矩阵的相似标准形
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5.4 对称矩阵的相似矩阵
由 于 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
矩阵的相似标准形
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感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P， 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)， 并求出其全部根，即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di，并将矩阵A与Di进行初 等行变换，得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换，得到一个最简形 式的矩阵C，则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化，得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
5.11矩阵的相似标准形3
二、性质
A、B为f 在V 的 不同基下的矩阵。
f 在不同基下的矩阵相似，而相似的矩阵具有相
同的特征多项式，故可称
为f 的特征多项式。
n=2时：
n=3时：
n=3时：
一般情况时：
=
补充
证： tr(AB) tr( BA )
证明:(1)
A ,B 为列向量时, (2)特别地，
取 1 = 1 1,1,1 ，由施密特正交化方法：
再令
1 1 1 1 = ， 1 , , 1 3 3 3 2 1 1 2 = ， 2 , , 2 6 6 6
3 1 1 = 3 , ,0 ， 3 2 2
三、化零多项式与最小多项式
一、Schur引理
作业：
2 1 1 1、设 A 4 3 1 , 0 0 2
求A的特征值与特征向量．
2、设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1,
3 2, 设B A3 5 A2, 求 B ; A 5 I .
的多项式函数）;
1 1 当 可逆时， 是 的特征值；并且X 仍是矩阵 A A 4. 的 kA, Am , f A, A1 分别对应于特征值 k , m , f , 1
的特征向量；
§3.2 Schur引理、Hamilton-Cayley定理
一、 Schur引理
二、Hamilton-Cayley定理
1 解得 x1 x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 p1 . 1 故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由 3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 ,即 , 1 3 4 x 2 0 1 1 x 2 0 1 解得x1 x2 , 所以对应的特征向量可取为p2 . 1 故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)
矩阵标准形
• 2.1 特征阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵：对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n，行列式、子式、伴随矩 阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同，而以下概念有所不同。 1）多项式矩阵A(λ)的秩：A(λ)中有一个r阶子式（r≤min{m,n}）为非零多项 式（不恒为0），而一切r+1阶子式为0，则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2）非奇异方阵（满秩的）：A为n阶方阵，detA(λ)不恒为0，即 rankA(λ)=n，显然，对于n阶方阵特征矩阵λE－A的秩为n，显然特征矩阵时 满秩的。 3）可逆矩阵：A(λ)为n阶方阵，若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E， A(λ)为可逆的（单模态的）。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1）必要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆，则A(λ)必非奇异(满秩)； 2）充要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
设n阶方阵a是hermite矩阵则有iiiiii都是实数即的主对角元素axax相应有正交即不同特征值的特征向量对应于axax对任意矩阵hermite矩阵与正规矩阵的关系的特征值为实数为正规矩阵且矩阵的充分必要条件为征值为实数前面已证矩阵为正规矩阵且特
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义：对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n，λ∈C，则A的特征矩阵 为λE－A，即 a11 a11 a1n
• ④矩阵可对角化的另一充要条件：λE－A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用：可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE－A的初等因子 组。
第四章 矩阵的标准型
2t t 2t t
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
最后，由可逆线性变换 x = P y 得原方程组的解 最后，
x1 = c2e + c3 t e t t x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 1 2 3 3
P AP = J
Jordan分解 或者 A 有Jordan分解
−1
A = P JP
−1
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
二、 Jordan标准型的一种简易求法 标准型的一种简易求法
的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起， 把 A 的同一个特征值的若干个 块排列在一起， 就得到Jordan标准型 就得到 标准型
为 mi 阶Jordan 块。
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
定理 2
A ∈ C 。如果 A 的特征多项式可 分解因式为 ϕ ( λ ) = (λ − λ ) m 1 L (λ − λ ) m s 1 s
设
n× n
( m1 + m2 + L + ms = n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J 可经过相似变换 相似变换化成唯一的 标准型 (不计 不计Jordan块的排列次序 ，即存在可逆矩阵 称为 块的排列次序)， 不计 块的排列次序 即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵 Jordan变换矩阵 P ∈ C n×n 变换i@） ）
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即 解得
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
最后，由可逆线性变换 x = P y 得原方程组的解 最后，
x1 = c2e + c3 t e t t x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 1 2 3 3
P AP = J
Jordan分解 或者 A 有Jordan分解
−1
A = P JP
−1
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
二、 Jordan标准型的一种简易求法 标准型的一种简易求法
的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起， 把 A 的同一个特征值的若干个 块排列在一起， 就得到Jordan标准型 就得到 标准型
为 mi 阶Jordan 块。
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
定理 2
A ∈ C 。如果 A 的特征多项式可 分解因式为 ϕ ( λ ) = (λ − λ ) m 1 L (λ − λ ) m s 1 s
设
n× n
( m1 + m2 + L + ms = n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J 可经过相似变换 相似变换化成唯一的 标准型 (不计 不计Jordan块的排列次序 ，即存在可逆矩阵 称为 块的排列次序)， 不计 块的排列次序 即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵 Jordan变换矩阵 P ∈ C n×n 变换i@） ）
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即 解得
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
高等代数-相似标准型
多项式矩阵与矩阵多项式_2
矩阵的运算: 相等: 加法: 数乘: 乘法运算: 行列式: 伴随矩阵:
例子
注1:
为s次矩阵多项式, 其行列式也可能为0
或常数.
