南航矩阵论2013研究生试卷及答案
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，.
????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ????
? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形；
A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.
λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分)
2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分)
200011001J ?? ?= ? ???
(2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分)
0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分)
0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容.
??
???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解；
A (2) 求广义逆矩阵；
+A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答:(1) 矩阵,的满秩分解为
????
? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=??????????
(2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ???
(3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ???
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五、(20分)设是两个阶矩阵,其中，证明:
B A ,n )(ij a A =(1) 若对任意，有则可逆；
n i ,,2,1L =,1||1<∑=n
j ij a A I -(2) 若都是Hermite 正定矩阵，则的特征值均为正数；
B A ,AB (3) 若都是Hermite 半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必B A ,0)(≥AB tr 有.
0=AB 解答：
(1) 由可得，，由于是相容范数，则，的1||1n
ij j a =<∑1A ∞ A I -(2) ,这里是可逆的Hermite 矩阵,从而.由20H A A S SS >?==S H A B SS B =于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数.H SS B H S BS 0H S BS >AB ………………(8分) (3) ，这里是Hermite 矩阵.由于与20,H H A A S S S AB S SB ≥?===S H S SB 有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而H SBS 0H SBS ≥AB . …………………(4分) 0)()(≥=H SBS tr AB tr 当时,有,从而.设这里0)(=AB tr 0)(=H SBS tr 0=H SBS 2,H B Q QQ ==也是Hermite 矩阵,则 Q . ()()H H H H SBS SQQ S SQ SQ ==于是,由此得到. …………(2分) 0=SQ 0AB =. Student’s Name: Student’s ID No.: College Name: The study of Equivalence Relations Abstract According to some relative definitions and properties, to proof that if B can be obtained from A by performing elementary row operations on A, ~ is an equivalence relation, and to find the properties that are shared by all the elements in the same equivalence class. To proof that if B is can be obtained from A by performing elementary operations, Matrix S A ∈ is said to be equivalent to matrix S B ∈, and ~A B means that matrix S A ∈ is similar to S B ∈, if let S be the set of m m ? real matrices. Introduction The equivalence relations are used in the matrix theory in a very wide field. An equivalence relation on a set S divides S into equivalence classes. Equivalence classes are pair-wise disjoint subsets of S . a ~ b if and only if a and