南航矩阵论期中考试参考答案.doc
1)
一组基为q =
.维数为3.
3)
南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1
1解矩阵A 的特征多项式为
A-2 3 -4
4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4)
-6 7 A-8
所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4.
人?2 3
由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人)
4-2 3
、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7
所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4.
2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 ,
D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子.
所以矩阵B 与矩阵c 相似.
Q2
2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项.
(") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0,
当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积.
利
用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出
,p 2 =%-(％'5)与=
层=%-(％,弟与一(％,弓)役=
T "） = %2+"12 _1
_
02+"12 -o r
%2 +Sn _ i
%1+”21
%2 +腐2 _ 1 0 %1 +021 +。12 +"12
+811 + %2 +012 %2 +§T1 + G 1 +J1
%2 +0\2 +%1 +目21 T （a ）+T （/?）=T （a+"）.T （ka ） = R 任1 +。12 。》+名] 0] +0>7 +4] 灯（a ）.所以T 是V 上的线性变换.T （/） = T （%） =
1 1
0 0矩阵A 称为线性变换T 在
0 0
Q3 1）
2）
l|| = 7（n ）=V2 , |3X 2
-1|| = ^
（3X 2-1,3X
2
3）
设S 中的任意向量为K I +K2（3X 2-
-（^ + ^（3\2-1））|| = ^ j （x-3K 2x 2-K 1 + K2）2
则￡|,旦，§是标准正交基?
4）设Q, ”CV, k 为数域P 上的任意数.
0 丁（。|,%,。3）二（。1，%，％）人. A= 2
2
QIZ 2 7
—+2K
《+—.明显看 5 I
3
出当K!=K 2=O 时上式值
最小。所以x 在S 上的最佳逼近为0向量.
Q4
1）维数为 3, 一组基为 0=1, a 2=x , a y = x 1.
D （l ）=0-l+0x + 0-x 2
2） D （x ）=l-l+0 x + 0-x 2 或表示成D （l, x, x 2） = （l, x, x?）A.则线性变换在
D （X 2
）=0-1+2-X + 0-X
2
I
（1,3亍一 1）= j （3x 2
-l ）^/x = 0所以 1 和 3X 2
-1 是正交的.
-1
1 %+坊 0 %1+”21 8
3)
4) 0 1 0
基1, X, x2下的矩阵为A= 0 0 2
0 0 0
A -1 |AE-A|= 0 2 0 0
-2 =23 4.当4=0的时候，秩r(AE-A )= 2,所以D 不可对角化.
A
￡\ -ii^ii ->
腐=%一(%,￡|)弓=X ，￡2
~
-
二。3 - ( ％，*1 )与 一 (0，￡ ?)《2 = JV~ - I / 3 ,《
Q5
1) Ikllp ,||域0为无效范数，kill 为有效范数.
对于||圳°,当x={i ，i ，i …}时，|HHHII %P G P
不满足齐次性，所以为无效 范数. 对于 x p,当a={0,a,0,(),???}, 0={a,0,0,(),???}, (x,/3e. R n , p =—时.
2)
Q6
R + "||p =(2网)2 =4|d ,而妆|| +1加|| = 2同，所以不满足三角不等式.||x||p 为 无效范数，另外根据Minkowski 不等式，只有当P21才满足三角不等式的条件, 也可也得到lk||p 为无效范数.对于凤，容易证明满足非负性，齐次性和三角不等 式。故为有
效范数.
1) 证明存在可逆矩阵P,使P 'AP=A ,其中A 为对角矩阵.
证明
A 的特征值互异.
A* X】…，* X,…，X n]PA
对于Q1中的矩阵，是不可对角矩阵.因为当特征值为0.
.
. .
因为X], X2,---, Xn线性无关，故P为满秩矩阵，所以AP=PA ,即存在可逆矩阵使得P"AP=A,即A可对角化.
必要性：已知存在可逆矩阵P使P J A P=A,设P=[P|, P2,…，P n],则有
[A P p AP2,..-, APJ = [/11P1, /l2P2,---, /l n P n]，可知九为A 的特征值，％为A 的特
征向量.即A有n个线性无关的特征向量.
秩为2壬〃一§,S,?=2/ = 3.根据Q1的初等因子可得Jordan形矩阵为
3) 证明对于A的每一个特征值W都有秩(4义- A) = 〃 - S’，S,.是九的重数.
4) 矩阵A可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量.
证明：充分性：设A的n个线性无关的特征向量为XI, X2, X3,…，Xn.则, i = 1,2,…，〃