例3:
注2: 例4:
分别为s, t次矩阵多项式, 但 也可能为0.
矩阵的初等变换与初等矩阵_1
定义: 对 矩阵 行初等变换
(1) 互换变换: 将
矩阵的法式_1
引理设 这里
则 且
注
即 的最大公因式.
矩阵的法式_2
定理设 是m×n 阶 矩阵, 则这里
是
首项系数为1的多项式, 且
矩阵的法式_3
注1 上面矩阵称为
的法式.
注2 r 称为
的秩.
注3
推不出 可逆.
注4
可逆
的法式为I
相抵于I.
矩阵的法式_4
推论1:任一n 阶可逆 矩阵可表为有限个初
问A是几阶矩阵? 求A的不变因子组.
初等因子_4
定理:设A , B∈Kn×n , 则A相似于B 有相同的初等因子组 .
复习
初等因子_5
引理: 若
则
引理: 若
,则
引理:若
,且
则 与 相抵.
初等因子_6
定理:设C上方阵A经过 列对角矩阵
初等变换化为下
其中 是首项系数为1的非零多项式. 将 在C[x]上分解为互不相同的一次因式方幂的 乘积 , 则所有这些一次因式的方幂(相同的按 出现次数计算)就是A的全部初等因子 .
最小多项式mA(λ)=最后一个不变因子
Jordan标准型_1
引理: r 阶矩阵
的初等因子组为(λ- λ0)r .
Jordan标准型_2
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行，则 A 的第 i1, i2 ,L , ik 行，第 i1, i2 ,L , ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶
主子式。
11
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a233
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
化零多项式
设f (x)是多项式。若f ( A) O,
则A的特征值均是f (x) 0的根.
25
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
n
定义：设A (aij )nn , 称 aii为A的迹，记为tr( A). i 1
命题：若 A
(aij
)
的特征值为
nn
1, 2 ,
, n ,则
n
tr( A) i , i 1
n
A
i 1
i
.
推论：若A, B相似，则tr(A) tr(B), A B.
15
例3
a1
b1
设
aan2 ,
是相应于特征值 0 的特征向量。
5
线性变换的可对角化问题
设V 是 n 维线性空间， f 是线性空间V 上的 线性变换，则存在V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
6
线性变换的特征值、特征向量的计算
设 f 在 V 的 基 1,2 ,L ,n 下 的 矩阵 是 A ， 若 0 F ， V 在基1,2 ,L ,n 下的坐标是 x0 ，则 f () 在基1,2 ,L ,n 下的坐标是 Ax0 。故 f () 0 Ax0 0 x0 ， 即： 是 f 的属于特征值 0 的特征向量
例：已知A2 A.证明： A的特征值只能是0或1。
17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A Fnn,C() I A .则C(A) O. 定理4：设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur引理：对 ACnn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
18
例4
设A
3 3
4 5
.求A1000.
C() 2 2 3
19
例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
20
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
性质1：若m(x),(x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m(x) | (x).
a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
13
特征多项式的计算
定理2：设A
aij
,则
nn
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
其中，bj (1) j （A的j阶主子式）
n
特别地， b1 aii , bn (1)n A. i 1
14
矩阵的迹
下的矩阵是 B P1AP.
8
例1
f Hom(C3,C3 )定义为： X (x, y, z)T ,
求f的特征值、特征向量。
x y f (X) x y
2z
9
例2
f Hom(C 22 , C 22 )定义为： X C 22 ,
f
(
X
)
1 1
11 X
求f的特征值、特征向量。
10
特征多项式的计算 定义：假设矩阵 A aij nn ，第1 i1 i2 L ik n
a
a 1 a 1
a , a 0, a 1
a
a
a
23
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A Fnn,C() I A .则C(A) O. 定理4：设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur引理：对 ACnn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
12
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31 a41
a32 a42
a33 a43
a34 a44
a35 a45
a51 a52 a53 a54 a55
性质2：任意矩阵的最小多项式是唯一的 性质3：如果矩阵 A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
定义：（线性变换的最小多项式）
21
定理5
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式，
则m(x) | C(x)，并且，对0 C, m(0) 0 C(0) 0。
22
例6
求下列矩阵的最小多项式：
矩阵的相似标准形
1
矩阵与线性变换
本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一
组基，使得线性变换的矩阵最简单。
2
第一节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵， 0 是数，若存在 n 维
列向量 ，使得 ， 且 A 0
则称 0 是 A 的特征值，
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
特征向量。
4
线性变换的特征值、特征向 量
设 f 是线性空间V 上的线性变换，假设
0 F ， V 。若 f () 0
则称 0 是 f 的特征值，
bbn2 ,
A
H .求A的特征值。
2.r( AB) r( A), r(B);
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
特别地， b1 aii , bn (1)n A. i 1 16
化零多项式
设f (x)是多项式。若f (A) O, 则A的特征值均是f (x) 0的根.