b are in the same equivalence class.This paper will introduce some definitions and properties of equivalence relations and proof some discussions. Main Results Answers of Q1 (a) The process of the proof is as following,obviously IA=A,therefore ~ is reflexive;we know B can be obtained from A by performing elementary row operations on A,we assume P is a matrix which denote a series of elementary row operations on A.Then ,we have PA=B,(A~B),and P is inverse,obviously we have A=P -1B,(B~A).So ~ is symmetric.We have another matrix Q which denote a series of elementary row operations on B,and the result is C,so we have QB=C.And we can obtain QB=Q(PA)=QPA=C,so A~C.Therefore,~ is transitive. Hence, ~ is an equivalence relation on S . (b) The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are as followings: firstly,the rank is the same;secondly,the relation of column is not changed;thirdly,two random matrices are row equivalent;fourthly,all of the matrices 第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 渤海大学硕士研究生招生简章 一、招生人数 2014年，我校面向全国招收硕士研究生(包括学术型研究生和专业学位研究生)，所有招生专业(领域)均可接收推免生2名，具体招生名额以国家下达的招生计划为准。 二、报考条件 (一)学术型研究生 1.中华人民共和国公民。 2.拥护中国共产党的领导，愿为社会主义现代化建设服务，品德良好，遵纪守法。 3.身体健康状况符合国家和招生单位规定的体检要求。 4.考生必须符合下列学历等条件之一：(1)国家承认学历的应届本科毕业生;2)具有国家承认的大学本科毕业学历的人员(自考本科生和网络教育本科生须在报名现场确认截止日期(2013年11月14日)前取得国家承认的大学本科毕业证书方可报考);(3)获得国家承认的高职高专学历后满2年(从毕业后到2014年9月1日)或2年以上，达到与大学本科毕业生同等学力，且符合招生单位根据培养目标对考生提出的具体业务要求的人员;(4)国家承认学历的本科结业生和成人高校(含普通高校举办的成人高等学历教育)应届本科毕业生，按本科毕业生同等学力身份报考;(5)已获硕士、博士学位的人员。在校研究生报考须在报名前征得所在培养单位同意。 (二)专业学位研究生 2014年我校专业学位研究生招生专业领域有：045300汉语国际教育、045115小学教育、045103学科教学(语文)、045102学科教学(思政) 、045109学科教学(历史) 、045108学科教学(英语) 、045114现代教育技术、045104学科教学(数学)、045112学科教学(体育)、045105学科教学(物理)、045113学科教学(美术)、045111学科教学(音乐)，报考条件同学术型研究生。 三、报名 1、报名包括网上报名和现场确认两个阶段。应届本科毕业生原则上应选择就读学校所在省(区、市)的报考点办理网上报名和现场确认手续;其他考生应选择工作或户口所在地省级教育招生考试管理机构指定的报考点办理网上报名和现场确认手续。报考2014年硕士研究生一律采取网上报名，网上报名时间：2013年10月10日—31日每天9:00-22:00(逾期不再补报，也不得再修改报名信息)。网上预报名时间：2013年9月25日至9月28日每天9:00-22:00。报名流程：考生登录“中国研究生招生信息网”浏览报考须知，按教育部、省级教育招生考试管理机构、报考点以及报考招生单位的网上公告要求报名，凡不按要求报名、网报信息误填、错填或填报虚假信息而造成不能考试或录取的，后果由考生本人承担。在报名期间，考生可自行修改网报信息。现场确认：所有考生(含推免生)均须到报考点现场确认网报信息，并缴费和采集本人图像等相关电子信息。现场确认时间为2013年11月10日至11月14日。逾期不再补办。 2、报名期间将对考生学历(学籍)信息进行网上校验，并在考生提交报名信息三天内反馈校验结果。考生可随时上网查看学历(学籍)校验结果。考生也可在报名前或报名期间自行登录“中国高等教育学生信息网查询本人学历(学籍)信息。未通过学历(学籍)校验的考生应及时到学籍学历权威认证机构进行认证，在现场确认时将认证报告交报考点核验。 3、招生单位将对考生网上填报的报名信息进行全面审查，并重点核查考生填报的学历(学籍)信息，符合报考条件的考生准予考试。未通过网上学历(学籍)校验的考生，要求其在规定时间内提供权威机构出具的认证报告后，再准予考试。 