湖北省2014届高三八校第一次联考数学(理)试卷

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学襄阳四中襄阳五中孝感高中湖北省八校2014届高三第一次联考数学试题（理科）命题学校：黄冈中学命题人:尚厚家审题人：张卫兵考试时间：2013年12月13日下午 15︰00—17︰00 试卷满分150分考试用时120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共50分）5.函数32()(0,)f x ax bx cx d a x=+++≠∈R有极值点，则（）A.23b ac≤ B. 23b ac≥C.23b ac<D. 23b ac>6. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A.13B.23C.2D.17. △ABC中，角,,A B C成等差数列是sin sin)cosC A A B=+成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按胡克定律F kl=计算.今有一弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（）功（单位：J）A.0.196B.0.294C.0.686D.0.989．在正方体1111ABCD A B C D-中，E是棱1CC的中点，F是侧面11BCC B内的动点，且1A F∥平面1D AE，记1A F与平面11BCC B所成的角为θ，下列说法错误的是（）A.点F的轨迹是一条线段B.1A F与1D E不可能平行C.1A F与BE是异面直线D.tanθ≤12. 已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是：13r h=,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体高h的关系是_________.正（主）视图侧（左）视图俯视图第6题图113. 将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到的函数图象关于点4(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为________.14. 无穷数列{}n a 中，12,,,m a a a 是首项为10，公差为2-的等差数列；122,,,m m m a a a ++ 是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,m m ∈N ≥），并且对于任意的*n ∈N ，都有2n m n a a +=成立.若51164a =，则m 的取值集合为____________.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则使得12852013m S +≥ *3,)m m ∈(N ≥的m 的取值集合为____________.在极坐标系中，曲线1:4C ρ=上有3个不同的点到曲线2:sin()4C m ρθ+=的距离等于2，则______m =.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间．18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：2418,a a +=791S =．递增的等比数列{}n b 前n 项和为n T ，满足：12166,128,126k k k b b b b T -+===． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对*n ∀∈N ，均有12112n n nc c ca b b b ++++= 成立，求122013c c c +++ ．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，90ABC ∠= ，D 为棱1BB 上一点，且平面1DA C ⊥平面11AAC C .(Ⅰ)求证：D 为棱1BB 的中点；（Ⅱ）ABAA 1为何值时，二面角1A A D C --的平面角为60 .20．（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC ，已知石塔的高度为a .（Ⅰ）若以,B C 为观测点，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β，用,,a αβ表示山的高度h ；（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD 上，其中D 是塔顶B 在地面上的射影. 已知石塔高度20a =,当观测点E 在AD 上满足DE =BC 的视角(即BEC ∠)最大，求山的高度h .21.（本小题满分13分）已知n a 是关于x 的方程1210n n n x x x x --++++-= (0,2)x n n >∈N 且≥的根，证明：（Ⅰ）1112n n a a +<<<; （Ⅱ）11()22n n a <+.22.（本小题满分14分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯++++++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.ABCA 1B 1C 1D 第19题图第20题湖北省八校2014届高三第一次联考 理科数学参考答案及评分细则一、选择题（每小题5分，共10小题）1—5 A C B B D 6—10 B A A B A 10. 答案：110,,88⎧⎫-⎨⎬⎩⎭注意到11()f x x x x x=+--是偶函数， 考察0x >的情形，2(01)2(1)x x y x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，作图0k =0k ≠时，若直线1y kx =+与2y x =相切，由21kx x +=得220kx x +-=，△=0, 18k =-直线绕（0,1）逆时针旋转，开始出现5个交点 顺时针旋转，3个交点18k =-符合题意.根据对称性，18k =也满足题意.二．填空题（每小题5分，共5小题）11. 2π 12. 14r h = 13. 6π14. {}45,15,9； {}6 第一个空2分，第二个空3分15.16. 2m =±14. 