南航矩阵论2013研究生试卷及答案
南航双语矩阵论matrixtheory第五章部分习题参考答案
第五章部分习题参考答案#2. Find determinant divisors and elementary divisors of each of the following matrices.(a) 1000100015432λλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪+⎝⎭ (b)001010100000λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Solution（a ） 100010()0015432A λλλλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭det (())A λ4322345λλλλ=++++100det 10101λλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭. Hence, the determinant divisors are 123()()()1D D D λλλ===,4324()2345D λλλλλ=++++. Invariant divisor are 123()()()1d d d λλλ===,4324()2345d λλλλλ=++++Unfortunately, it is not easy to factorize 4324()2345d λλλλλ=++++ by hand. With the help of Maple or Matlab, we can see that ()A λ has four distinct linear elementary divisors. (b) 44()D λλ=, 123()()()1D D D λλλ===. There is a unique elementary divisor 4λ #3. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , a a B a εε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are similar.Proof The Smith normal forms of both I A λ- and I B λ-are11()n a λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. A and B have the same set of elementary divisors. Hence they are similar to each other. #4. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 11a a B a ε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are NOT similar. ProofThe determinant of I A λ- is ()n a λ- . The determinant of I B λ- is ()n a λε--. A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.#11. How many possible Jordan forms are there for a 66⨯ complex matrix with characteristic polynomial 42(2)(1)x x +-?Solution The possibilities for the sets of elementary divisors are { 42(2),(1)x x +-}, {4(2),(1),(1)x x x +--}{32(2),(2),(1)x x x ++-}, {3(2),(2),(1),(1)x x x x ++--} {222(2),(2),(1)x x x ++-}, {22(2),(2),(1),(1)x x x x ++--},{22(2),(2),(2),(1)x x x x +++-}, {2(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x +++--}{2(2),(2),(2),(2),(1)x x x x x ++++-}, {(2),(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x x ++++--}. For each set of elementary divisors, there is a Jordan canonical form up to similarity. There are 10 Jordan canonical forms up to similarity.#12. Classify up to similarity all 33⨯ complex matrices A such that 3A I =. Solution An annihilating polynomial of A is 321(1)()()x x x x ωω-=---, where ω A is diagonalizable.The possibilities for the minimal polynomial of A are1x -, x ω-, 2x ω-;(1x -)(x ω-), (x ω-)(2x ω-), (1x -)(2x ω-);2(1)()()x x x ωω---Up to similarity, all 33⨯ complex matrices A are100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 000000ωωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 222000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 22000000ωωω⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 2000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;221000000ωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,210001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭#14. If N is a nilpotent (幂零的) 33⨯ matrix over C , prove that 21128A I N N =+- satisfies2A I N =+, i.e., A is a square root of I N +. Use the binomial series for 1/2(1)t + to obtain asimilar formula for a square root of I N +, where N is any nilpotent n n ⨯ matrix over C .Use the result above to prove that if c is a non-zero complex number and N is a nilpotent complex matrix, then cI N +has a square root. Now use the Jordan form to prove that every non-singular complex n n ⨯ matrix has a square root.Solution If N is an n n ⨯ matrix and k N O =, then k x is an annihilating polynomial for N . The minimal polynomial of N must be of the form p x , where p n ≤ and p k ≤ since the minimal polynomial of a matrix divides its characteristic polynomial. Thus, n N O =.