华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷） 2013～2014学年第一学期 课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师： 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页 特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确，线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题（每小题3分，共27分） （6）210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. （7）301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页，将矩阵做变换即得 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ； Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ= 1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出 ,p 2 =%-(％'5)与= 层=%-(％,弟与一(％,弓)役= 矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将 来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ； 南开大学硕士研究生招生简章 一、目录内所公布的招生名额学术型标记方式为YaMb(表示按学院公布拟招生人数，拟招收a人，其中推免生b人)，最终录取推免人数要以研究生院网站10月底公布的数字为准，招生计划数要以后期教育部下达的招生数字为准。 二、推荐免试生是优秀应届本科毕业生获得原学校推荐免试资格并且经我校面试合格的学生。推荐免试生均须参加网上报名并在规定时间内缴费、照相，报考专业在报名时一经确定，后期不得更改。已被接收的推免生，不得再报名参加全国硕士研究生招生考试。否则，将取消推免生资格，列为统考生。按照教育部文件规定，工商管理硕士、公共管理硕士、旅游管理硕士、工程管理硕士、工程硕士中的项目管理硕士不允许接收推荐免试生。同时，我校部分专业学位只招收非应届生，不接收推荐免试生。 三、学术型研究生报考条件 1、中华人民共和国公民。 2、拥护中国共产党的领导，愿为社会主义现代化建设服务，品德良好，遵纪守法。 3、身体健康状况符合规定的体检要求。 4、在校研究生报考须在报名前征得所在培养单位同意。 5、国家承认学历的应届本科毕业生。 6、具有国家承认的大学本科毕业学历的人员。 7、自考本科生和网络教育本科生须在报名现场确认截止日期（2013年11月14日）之前已经取得本科毕业证书方可报考，此种情况考生属正常报考，不算同等学力。在现场照相时，即11月10日至11月14日期间，需要查验毕业证书原件，任何证明无效。对于12月份或转年1月份才能取得本科毕业证书的自考本科生，不允许报考，任何证明无效。 8、获得国家承认的高职高专毕业学历后满2年（从毕业后到录取当年9月1日）或2年以上，且符合以下两个条件方能以大学本科毕业生同等学力的身份报考：a.获得国家大学英语四级考试通过证书或国家大学英语四级考试达到425分以上。b.在核心期刊发表相当于报考专业本科毕业论文水平的文章。同等学力考生复试时须加试两门本科专业基础课。 9、国家承认学历的本科结业生和成人高校（含普通高校举办的成人高等学历教育）应届本科毕业生，按本科毕业生同等学力身份报考。同等学力考生复试时须加试两门本科专业基础课。 10、按照教育部相关文件要求，“少数民族高层次骨干人才研究生招生计划为国家定向培养专项招生计划，符合条件的招生单位可招收不超过10%的汉族考生”，我校将严格执行汉族考生的招生比例要求。 四、专业学位硕士研究生报考条件 1、报名参加法律硕士（非法学）专业学位硕士研究生招生考试的人员，须符合下列条件： （1）符合学术型研究生报考条件的各项要求； （2）在高校学习的专业为非法学专业的（普通高等学校本科专业目录法学门类中的法学类专业[代码为0301]毕业生不得报考）。 2、报名参加法律硕士（法学）专业学位硕士研究生招生考试的人员，须符合下列条件： （1）符合学术型研究生报考条件的各项要求； （2）在高校学习的专业为法学专业的（仅普通高等学校本科专业目录法学门类中的法 中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师 一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。 二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。 三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。 四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。 六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。 四、报名方法、时间、地点： 网上报名：报考2013年硕士生一律采取网上报名方式。 1．网上报名日期：2012年10月10日—31日每天9：00-22:00（逾期不再补报，也不得再修改报名信息）。 预报名时间为：2012年9月28日至9月29日每天9：00-22:00（预报名信息有效,无需重复报名）。 2．