应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
矩阵的相似标准形
而
A (1)n A
A 12 n .
从定理可以看出, 若A的特征值有一个为零, 则|A|=0. 反之亦成立.
推论 矩阵A可逆A的特征值全不为零.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为
1 1 ,1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 ,1 2 ,1 n 有意义.
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解： 特征方程
1 2 2
E B 2 1 2 ( 1)2( 5) 0
2 2 1
B的特征值为 1= 2= 1, 3=5. 对二重特征值 = 1，解方程组(EB)x=0,
1 0 2
所以A的特征值为 1=2, 2= 3=1.
对1=2, 解齐次方程组 (2EA)x=0,
3 x1 x2 0 即 4x1 x2 0 一般解为
x1 取基础解系
0
x
0 0,
1
x1 0
x2
0
x3 x3
得A的属于λ1=2的全部特征向量为 k(0, 0, 1) (k 0).
注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
2. 有关特征值的几个定理
定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值. 证明: 设A∽B, 则存在可逆矩阵P, 使得
B=P-1AP.
因此 E B P 1(E)P P 1 AP P 1(E A)P E A.
的特征向量.
问题：对任何方阵A, 是否有特征值呢? A有 特征值时，如何求出它的全部特征值和全部 特征向量呢?
相似矩阵的基本知识点
相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。
定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。
我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。
相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。
2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。
传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。
这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。
但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。
由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。
2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
第二章第二章矩阵的相似及应用矩阵的相似及应用
x1 x2 = ( α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ Μ x n
x1 x2 λξ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ x n
T ξ = λξ
T(α1,α2 ,Λ ,αn )x = λ(α1,α2 ,Λ ,αn )x
(α1,α2 ,Λ ,αn )Ax= (α1,α2,Λ ,αn )λx
,α
n
x1 x2 其中 x = Μ x 坐标。 n
x1 x2 ( A λ I ) Μ x n
= 0
(2.1.4)
是特征向量 ξ 在基
s 下的
（2.1.4）有非零解 x 的充分必要 条件是：
( λ ) = det( λ I A ) = 0
定义2.1.2 λ I A 为矩阵 A 的特征矩阵，
T
酉矩阵 U ，使得 u1是它的第1列量。
定理 2.1.6
（Schur定理) A 设 n 为
阶方阵，λ1 ,λ 2 ,Λ , λn 是 A 的特征值，不论 它们是实数还是复数，总存在相似酉矩 阵 U 使得
A = UTU H ,
其中
T
为三角矩
λ 阵，对角线上的元素1 ,λ 2 ,Λ , λn
是
.
推论 1
x1 x1 x2 x2 (α 1 , α 2 , Λ , α n )Ａ = (α 1 , α 2 , Λ , α n )λ Μ Μ x x n n （２ １ . ３） .
（2.1.3）成立可以等价于 α 1 , α 2 , Λ
ξj 在变换
T 下满足：
Tξ j = λ jξ j
定义2.1.1 ξ ≠ 0 是线性空间 V 中的 向量，如果对于线性变换
Tξ = λξ λ ∈Ｐ
两矩阵相似的充分必要条件
两矩阵相似的充分必要条件1. 嘿，你知道吗，两矩阵相似的充分必要条件之一就是它们有相同的特征多项式啊！就像两个小伙伴，有一样的性格特点一样。
比如矩阵 A 和矩阵 B，它们的特征多项式一模一样，那它们就是相似的呀！2. 哇哦，要是两个矩阵的秩相等，这也是它们相似的一个重要条件呢！这就好像比赛中两个人处在同一水平线上，矩阵 A 和矩阵 B 的秩一样，那它们很可能是相似的哟！3. 嘿呀，两矩阵的行列式值之比为常数，这也能说明它们相似呀！好比是两个物品的价值比例固定，矩阵 C 和矩阵 D 就是这样，那它们不就相似了嘛！4. 哎呀呀，若存在可逆矩阵 P，使得一个矩阵能通过 P 变换成另一个矩阵，这就是相似的标志呀！就如同一个人经过某种神奇的转变变成了另一个样子，矩阵 E 和矩阵 F 就是这样神奇地相似啦！5. 嘿，两矩阵的特征值完全相同，这可是相似的关键哦！就像两个人有着完全一样的喜好，矩阵 G 和矩阵 H 的特征值相同，那它们肯定相似呀！6. 哇，要是两个矩阵对应的元素成比例，这也是相似的条件呢！这就好像是两个相似的图形，矩阵 I 和矩阵 J 的元素有着这样的关系，那它们当然相似咯！7. 哎呀，两矩阵的迹相同也能说明它们相似呢！就跟两个人走过的路程一样长似的，矩阵 K 和矩阵 L 的迹一样，不就相似了嘛！8. 嘿哟，若两个矩阵的不变因子相同，那它们就是相似的呀！这就好像是两件东西有着相同的本质特征，矩阵 M 和矩阵 N 就是这样呢！9. 哇塞，两矩阵的初等因子相同也是相似的必要条件哦！就仿佛是两首歌有着相同的旋律，矩阵 O 和矩阵 P 的初等因子相同，那它们就是相似的呀！10. 嘿，你想想，两矩阵要是满足了这些条件，它们不相似都难呀！这就像是拼图的碎片找到了对应的位置，一切都那么刚刚好！所以呀，这些条件真的很重要呢！我的观点结论：两矩阵相似的充分必要条件有很多，每一个都像是打开相似之门的一把钥匙，只有都满足了，才能确定两矩阵是相似的。
5.11矩阵的相似标准形3
二、性质
A、B为f 在V 的 不同基下的矩阵。
f 在不同基下的矩阵相似，而相似的矩阵具有相
同的特征多项式，故可称
为f 的特征多项式。
n=2时：
n=3时：
n=3时：
一般情况时：
=
补充
证： tr(AB) tr( BA )
证明:(1)
A ,B 为列向量时, (2)特别地，
取 1 = 1 1,1,1 ，由施密特正交化方法：
再令
1 1 1 1 = ， 1 , , 1 3 3 3 2 1 1 2 = ， 2 , , 2 6 6 6
3 1 1 = 3 , ,0 ， 3 2 2
三、化零多项式与最小多项式
一、Schur引理
作业：
2 1 1 1、设 A 4 3 1 , 0 0 2
求A的特征值与特征向量．
2、设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1,
3 2, 设B A3 5 A2, 求 B ; A 5 I .
