南航矩阵论考试
矩阵论去年试题
南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院一．设矩阵A=010110122---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的值域与核。
（10分）二．设1α=(1,1,1,0)T , 2α=(-1,-2,-1,-1)T , 1β=(2,1,3,-1)T , 2β=(1,-1,0,-2)T , V 1=span(1α,2α), V 2=span(1β,2β)，分别求V 1∩V 2 ，V 1+V 2 的一组基和维数。
（12分）三．在22R ⨯中，定义线性变换Г(X) =1102X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，求Г在基E 11=1000⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 12=0100⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 21=0010⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 22=0001⎛⎫ ⎪⎝⎭下的矩阵。
（10分）四．求矩阵A=040140122----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的Smith 标准形和Jordan 标准形J ，并求可逆矩阵P ，使P -1AP=J 。
（18分）五．求矩阵A=123002111021-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。
（10分）六．设║•║是n n C ⨯上的矩阵范数,对于非零向量n C α∈，定义：T ,n x x x C αα=∀∈，证明：x α是n C 上的向量范数（8分）七．求正规矩阵A=010100000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的谱分解式。
（10分）八．设‖•‖是n nC⨯上的相容矩阵范数，A是n阶可逆矩阵，λ为A的任一特征值，证明：‖A-1‖-1≤|λ|≤‖A‖。
（10分）九．已知A=100100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,求A的奇异分解和广义逆矩阵A+。
（12分）。
南航矩阵论试卷
2．若 ，则 ；
3．若 ，则 ．
答案及评分标准:
1. ,这里 是可逆的Hermite矩阵,从而 .由于 ,所以 ,即 相似于Hermite半正定矩阵 .
2. .由题1的结论， 的特征值满足条件
于是 ．
3. .
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和．
答案及评分标准:
1. .
由于 ,所以 .
2.由矩阵2范数的相容性,有 ．另一方面，由题１的计算过程知 ，从而
，
即 ．
3.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
.
共5页第5页
五、(20分)设 分别是n阶Hermite正定矩阵和半正定矩阵，证明：
3．问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
1.特征多项式为 ；初等因子为 .
2. 的最小多项式是 ，rdan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
（5分）
共5页第2页
二、(20分)设 ，映射 使得
.
1．证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
2．证明 是 的线性变换，并求 在题1所取基下的矩阵；
1．作出 的一个满秩分解；
2．求 的加号逆 ；
3．求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数t）．
答案及评分标准:
1. 的一种满秩分解为 ；
(注意：满秩分解不唯一，需要检验)．
2.因为 ,所以
.
3.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .
共5页第4页
四、(20分)设矩阵 .
1．求 ；
2．证明对于 中的任意矩阵 ，有 ；
南航矩阵论试卷
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
南航双语矩阵论期中考试卷mid-term-exam(2014)优选全文
Mid-term Exam of Matrix Theory (2014)Preferentially Selected Five Questions (5×20 )Q1.Given A ∈P n ×n ,consider the following questions.1)If A is invertible,prove that A −1can be represented by the polynomial of A with degree less than n .2)For any positive integer k ∈N ,prove that A k can be represented by the polynomial of A with degree less than n .3)Especially A = 11221,find the representative polynomials of A −1and A 2014as men-tioned in 1)and 2).Q2.Denote A a linear transformation in R 3,α1,α2,α3the basis of R 3.Suppose that the representation matrix of A with respect to α1,α2,α3is A = 12020−2−2−1.1)Show that β1=α1,β2=α1+α2,β1=α1+α2+α3also form a basis of R 3.2)Determine the representative matrix of A with respect to β1,β2,β2.3)Find the eigenvalues and eigenvectors of A .Q3.Denote R [x ]3to be the vector space of zero and polynomials with degree less than 3.1)Determine the dimension of R [x ]3and give a basis of R [x ]3.2)Define the linear transformation D on R [x ]3,D (f (x ))=f (x ),∀f (x )∈R [x ]3.Show R (D )and ker(D ).3)Prove that D is not diagonalizable.4)Define the inner product on R [x ]3,(f,g )= 1−1f (x )g (x )dx,∀f (x ),g (x )∈R [x ]3,please Gram-Schmidt orthogonalize the basis given in 1).Q4.1)To the best of your knowledge about λ−matrix,determine