答案：{}45,15,9；{}665111()642a ==，等比数列部分最少6项，即6m ≥ 由6251m m k ++⋅=，得(21)45k m += 0,1,2k ∴=时，45,15,9m =；1285212564m m S S a a a +=++++ 26430m S =+2211112m m S m m =-++- ()g m =，(1)()g m g m +- =111022m m +-+，35m ∴≤≤时 ，(1)()g m g m +>即6m =时，2m S 最大，128564(6)302013m S g +∴≤+= 故12852013m S +=，则6m = 三、解答题（共5小题，共75分）17. （Ⅰ）2()4sin()cos 3f x x x πωω=+1分14sin ()cos cos 2x x x ωωω⎡=⋅-+⎢⎣⎦22sin cos x x x ωωω=-cos 2)sin 2x x ωω=+- 2cos(2)6x πω=+5分 由题意，T π=，2,12ππωω∴== 6分（Ⅱ）()2cos(2)6f x x π=++[]0,2x π∈时，2,4666x ππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦故[]2,26x πππ+∈或[]23,46x πππ+∈时，()f x 单调递增9分 即()f x 的单调增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和1723,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12分18. （Ⅰ）由题意24317742187()7912a a a a a S a +==⎧⎪⎨+===⎪⎩得349,13a a ==，则43n a n =- 2分 211k k b b b b -= ，1,k b b ∴方程2661280x x -+=的两根，得12,64k b b ==4分111(1)12611k k k b b q b q S q q---===-- ，12,64k b b ==代入求得2q =，2n n b ∴=6分（Ⅱ）由12112n n nc c ca b b b ++++=112121(2)n n n c c c a n b b b --+++=≥ 相减有1n n n nca ab +=-4=22,42n n n nc b +∴≥==，9分又121ca b =，得110c = 210(1)2(2)n n n c n +=⎧=⎨≥⎩122013c c c ∴+++= 45201520161022226++++=-12分19．解：（Ⅰ）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C 故直线DE ⊥面11ACC A3分又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ，∴BF ⊥面AA 1C 1C 由此知：DE ∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB ∥EF ，从而有EF ∥AA 1，又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝ 21 AA 1 ＝ 21BB 1，即D 为1BB 的中点 6分（Ⅱ）解法1设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0) 所以，,0,(1b a DA =设面DA 1C 则0,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax可取),,(a b b --= 8分 又可取平面AA 1DB 的法向量 )0,,0(a ==cos ,m n u r r222222200ab b aa b a ba b +-=⋅+⋅--⋅==据题意有：21222=+a b b解得： ABAA 1＝22=a b12分(Ⅱ)解法2：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； 9分设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；在直角三角形A 1A G 中，易知AB ＝ BG .在∆Rt DBG 中，BH ＝ DG BG BD ⋅ ＝ 22ba ab +⋅， 在∆Rt CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC＝bb a 22+， 据题意有：bb a 22+ ＝ tan 600 ＝ 3 ，解得：22=a b所以ABAA 1 12分20. 解：（1）在△ABC 中，BAC αβ∠=-,90BCA β∠=+, 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC BCA=∠∠ sin(90)cos sin()sin()a a AB ββαβαβ+∴==--则cos sin sin sin()a h AB a a βαααβ=⋅-=--=cos sin sin()a αβαβ⋅- 4分（2）设DE x =，20tan h BED x +∠=，tan hCED x∠= tan tan tan 1tan tan BED CEDBEC BED CED∠-∠∴∠=+∠⋅∠ 6分22020(20)(20)1x h h h h x x x==++++≤ 当且仅当(20)h hx x+=即x =tan BEC ∠最大，从而BEC ∠最大=180h = 12分21. （Ⅰ）设12()1nn n f x x xx x --=++++- ，则'12()(1)21n n f x nx n x x --=+-+++显然'()0f x >，()f x ∴在R +上是增函数(1)10(2)f n n =->≥11(1())122()11212n f -=--1()02n =-< ()f x ∴在1(,1)2上有唯一实根，即112n a << 4分假设1n n a a +≥，*1()k k n n a a k N +∴≥∈则1()n f a +=111111111n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ++-+++++++-≥++++-11n n n n n a a a ->+++- ()n f a =1()()0n n f a f a +== ，矛盾，故1n n a a +<8分（Ⅱ）111111()()1()()()12222n n n n n n n n f a f a a a --⎡⎤-=+++--+++-⎢⎥⎣⎦11111(())(())()222n n n n n n n a a a ---+-++- 12n a >- （12n a > ）()0n f a = ，11()()22n f =-11()22n n a ∴<+13分方法二：121n n n n n n a a a a --=+++由（Ⅰ）1n a -=12n n n n n a a a -+++ 12111()()()222n n ->+++ =11()22n - 11()22n n a ∴<+22 （Ⅰ）'()xf x e a =-1分 0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增。