的多项式函数）;
1 1 当 可逆时， 是 的特征值；并且X 仍是矩阵 A A 4. 的 kA, Am , f A, A1 分别对应于特征值 k , m , f , 1
的特征向量；
§3.2 Schur引理、Hamilton-Cayley定理
一、 Schur引理
二、Hamilton-Cayley定理
1 解得 x1 x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 p1 . 1 故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由 3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 ,即 , 1 3 4 x 2 0 1 1 x 2 0 1 解得x1 x2 , 所以对应的特征向量可取为p2 . 1 故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)
相似矩阵的定义及性质
,
2
则有
P 1 AP
1
1
.
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
13
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
即 A 与 B 相似。
25
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
2 3
1 1,2 2. A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为 A E x 0
系数矩阵
A
E
5 2
5 1
2
0
1
0
1
x1 x2
令x2 1得基础解系:
p1
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
矩阵的相似标准形
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
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a34
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a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
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主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
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a24
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a33 a43
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a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
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例4
设A
3 3
4 5
.求A1000.
C() 2 2 3
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例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
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最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式 称为A的最小多项式.
性质1：若m(x),(x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式， 则m(x) | (x).
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记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
例2.4 求矩阵
的初等因子组.
Hint： - 2, ( - 1)2
cf. Mathematica示例
例2.5 求矩阵
的Smith标准形.
cf. Mathematica示例
14
§2.2－3 初等因子的求法例2.6 求矩阵的初等因子组. 解：由于
分别求的初等因子组，合并即得…
cf. Mathematica示例
例2.10 求矩阵A的Jö rdan标准形的有理标准形，其中
Hint: 把 A写成分块矩阵的形式： 子分别为 i和 – 2, + 1 , + 1.
，则A1, A2的初等因
cf. Mathematica示例
数字矩阵： 元素是数的矩阵
3
§2.1－1
方阵的特征矩阵
1) A有一个 r 级子式不等于零的充分必要条件是r(A) r 关于mn的数字矩阵A的秩 ，有一个重要结论 2) A的所有r+1级子式等于零的充分必要条件是r(A) r 定义2.1 对任意的-矩阵A()K[]mn，如果A()有一个 r 级子式非零，而所有r+1级子式等于零，则称A()的秩 为r，记作 rank A() = r . ( 1 r min{m, n} ) 定义2.2 设 A()K[]nn, 如果| A() | 0, 则称 A()是满 秩的或非奇异的. 定义2.3 设 A()K[]nn，若有B()K[]nn使得 A() B() = B() A() =E , 则称 A() 是可逆的或单模态的.
Sketch of the proof: 不妨设A()非零，设G()是所有与A()等价的 中，(1,1)位置元素次数最低的一个矩阵，则 g11 ()| gij () ( i, j)， 把G()化为准对角形，再用数学归纳法… ( 关键是找G() )
7
§2.1－2 特征矩阵的Smith标准形
对任意方阵 A，它的特征矩阵 E – A是满秩的， 但不是可逆的-矩阵.
5
二、特征矩阵的Smith标准形
-矩阵的三类初等行(列)变换
表示方法：[i,
j], [i(k)], [i + j· )] (标在箭头上方/下方) (
初等矩阵的定义，初等矩阵的基本性质
初等变换与初等矩阵的相互关系
定理2.10 设ACnn，若特征矩阵 A的非常数的不变 因子为 则
A~ C = diag (C1, C2, …, Cs), 其中Ci是 i ()的相伴矩阵. (有理标准形及唯一性)
20
§2.3-3 有理标准形
Jö rdan标准形由初等因子确定；有理标准形由不变因子 确定，因而任何实矩阵都存在有理标准形；在不计有理 块 Ci 顺序的情况下，有理标准形 C由 A唯一确定.