考生自行登录“中国研究生招生信息网”（公网网址：http：//https://www.360docs.net/doc/1710360305.html, ，教育网址：https://www.360docs.net/doc/1710360305.html,，以下简称研招网）浏览报考须知，按教育部、本人所在地省级教育招生考试管理机构、报考点以及报考招生单位的网上公告要求报名，公共管理硕士、旅游管理硕士报考点只能选择大连，凡不按公告要求报名、网报信息误填、错填或填报虚假信息而造成不能考试或复试的，后果由考生本人承担。在上述报名日期内，考生可自行修改网报信息。通讯地址主要用于寄发录取通知书等有关材料，考生务必认真填写通讯地址（省、市、县、地址、邮编、联系电话、姓名等），通讯地址须在2013年8月前有效。考生所填的通讯地址须详尽、准确，如因地址不详而出现投递失误等问题，我校概不负责。 3．网上报名填写报考信息时注意事项： （1）考生只填报一个招生单位的一个专业。待考试结束，教育部公布考生进入复试基本分数要求后，考生可通过研招网调剂服务系统了解招生单位的生源缺额信息并根据自己的成绩再填报调剂志愿。 （2）以同等学力身份报考的人员，应按招生单位要求如实填写学习情况和提供真实材料。 （3）考生（含推免生）要准确填写个人信息，对本人所受奖惩情况，特别是要如实填写在参加普通和成人高等学校招生考试、全国硕士研究生招生考试、高等教育自学考试等国家教育考试过程中因违规、作弊所受处罚情况。对弄虚作假者，招生单位将按照《国家教育考试违规处理办法》和《2013年全国硕士学位研究生招生工作管理规定》进行处理。 4．国家按照一区、二区确定考生参加复试基本分数要求，一区包括北京、天津、上海、江苏、浙江、福建、山东、河南、湖北、湖南、广东、河北、山西、辽宁、吉林、黑龙江、安徽、江西、重庆、四川、陕西等21省（市）；二区包括内蒙古、广西、海南、贵州、云南、西藏、甘肃、青海、宁夏、新疆等10省（区）。我校为一区。 5．已被招生单位接收的推免生，不得再报名参加全国硕士研究生招生考试。否则，将取消推免生资格，列为统考生。 天津大学研究生招生简章 天津大学是教育部直属国家重点大学，其前身为北洋大学，始建于1895年10月2日，是中国第一所现代大学，素以“实事求是”的校训、“严谨治学”的校风和“爱国奉献”的传统享誉海内外。1951年经国家院系调整定名为天津大学，是1959年中共中央首批确定的16所国家重点大学之一，是“211工程”、“985工程”首批重点建设的大学，全国首批“2011协同创新中心”14个牵头高校之一。 天津大学目前已成为一所师资力量雄厚、学科特色鲜明、教育质量和科研水平居于国内一流、在国际上有较大影响的高水平研究型大学。在学科建设上，形成了以工为主、理工结合，经、管、文、法、教育等多学科协调发展的学科布局。我校现有一级国家重点学科7个（覆盖21个二级学科），分别是：光学工程、仪器科学与技术、材料科学与工程、建筑学、水利工程、化学工程与技术、管理科学与工程；二级国家重点学科8个，分别是：流体力学、机械设计及理论、动力机械及工程、电力系统及其自动化、微电子学与固体电子学、通信与信息系统、检测技术与自动化装置、结构工程；二级学科国家重点（培育）学科2个，分别是：一般力学与力学基础、技术经济及管理；天津市重点学科27个。目前，工学门类一级学科中，1/3为国家重点学科，工科优势地位非常明显。 一、招生计划 天津大学2014年硕士研究生招生计划约为3670名，其中学术型硕士研究生约占2170名，全日制专业学位硕士研究生约占1500名。我校2013年接收推荐免试生数约占硕士研究生招生总规模数的30％，各专业比例有所不同。 我校按照学院下拨招生计划，各专业的招生人数由各学院在复试前根据生源情况、导师人数等综合确定（招生专业目录上公布的各学院计划招生人数是我校按照2013年招生计划制定的，2014年实际招生人数以国家当年下达给我校的招生计划为准）。 二、考试方式、报考条件 我校2014年考试方式：全国统一考试，管理类联考，应届本科毕业生推荐免试。 （一）全国统一考试报考条件： 1．中华人民共和国公民。 2．拥护中国共产党的领导，愿为社会主义现代化建设服务，品德良好，遵纪守法。 3．身体健康状况符合国家规定的体检要求。 4．考生的学历必须符合下列条件之一： ①国家承认学历的应届本科毕业生； ②具有国家承认的大学本科毕业学历的人员（自考本科生和网络教育本科生须在报名现场确认截止日期（2013年11月14日）前取得国家承认的大学本科毕业证书方可报考）； ③获得国家承认的高职高专毕业学历后，满2年（从毕业到2014年9月1日，下同）或2年以上，达到与大学本科毕业生同等学力，且辅修过所报考专业本科阶段的全部主干课程； ④国家承认学历的本科结业生和成人高校（含普通高校举办的成人高等学历教育）应届本科毕业生，按本科毕业生同等学力身份报考； ⑤已获硕士学位或博士学位的人员。 在校研究生报考须在报名前征得所在培养单位同意。 在境外获得的学历证书须通过教育部留学服务中心的认证，资格审查时须提交认证报 第 1 页 共 4 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则______||||1=A 。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为_______=A 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 _______ 3332345=-++-A A A A A . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 1)(2A 的Smith 标准形为 _________ 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 2013年硕士研究生招生简章 二〇一二年九月 报考须知 一、培养目标 符合“政治坚定、业务精通、作风优良、执法公正”要求，德智体全面发展的公安高层次专门人才，在本门学科掌握坚实的基础理论和系统的专门知识，具有独立从事科学研究或公安实践工作的能力。 