 是上三角矩阵，U是
单位上三角矩阵，D是对角矩阵。
LU分解的应用： • 求解线性方程组。 • 求解矩阵特征值么是矩阵的QR分解？ • 矩阵的QR分解是否存在？如果存在，QR分解
第4章 矩阵的因子分解
4.1 初等矩阵 4.2 满秩分解 4.3 三角分解 4.4 QR分解 4.5 Schur定理与正规矩阵 4.6 奇异值分解
4.1 初等矩阵
4.1.1 初等矩阵 4.1.2 初等下三角矩阵 4.1.3 Householder矩阵
4.1.1 初等矩阵
定义4.1.1 设 u, v C n，σ为一复数，如下形式的 矩阵
E(u, v, ) I uvH
(4.1.1)
称为初等矩阵.
定理4.1.1 初等矩阵E(u,v,σ)具有如下性质：
(1) det(E(u, v, )) 1vHu; (2) 如果vHu 1，则E(u, v, )可逆，并且其逆
矩阵也是初等矩阵
E(u, v, )1 E(u, v, )
其中
vH u
是否唯一？
• 如何计算矩阵的QR分解？ • QR分解有什么应用？
定理4.4.1 设 A是 n 阶非奇异实（复）矩阵，则 存在正交（酉）矩阵 Q 和非奇异实（复）上三 角矩阵 R使得
A QR
(4.4.1)
且除去相差一个对角元绝对值(模)全等于1的对角
矩阵因子外分解式（4.4.1）是唯一的。
定理4.4.2 设 A 是 m n 实（复）矩阵，且其n 个 列向量线性无关，则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和 n阶非奇异实（复）上三角矩阵R使得