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
7
定理1
若A, BCnn是相似的，则I A I B.
注：1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的特征多项式。
特别是,若f Hom(V ,V )在基1,2,L ,s下的矩阵是A,
则f 在新的基
(1'
,
' 2
,
,
' s
)
(1,2 ,
,s )P
主子式。
11
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a233
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
化零多项式
设f (x)是多项式。若f ( A) O,
则A的特征值均是f (x) 0的根.
25
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
n
定义：设A (aij )nn , 称 aii为A的迹，记为tr( A). i 1
命题：若 A
(aij
)
的特征值为
nn
1, 2 ,
, n ,则
n
tr( A) i , i 1
n
A
i 1
i
.
推论：若A, B相似，则tr(A) tr(B), A B.
15
例3
a1
b1
设
aan2 ,
是相应于特征值 0 的特征向量。
5
线性变换的可对角化问题
设V 是 n 维线性空间， f 是线性空间V 上的 线性变换，则存在V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
6
线性变换的特征值、特征向量的计算
设 f 在 V 的 基 1,2 ,L ,n 下 的 矩阵 是 A ， 若 0 F ， V 在基1,2 ,L ,n 下的坐标是 x0 ，则 f () 在基1,2 ,L ,n 下的坐标是 Ax0 。故 f () 0 Ax0 0 x0 ， 即： 是 f 的属于特征值 0 的特征向量
例：已知A2 A.证明： A的特征值只能是0或1。
17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A Fnn,C() I A .则C(A) O. 定理4：设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur引理：对 ACnn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
18
例4
设A
3 3
4 5
.求A1000.
C() 2 2 3
19
例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
20
最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
性质1：若m(x),(x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m(x) | (x).
a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
13
特征多项式的计算
定理2：设A
aij
,则
nn
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
其中，bj (1) j （A的j阶主子式）
n
特别地， b1 aii , bn (1)n A. i 1
14
矩阵的迹
下的矩阵是 B P1AP.
8
例1
f Hom(C3,C3 )定义为： X (x, y, z)T ,
求f的特征值、特征向量。
x y f (X) x y
2z
9
例2
f Hom(C 22 , C 22 )定义为： X C 22 ,
f
(
X
)
1 1
11 X
求f的特征值、特征向量。
10
特征多项式的计算 定义：假设矩阵 A aij nn ，第1 i1 i2 L ik n
a
a 1 a 1
a , a 0, a 1
a
a
a
23
第二节 Hamilton-Cayley定理
定理3：设A Fnn,C() I A .则C(A) O. 定理4：设f Hom(V ,V ),C()是f 的特征多项式，则C( f ) O.
Schur引理：对 ACnn , 存在酉矩阵 U使得U H AU是上三角矩阵。
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
12
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31 a41
a32 a42
a33 a43
a34 a44
a35 a45
a51 a52 a53 a54 a55
性质2：任意矩阵的最小多项式是唯一的 性质3：如果矩阵 A, B相似，则A, B有相同的最小多项式。
定义：（线性变换的最小多项式）
21
定理5
设m( x), C ( x)分别是矩阵A的最小多项式和特征多项式，
则m(x) | C(x)，并且，对0 C, m(0) 0 C(0) 0。
22
例6
求下列矩阵的最小多项式：
矩阵的相似标准形
1
矩阵与线性变换
本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一
组基，使得线性变换的矩阵最简单。
2
第一节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵， 0 是数，若存在 n 维
列向量 ，使得 ， 且 A 0
则称 0 是 A 的特征值，
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
特征向量。
4
线性变换的特征值、特征向 量
设 f 是线性空间V 上的线性变换，假设
0 F ， V 。若 f () 0
则称 0 是 f 的特征值，
bbn2 ,
A
H .求A的特征值。
2.r( AB) r( A), r(B);
I A n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
特别地， b1 aii , bn (1)n A. i 1 16
化零多项式
设f (x)是多项式。若f (A) O, 则A的特征值均是f (x) 0的根.
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
7
定理1
若A, BCnn是相似的，则I A I B.
注：1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的特征多项式。
特别是,若f Hom(V ,V )在基1,2,L ,s下的矩阵是A,
则f 在新的基
(1'
,
' 2
,
,
' s
)
(1,2 ,
,s )P