第二章
内容提要：
矩阵的相似标准形 (10学时)
多项式矩阵及其性质；
特征矩阵、特征多项式、特征值、特征向量；
初等变换、等价； Smith标准形、不变因子、行列式因子、初等因子； 零化多项式和最小多项式及其计算方法； 矩阵的相似、矩阵相似的条件； Jö rdan标准形、有理标准形； 正规矩阵及其性质； Hermite矩阵、酉矩阵的酉对角化方法，Hermite二次型 的标准形及分类法.
不变因子与行列式因子的相互关系
行列式因子的唯一性
不变因子的唯一性 Smith标准型的唯一性
9
设
ACnn , A的不变因子与行列式因子即 的...
§2.2－1
行列式因子
例2.2 利用行列式因子求特殊矩阵A()的Smith标准型：
Hint: 先求出 A() 的行列式因子： Dn() = det A() = n + a1 n-1 ++ an-1 + an , 和 Dn-1() = Dn-2() = = D1() = 1, …
定理2.4 对任意 AC mn, 其特征矩阵 A的Smith标准 形S() = diag ( d1(), d2(), …, dn() )中, 所有di()都是非 零多项式. 称di()为 A的第i个不变因子, i = 1, 2, …, n. 例2.1 设 A= 求 A的Smith标准形和不变因子. 提 示 第一步：使左上角元为次数最低者 第二步：化为准对角形 结果： diag (1, -1, ( -1) ( + 2) ) cf. Mathematica程序示例
cf. Mathematica示例
10
§2.2－2 二、初等因子
定义2.7 设d1(), d2(), …, dn()是EA的n个不变因子， 在C上将每个di()分解成一次因式的方幂之乘积： 此处 i=1, 2,…, n, j=1, 2,…, t, kij为非负整数，对应kij>0的 那些因式统称为 的初等因子， 的全部初等因 子称为的初等因子组(相同时重复计数).
结论1 对角形-矩阵的初等因子：分解对角线元素即可 结论2 准对角形-矩阵diag (A1(), A2(), …, Ar() )的初 等因子组即A1(), A2(), …, Ar()的全体初等因子
结论3 若fi(x)都与gj(x)互素( i, j = 1,2 )，则下面矩阵等价
13
§2.2－3 初等因子的求法
1
§2.1 特征矩阵及其Smith标准形
一、方阵的特征矩阵 特征矩阵：
E–A=
, 此处，A=(ai j)nn
特征多项式：f()=| E – A|= n+ a1 n-1 + + an-1 + an 其中，a1= -tr A= -(a11+ a22+ + ann), an=(-1)n |A|
必要性易，充分性很难，参见北大编《高等代数》 pp342-344
例2.7 证明矩阵A与J相似，其中
Hint: A与J的初等因子组均为 – 2，( –1)2---再用Th2.6, Th2.7
16
§2.3 二、Jö rdan标准形
矩阵的等价标准形 (等价类的代表) 之存在唯一性较为简 单，但方阵的相似标准形就复杂了，只能退而求其次.
按上述约定和构造方法，在不计Jö rdan块顺序的情况下， J 唯一确定，称J为A的Jö rdan标准形. Question: 为什么在C中考虑？
定理2.9 ACnn能对角化A的初等因子都是一次的.
18
§2.3-2 Jö rdan标准形
例2.8 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
K[]mn中矩阵的等价关系满足自反性、对称性和传递性
定理2.2 若A()B()，则rank A() = rank B().
6
§2.1－2 特征矩阵的Smith标准形
定义2.5 若n阶对角矩阵 S() = diag (d1(), d2(), …, dn() ) 中，每一个非零的di()都是首1多项式, 且di() |di+1() ， ( i = 1, 2, …, n-1)，则称S()是一个Smith标准形或法对角 形 （-矩阵的标准形）
4
§2.1－1
方阵的特征矩阵
学习-矩阵的基本方法是： 由于-矩阵与数字矩阵在基本概念、基本性质、基 本操作和主要结论等方面有很多的共同点，因而只需了 解它们相同与不同的地方，即求同存异.
定理2.1 (1) 若A()Knn可逆，则 A()非奇异；反之不真. (2) A()Knn可逆的充分必要条件是det A()等于非 零常数c.
8
§2.2 行列式因子与初等因子
一、行列式因子 定义2.6 设 ACnn , 1 k n, 中一切k阶子式的首 一最大公因式称为 的k阶行列式因子，记作Dk ().
由定义知， Dk ()由唯一确定 (1 k n)
定理2.5 初等变换不改变 的各阶行列式因子.
三组因子 的 相互关系 不变因子 行列式因子 初等因子
例2.3 设A为4阶方阵，如果 的初等因子为 , 2, + 1, 求 的Smith标准型.
11
§2.2－2
初等因子