二、报考条件 （一）政治条件 1、坚持四项基本原则，能与党中央路线、方针、政策保持一致。 2、品德优良，遵纪守法，无违法犯罪记录，未受党纪、政纪处分。 3、无不宜做公安民警的其他原因。 （二）年龄条件 报考国家计划内非定向或计划外自筹经费的年龄不超过27周岁，即1986年7月1日以后出生；报考计划内定向或计划外委托培养的年龄不超过45周岁，即1968年7月1日后出生。 （三）学历条件 1、应届或往届本科毕业生。 2、符合报考条件的同等学力人员。 3、报考法律（非法学）专业的人员，在高校学习的专业应为非法学专业（普通高等学校本科专业目录法学门类中的法学类专业[代码为0301]毕业生不得报考）。报考法律（法学）专业的人员，在高校学习的专业应为法学专业（仅普通高等学校本科专业目录法学门类中的法学类专业[代码为0301]毕业生方可报考）。 4、报考警务专业的人员，须具有大学本科学历并取得学士学位，且毕业满2年（截至2013年9月1日）。 5、报考公共管理专业的人员，须具备以下条件之一，具有大学本科毕业后有3年或3年以上工作经验；或获得国家承认的高职高专毕业学历，有5年或5年以上工作经验；或已获得硕士学位或博士学位并有2年或2年以上工作经验。 （四）身体条件 考生既须符合普通高等学校招生体检标准及细则的要求，还应达到以下标准： 1、男生身高应不低于1.70米，体重不轻于50公斤、不超过标准体重25%；女生身高不低于1.60米，体重不轻于45公斤、不超过标准体重25%。理科类专业考生左右眼裸视力不低于4.8(0.6)，文科类专业考生左右眼裸视力不低于4.6（0.4）。无色盲、色弱。 2、五官端正，面部无明显特征和缺陷（如唇裂、对眼、斜眼、斜颈、各种疤麻等），嗅觉不迟钝，无鸡胸、驼背、腋臭，无严重静脉曲张，无明显八字步、罗圈腿，无重度平跖足（平脚板），无纹身、少白头，无各种残疾，两耳无重听，无口吃，本人和直系亲属无精神病史。 3、身体健康，无传染性疾病，无慢性肾炎，无高血压。 在复试时我校将按以上要求进行体检，体检不合格的考生一律不予复试、录取。 三、报名时间及方式 （一）报名时间和地点 2012年10月，具体时间和报考点详见教育部公告。 （二）报名方式 2013年全国硕士学位研究生招生简章 教育部发布：2013年考研招生简章 一、培养目标 高等学校和科学研究机构（以下简称招生单位）招收硕士研究生，是为了培养热爱祖国，拥护中国共产党的领导，拥护社会主义制度，遵纪守法，品德良好，具有服务国家服务人民的社会责任感，掌握本学科坚实的基础理论和系统的专业知识，具有创新精神、创新能力和从事科学研究、教学、管理等工作能力的高层次学术型专门人才以及具有较强解决实际问题的能力、能够承担专业技术或管理工作、具有良好职业素养的高层次应用型专门人才。 二、报考条件 （一）报名参加全国硕士研究生招生考试的人员，须符合下列条件： 1.中华人民共和国公民。 2.拥护中国共产党的领导，愿为社会主义现代化建设服务，品德良好，遵纪守法。 3.年龄一般不超过40周岁（1972年8月31日以后出生者），报考委托培养和自筹经费的考生年龄不限。 4.身体健康状况符合国家和招生单位规定的体检要求。 5.已获硕士或博士学位的人员只可报考委托培养或自筹经费硕士研究生。 6.考生的学历必须符合下列条件之一： （1）国家承认学历的应届本科毕业生； （2）具有国家承认的大学本科毕业学历的人员（自考本科生和网络教育本科生须在报名现场确认截止日期（2012年11月14日）前取得国家承认的大学本科毕业证书方可报考）； （3）获得国家承认的高职高专毕业学历后满2年（从毕业后到2013年9月1日，下同）或2年以上，达到与大学本科毕业生同等学力，且符合招生单位根据本单位的培养目标对考生提出的具体业务要求的人员； （4）国家承认学历的本科结业生和成人高校（含普通高校举办的成人高等 学历教育）应届本科毕业生，按本科毕业生同等学力身份报考； （5）已获硕士、博士学位的人员； 在校研究生报考须在报名前征得所在培养单位同意。 （二）报名参加全国专业学位硕士研究生招生考试的，按下列规定执行。 1.报名参加法律硕士（非法学）专业学位硕士研究生招生考试的人员，须符合下列条件： （1）符合（一）中的各项要求。 （2）在高校学习的专业为非法学专业（普通高等学校本科专业目录法学门类中的法学类专业[代码为0301]毕业生不得报考）。 2.报名参加法律硕士（法学）专业学位硕士研究生招生考试的人员，须符合下列条件： （1）符合（一）中的各项要求。 （2）在高校学习的专业为法学专业（仅普通高等学校本科专业目录法学门类中的法学类专业[代码为0301]毕业生方可报考）。 3.报名参加工商管理硕士、公共管理硕士、旅游管理硕士、工程管理硕士、工程硕士中的项目管理、教育硕士中的教育管理、体育硕士中的竞赛组织专业学位硕士研究生招生考试的人员，须符合下列条件： （1）符合（一）中第1、2、3、4、5各项的要求。 （2）大学本科毕业后有3年或3年以上工作经验的人员；或获得国家承认的高职高专毕业学历后，有5年或5年以上工作经验，达到与大学本科毕业生同等学力的人员；或已获硕士学位或博士学位并有2年或2年以上工作经验的人员。 4.报名参加除法律硕士（非法学）、法律硕士（法学）、工商管理硕士、公共管理硕士、旅游管理硕士、工程管理硕士、工程硕士中的项目管理、教育硕士中的教育管理、体育硕士中的竞赛组织外的其他专业学位硕士研究生招生考试的人员，须符合（一）中的各项要求。 （三）报名参加经教育部批准的招生单位自行组织的单独考试的人员，须符合下列条件： 1.符合（一）中第1、2、3、4、5各项的要求。 习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，南航矩阵论等价关系
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