南航矩阵论试卷
矩阵论去年试题
南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院一．设矩阵A=010110122---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的值域与核。
（10分）二．设1α=(1,1,1,0)T , 2α=(-1,-2,-1,-1)T , 1β=(2,1,3,-1)T , 2β=(1,-1,0,-2)T , V 1=span(1α,2α), V 2=span(1β,2β)，分别求V 1∩V 2 ，V 1+V 2 的一组基和维数。
（12分）三．在22R ⨯中，定义线性变换Г(X) =1102X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，求Г在基E 11=1000⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 12=0100⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 21=0010⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 22=0001⎛⎫ ⎪⎝⎭下的矩阵。
（10分）四．求矩阵A=040140122----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的Smith 标准形和Jordan 标准形J ，并求可逆矩阵P ，使P -1AP=J 。
（18分）五．求矩阵A=123002111021-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。
（10分）六．设║•║是n n C ⨯上的矩阵范数,对于非零向量n C α∈，定义：T ,n x x x C αα=∀∈，证明：x α是n C 上的向量范数（8分）七．求正规矩阵A=010100000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的谱分解式。
（10分）八．设‖•‖是n nC⨯上的相容矩阵范数，A是n阶可逆矩阵，λ为A的任一特征值，证明：‖A-1‖-1≤|λ|≤‖A‖。
（10分）九．已知A=100100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,求A的奇异分解和广义逆矩阵A+。
（12分）。
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案
(3)，判断方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘 解。(4 分)
解：
2 0 0 8 1 0 0 4 行 (1): A 0 2 8 0 0 1 4 0 ,故矩阵 A 的满秩分解为： 2 2 8 8 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 4 1 0 0 4 A 0 2 CD, C 0 2 , D 。 0 1 4 0 0 1 4 0 2 2 2 2
k
k
k 1
A |||| A k 1 |||| A || || A || k . （5 分）
k
2. || A || 1 lim || A || k 0 lim || A k || 0. （5 分） 3. lim || A k || 0 lim || A k 0 || 0 lim A k 0. （5 分）
学院 ------------------------------ 线 ----------------------------------------------------------------
年级 ----------
从而其极小最小二乘解为：
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷一、（20分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111322211A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22⨯R 是实数域R 上全体22⨯实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22⨯R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22⨯实对称矩阵的集合， 证明：W 是22⨯R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22⨯R 上的线性变换T ： 22,)(⨯∈∀+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设nn ij C a A ⨯∈=)(，令ijji a n A ,*max ⋅=，证明：*是n n C ⨯上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100100011111A ，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A A H，其中k k C A ⨯∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南京航空航天大学MatrixTheory双语矩阵论期末考试
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(2) Find a basis for such that with respect to this basis,thematrixBrepresenting is diagonal.
(3) Find thekernel（核）andrange（值域）of this transformation.
Solution:
南京航空航天大学Matrix-Theory双语矩阵论期末考试
———————————————————————————————— 作者：
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Part I (必做题，共5题，70分)
第1题（15分）
得分
Let denote the set of all real polynomials of degree less than 3 withdomain（定义域） .The addition and scalar multiplication are defined intheusual way.Definean inner product on by
第2题（15分）
得分
Let be the linear transformation on (the vector space of real polynomials of degree less than 3) defined by
南航矩阵论试卷
四、(20分)设矩阵 .
1．求 ；
2．证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和．
答案及评分标准:
1. .
由于 ,所以 .
2.由矩阵2数的相容性,有 ．另一方面，由题１的计算过程知 ，从而
，
即 ．
3.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
.
共 5 页 第 5 页
五、(20分)设 分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：
1． 相似于Hermite半正定矩阵；
2．若 ，则 ；
3．若 ，则 ．
答案及评分标准:
1. ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 ,所以 ,即 相似于Hermite半正定矩阵 .
2. .由题1的结论， 的特征值满足条件
3．问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
1.特征多项式为 ；初等因子为 .
2. 的最小多项式是 ，Jordan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
（5分）
共 5 页 第 2 页
二、(20分)设 ，映射 使得
.
1．证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
于是 ．
3. .
航空航天大学2015级硕士研究生
共 5 页 第 1 页
2015 ~ 2016学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A卷
考试日期：2015年12月28日课程编号：A080001命题教师： 阅卷教师：
学院 专业 学号 成绩
一、(20分)设 阶矩阵 ．
1．求 的特征多项式和初等因子；
2．求 的最小多项式和Jordan标准形；
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2．若 ，则 ；
3．若 ，则 ．
答案及评分标准:
1. ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 ,所以 ,即 相似于Hermite半正定矩阵 .
2. .由题1的结论， 的特征值满足条件
于是 ．
3. .
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和．
答案及评分标准:
1. .
由于 ,所以 .
2.由矩阵2范数的相容性,有 ．另一方面，由题１的计算过程知 ，从而
，
即 ．
3.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
.
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五、(20分)设 分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：
3．问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
1.特征多项式为 ；初等因子为 .
2. 的最小多项式是 ，rdan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
（5分）
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二、(20分)设 ，映射 使得
.
1．证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
2．证明 是 的线性变换，并求 在题1所取基下的矩阵；
1．作出 的一个满秩分解；
2．求 的加号逆 ；
3．求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数t）．
答案及评分标准:
1. 的一种满秩分解为 ；
(注意：满秩分解不唯一，需要检验)．
2.因为 ,所以
.
3.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .
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四、(20分)设矩阵 .
1．求 ；
2．证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；
南航矩阵论试卷
南京航空航天大学2015级硕士研究生
共5页第1页
2015~ 2016学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期：2015年12月28日课程编号：A080001命题教师：阅卷教师：
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 阶矩阵 ．
1．求 的特征多项式和初等因子；
2．求 的最小多项式和Jordan标准形；
3．求 的核 与值域 的维数和基；
4．证明： .
答案及评分标准:
1.直接验证，知 是线性子空间. 的维数是3，一组基是
.
2.直接验证,知 是线性变换.
在题1所取基下的矩阵是 .
3.由于 ，所以 ， 为 的一组基；由于 ，所以 ， 是 的一组基.
4.由于 ，所以 .
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三、(20分)设非齐次线性方程组 相容，其中 ， .