if the following two matrices are similar or not,and give reason,1A =210021002 ,B = 2a 002a 002 .2)Denote V ={ a 11a 12a 21a 22∈R 2×2|a 11=a 22}.i)Find a basis of V and show the dimension.ii)Arbitrarily given A = a 11a 12a 21a 22 and B = b 11b 12b 21b 22in V ,define (A,B )=a 11b 11+2a 12b 12+a 21b 21.Please show that (A,B )is an inner product on V .Q5.Given A ∈C m ×n and b ∈C m ,please prove1)there exists a real number α>0such that A H A +αI is nonsingular;2)the solution to the least square problem min x ∈C n{ Ax −b 2+α x 2}is x ∗=(A H A +αI )−1A H b ,where · stands for the 2−norm in C m .Q6.Given A ∈R n ×n ,summarize the necessary and sufficient conditions of A to be di-agonalizable,and prove at least one of them.Determine if the matrix A given in Q2is diagonalizable or not.If yes,please explain why,if not,please give the Jordan canonical form of A .2。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案
(3)，判断方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘 解。(4 分)
解：
2 0 0 8 1 0 0 4 行 (1): A 0 2 8 0 0 1 4 0 ,故矩阵 A 的满秩分解为： 2 2 8 8 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 4 1 0 0 4 A 0 2 CD, C 0 2 , D 。 0 1 4 0 0 1 4 0 2 2 2 2
k
k
k 1
A |||| A k 1 |||| A || || A || k . （5 分）
k
2. || A || 1 lim || A || k 0 lim || A k || 0. （5 分） 3. lim || A k || 0 lim || A k 0 || 0 lim A k 0. （5 分）
学院 ------------------------------ 线 ----------------------------------------------------------------
年级 ----------
从而其极小最小二乘解为：
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷一、（20分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111322211A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22⨯R 是实数域R 上全体22⨯实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22⨯R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22⨯实对称矩阵的集合， 证明：W 是22⨯R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22⨯R 上的线性变换T ： 22,)(⨯∈∀+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设nn ij C a A ⨯∈=)(，令ijji a n A ,*max ⋅=，证明：*是n n C ⨯上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100100011111A ，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A A H，其中k k C A ⨯∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
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于是 .
3. ．
南航矩阵论考试
———————————————————————————————— 作者：
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ﻩ
南京航空航天大学2０1５级硕士研究生
共5页第1页
2015 ~ 201６学年第1学期《矩阵论》课程考试Ａ卷
考试日期:2015年12月28日课程编号：A0８０0０１命题教师:阅卷教师：
，
即 ．
３.已知幂级数 的收敛半径为3,且 ,则矩阵幂级数 绝对收敛,且
．
共5页第５页
五、(20分)设 分别是n阶Hermiｔe正定矩阵和半正定矩阵，证明：
1． 相似于Hermite半正定矩阵;
2.若 ,则 ；
３.若 ,则 .
答案及评分标准:
1. ，这里 是可逆的Hｅrmite矩阵,从而 ．由于 ,所以 ,即 相似于Hｅrmitｅ半正定矩阵 .
在题1所取基下的矩阵是 .
３．由于 ，所以 , 为 的一组基；由于 ，所以 ， 是 的一组基.
4．由于 ，所以 .
共5页第3页
三、（20分)设非齐次线性方程组 相容，其中 ， ．
1.作出 的一个满秩分解;
2．求 的加号逆 ;
3.求方程组 的极小范数解（要求解中不含有参数t).
答案及评分标准:
1. 的一种满秩分解为 ;
学院专业学号姓名成绩
一、(２０分)设 阶矩阵 .
1.求 的特征多项式和初等因子;
2．求 的最小多项式和Joｒdan标准形；
3.问： 与矩阵 是否相似？并说明理由．
案及评分标准：
１.特征多项式为 ；初等因子为 .
２. 的最小多项式是 ，Jｏrdan标准形为 .
3.因为 的初等因子为 ，与 的初等因子不同,所以 与 不相似.
(5分）
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二、(20分)设 ,映射 使得
.
1.证明 是 的一个子空间，并求它的维数和基；
2.证明 是 的线性变换,并求 在题1所取基下的矩阵；
3．求 的核 与值域 的维数和基；
4．证明: .
答案及评分标准：
1．直接验证,知 是线性子空间. 的维数是3，一组基是
.
2.直接验证,知 是线性变换.
(注意:满秩分不唯一,需要检验)．
2.因为 ,所以
.
３.由相容性,解得 ,从而极小范数解为 .
共5页第4页
四、（２0分)设矩阵 .
1.求 ;
2.证明对于 中的任意矩阵 ,有 ;
3．证明矩阵幂级数 绝对收敛，并求其和.
答案及评分标准:
1. ．
由于 ,所以 .
２.由矩阵2范数的相容性，有 .另一方面,由题1的计算过程知 ，从而