(1) If N is a nilpotent 33⨯ matrix, then 3N O =. By straightforward computation, we can verify that 2A I N =+.(2) If N is an n n ⨯ nilpotent matrix, n N O =.1/22111111(1)(1)((1)1)122222(1)122!(1)!n n t t t t n -----++=+++++- 1/22111111(1)(1)((1)1)122222()22!(1)!n n I N I N N N n -----++=++++-(3) Since1N c is a nilpotent matrix, 1I N c + has a square root 1/21()I N c+. cI N + has a square root 1/21/21()c I N c+.(4) Suppose that 12121()0()000()r d d d r J J P AP J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Then each ()k d k J λ has asquare root 1/2()k d k J λ since ()k d k J λ is of the form k I N λ+, where 0k λ≠ because A is nonsingular and N is nilpotent.Let 121/211/2211/2()000()000()r d d d r J J B P P J λλλ-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭, then 2B A =. Hence, A has a squareroot.#20. Prove that the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial if andonly if the elementary divisors are relatively prime in pairs.Proof Suppose that a Jordan canonical form of A is1212()000()000()r d d d r J J J J λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(where 12,,,r λλλ are not necessarily distinct. Each ()i d i J λ is a Jordan block.)The minimal polynomial of A is the same as that of J . The characteristic polynomial of A is the same as that of J . The elementary divisors of A are 11()d λλ-, , ()rd r λλ-The minimal polynomial of ()i d i J λ is ()i d i λλ-. The minimal polynomial of J is the least common multiple (最小公倍式) of 11()d λλ-, , ()rd r λλ-. The characteristicpolynomial of J is 1212()()()()rd d d r p λλλλλλλ=--- .The least common divisor of 11()d λλ-, , ()rd r λλ- is equal to the product of11()d λλ-, , ()r d r λλ- if and only if ()j dj λλ-and ()k d k λλ-are relatively prime forj k ≠. Thus the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial ifand only if the elementary divisors are relatively prime in pairs.。
矩阵论考试题
T
任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的 向量。 （8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明： （1） e iA 为酉矩阵； （2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
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中国民航大学 2010－2011 学年第一学期 研究生《 矩阵论 》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
第 2 页 共 2 页
9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1
南航矩阵论课后习题答案
南航矩阵论课后习题答案南航矩阵论课后习题答案矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。
南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重要环节。
在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。
下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。
1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。
解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。
一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。
计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。
因此，矩阵A可逆。
接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。
计算得到A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。
最后，将伴随矩阵除以行列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。
2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。
解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。
特征方程的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
计算得到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。
解这个二次方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。
接下来，我们可以求解对应于每个特征值的特征向量。
将特征值代入(A - λI)x = 0，即可求解出特征向量。
对于特征值λ1 = 1，解得特征向量x1 = [1; -1]；对于特征值λ2 = 5，解得特征向量x2 = [1; 3]。
3. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的奇异值分解。
解析：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南京航空航天大学-2013年-硕士研究生招生考试初试试题(A卷)-815理论力学
C M 4m D 3m
第 1 题图
z 5
机身
3 7
机翼
FL y
第 2 题图
B
第 3 题 （25 分） 图示机构中， 半径为 r 的圆轮在轮心 A 与 杆 长度为 r 的杆 O1A 铰接， O1A 以匀角速 ω1 绕
O1 轴转动， 带动圆轮 A， 进而驱动杆 O2B 绕 O2
B C
ϕ
第 7 题图
科目代码：815 科目名称：理论力学 第 2 页 共 2 页
R = 2r ， 长为 l 的杆 AB 分别在两端与两轮
缘铰接。已知轮心 C 以匀速 vC 向左运动， 图示瞬时点 A 运动至最高点，杆 AB 处于 水平位置，A、B、C 三点共线。试求此时： 轮 O 的角速度 ωO 和杆 AB 的角加速度
vCห้องสมุดไป่ตู้C
B
A O
第 4 题图
α AB 。
第 5 题 （20 分） 均质细杆 AB 质量为 m，长为 l = 2 r，均质 圆盘质量也为 m，半径为 r。杆与圆盘在点 A 处 焊接（AB 与过点 A 的直径垂直） 。系统在铅垂平 面内可绕轴 O 转动。初始时杆 AB 水平，系统从 静止开始运动。试用达朗贝尔原理求此瞬时，杆
南京航空航天大学 2013 年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）
科目代码： 815 科目名称： 理论力学 满分： 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸
上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ F
第 1 题 （25 分） 图示平面结构由 T 字形杆 ABC 和直 杆 CD 组成，所受载荷及尺寸如图所示。 已知：F = 60 kN，M = 100 kN⋅m，q = 25 kN/m。各杆自重及各处摩擦均不计。试 求：支座 A、D 处的约束力。 第 2 题 （15 分） 图示喷气式飞机的机翼在 A 处与机 身固定，机翼的重力 FG 平行于 z 轴，机 翼同时受到平行于 x 轴的发动机推力 FT 和平行于 z 轴的气动升力 FL 的作用，若 FG＝20kN，FT＝8kN， FL=40kN，有关 尺寸如图，单位为 m。试求 A 处的约束 力和约束力偶。
南京航空航天大学2013年研究生考试813无机化学真题试卷
a 南京航空航天大学2013 年硕士研究生入学考试初试试题（A 卷 ）科目代码:813科目名称:无机化学满分: 150分注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、填空题（共 20 分，每空 0.5 分）1. 已知反应 2N 2O 5(g) 4NO 2(g)+ O 2(g)的∆r H m ﹤0，则增加总压反应速率，平衡移动方向，升高温度反应速率。
2. 对于电极反应 Cr 2O 72- + 14H + + 6e = 2Cr 3+ + 7H 2O ，其他条件不变，随着氢离子浓度的降低，Cr 2O 72-的氧化性将 （增强，减弱，不变）。
3. 在配合物[CoCl 2(en)2]Cl 中，形成体是，其配位原子是 ，配位数是，配位化合物应该读作。
4. 实验测得[Cr(NH 3)6]3+配离子的磁矩为 3.9 B.M.，则该配合的空间构型为，属于型配合物（填内轨或外轨），中心离子的杂化类型为。
5. 最难溶的硫化物是，它可溶于和。
6.已知 Mn 的元素电势图如下图所示：MnO - ↓+↓0.5↓6V → MnO 2- ↓+↓2.2↓7V→MnO↓+↓0.9↓6V → Mn 3+ ↓+↓1.5↓0V → Mn 2+ ↓-↓1.1↓8V→ Mn442从该电势图判断在水中可以稳定存在的离子是 和 。
7. 用 H 2O 2 溶液漂白已变黑的古画，其原理是（化学方程式）。
8. 三氯化铁蒸汽中含有的分子化学式为 ，其结构与金属的氯化物相似。
9.在 AgNO 3 溶液中，加入 K 2CrO 4 溶液，生成 色的 沉淀，将该沉淀加入氨水生成，再加入 KBr 溶液，生成色的 沉淀，将沉淀加入 Na 2S 2O 3 溶液，有 配离子生成。
10. 写出下列物质的化学组成式：海波，原硅酸，硼砂，立德粉，碳酸羟铜。
11. 已知 A(g)→B(g)+D(g)为一级反应，在 400℃时，经过三小时有 20%分解，在 900℃时反应的 t 1/2 为 9 秒，这个反应的活化能 kJ·mol -1。
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
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南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，.
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形；
A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.
λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分)
2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分)
200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分)
0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分)
0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容.
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解；
A (2) 求广义逆矩阵；
+A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答:(1) 矩阵,的满秩分解为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
共 6 页 第 5 页
共 6 页第 6 页
五、(20分)设是两个阶矩阵,其中，证明:
B A ,n )(ij a A =(1) 若对任意，有则可逆；
n i ,,2,1L =,1||1<∑=n
j ij a A I -(2) 若都是Hermite 正定矩阵，则的特征值均为正数；
B A ,AB (3) 若都是Hermite 半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必B A ,0)(≥AB tr 有.
0=AB 解答：
(1) 由可得，，由于是相容范数，则，的1||1n
ij j a =<∑1A ∞<A ∞()1A ρ<A I -特征值都不为零，因此可逆. ………………………(6分)
A I -(2) ,这里是可逆的Hermite 矩阵,从而.由20H A A S SS >⇒==S H A
B SS B =于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数.H SS B H S BS 0H S BS >AB ………………(8分)
(3) ，这里是Hermite 矩阵.由于与20,H H A A S S S AB S SB ≥⇒===S H S SB 有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而H SBS 0H SBS ≥AB . …………………(4分)
0)()(≥=H SBS tr AB tr 当时,有,从而.设这里0)(=AB tr 0)(=H SBS tr 0=H SBS 2,H B Q QQ ==也是Hermite 矩阵,则
Q .
()()H H H H SBS SQQ S SQ SQ ==于是,由此得到. …………(2分)
0=SQ 0AB =.。