矩阵的标准形
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
第3章 矩阵的标准形1
⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
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定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形在线性代数中，矩阵的等价标准形是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的等价标准形，包括其定义、性质和计算方法。
首先，让我们来看一下矩阵的等价标准形的定义。
矩阵的等价标准形是指对于一个给定的矩阵，经过一系列的行变换和列变换之后，可以得到一个特定的形式，这个形式具有一些特定的性质，比如对角线上的元素都是非零的，并且在对角线以下的元素都是零。
这个特定的形式就是我们所说的等价标准形。
接下来，让我们来讨论一下矩阵的等价标准形的性质。
首先，矩阵的等价标准形是唯一的，也就是说对于一个给定的矩阵，它的等价标准形是确定的，不会因为行变换和列变换的不同而有所改变。
其次，矩阵的等价标准形具有一些特定的性质，比如它的对角线上的元素都是矩阵的特征值，而对角线以下的元素都是零。
这些性质使得等价标准形在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
然后，让我们来看一下矩阵的等价标准形的计算方法。
计算矩阵的等价标准形的方法主要包括两种，一种是使用初等变换，另一种是使用相似矩阵。
使用初等变换来计算矩阵的等价标准形时，我们可以通过一系列的行变换和列变换，将矩阵化为特定的形式。
而使用相似矩阵来计算矩阵的等价标准形时，我们可以通过相似变换，将矩阵化为对角矩阵。
这两种方法各有其适用的场合，可以根据具体的情况选择合适的方法来计算矩阵的等价标准形。
综上所述，矩阵的等价标准形是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
通过对矩阵的等价标准形的定义、性质和计算方法进行深入的探讨，我们可以更好地掌握这一概念，为进一步的研究和应用打下坚实的基础。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，矩阵的标准形是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
本文将介绍矩阵的标准形，包括矩阵的相似性和相似对角化等内容。
矩阵的相似性。
两个矩阵A和B被称为相似的，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。
相似的矩阵具有许多相似的性质，它们有相同的特征值和特征向量。
矩阵的相似性是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析。
矩阵的相似对角化。
如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，即存在可逆矩阵P，使得D=P^(-1)AP，那么我们称矩阵A是相似对角化的。
相似对角化的矩阵具有非常简单的形式，它们可以更容易地进行运算和分析。
相似对角化的矩阵在线性代数和矩阵分析中有着重要的应用，它们可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵的标准形。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵化为特定形式的过程。
常见的矩阵标准形包括，对角形、黎曼标准形、若尔当标准形等。
矩阵的标准形可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质，从而简化矩阵的运算和分析。
不同的标准形对应着不同的矩阵性质，它们在不同的领域有着广泛的应用。
总结。
矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
通过相似变换，我们可以将一个矩阵化为特定的标准形，从而简化矩阵的运算和分析。
矩阵的标准形在数学和工程领域中有着广泛的应用，它们是矩阵理论中的重要内容之一。
希望本文对矩阵的标准形有所帮助，让读者对矩阵理论有更深入的理解和认识。
λ─矩阵的标准形
8.2 λ─矩阵的标准形
二、λ－矩阵的初等矩阵
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1 P (i, j) 1 0 1 1 0 1 i行 j行 1
多项式，且
i i 1
dd ( ) ( ) ( i 1 , 2 ,, r 1 ) .
0
称之 A ( ) 为 的 标准 形.
8.2 λ─矩阵的标准形
证: 经行列调动之后，可使 A ( ) 的左上角元素
a ( ) 0, 若 a 11 ( ) 不能除尽 A ( ) 的全部元素， 1 1
r() B [1 ,i] ( ). ) a 1 1( B ( ) 的左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，
故 B ( ) 为所求的矩阵. ii) 在 A ( ) 的第一行中有一个元素 a 1 i ( )不能被 a 11 ( )
8.2 λ─矩阵的标准形
1i
( ) a 1 1 0
a ) ( 1 ( ) ) a ) i j( 1 j( a ) a )( ) i j( 1 j(
A 1()
矩阵 A1 ( ) 的第一行中，有一个元素：
a ()( 1 () ) a () i j 1 j
B ( ) 即为 A ( ) 的标准形.
8.2 λ─矩阵的标准形
8.2 λ─矩阵的标准形
1 p ( i ( c ))
1
c
1
1
i行
将矩阵化为标准型
将矩阵化为标准型矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
将一个矩阵化为标准型是矩阵理论中的一个重要操作，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
在本文中，我们将介绍如何将一个任意的矩阵化为标准型，以及这一操作的意义和应用。
首先，我们来定义什么是矩阵的标准型。
一个矩阵的标准型是指将其化为一种特殊形式，使得矩阵中的元素在一定的规则下排列，从而更容易进行运算和分析。
通常情况下，我们将一个矩阵化为标准型的过程可以分为以下几个步骤。
第一步，对矩阵进行初等变换。
初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过初等变换，我们可以将矩阵化为简化的形式，为下一步的操作奠定基础。
第二步，将矩阵化为阶梯形。
阶梯形矩阵是一种特殊的形式，其特点是矩阵的每一行的主元（即第一个非零元素）都在前一行的主元的右边，且每一行的主元所在的列都比前一行的主元所在列要大。
通过一系列的初等变换，我们可以将矩阵化为阶梯形，这样可以更方便地进行下一步的操作。
第三步，将矩阵化为最简形。
最简形矩阵是一种更加简化的形式，其特点是除了主元所在的列以外，其他列都是零。
通过一系列的初等变换，我们可以将阶梯形矩阵化为最简形，这样可以更清晰地展现矩阵的性质和结构。
通过以上三步操作，我们就可以将一个任意的矩阵化为标准型。
这种标准型的形式不仅更容易进行运算和分析，而且可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构，为后续的研究和应用奠定基础。
将矩阵化为标准型在实际应用中有着广泛的意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行运算和分析，而标准型的形式可以使这些操作更加简便和直观。
在工程领域，矩阵的标准型也可以帮助工程师更好地理解和设计复杂的系统和结构。
在物理学中，矩阵的标准型可以帮助物理学家更好地理解和描述物理现象和规律。
总之，将矩阵化为标准型是矩阵理论中的一个重要操作，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
什么是标准形矩阵
什么是标准形矩阵
首先，让我们来看一下标准形矩阵的定义。
标准形矩阵是指一个矩阵经过一系
列的行变换和列变换之后，可以化为一种特定的标准形式。
这种标准形式通常具有一些简单的性质，比如对角矩阵或者上三角矩阵。
通过这种变换，我们可以更好地理解和分析矩阵的性质，简化计算过程，以及解决一些实际问题。
其次，让我们来讨论一下标准形矩阵的性质。
标准形矩阵具有一些特定的性质，比如对角矩阵的特征值就是对角线上的元素，上三角矩阵的特征值也具有一些特定的性质。
这些性质使得标准形矩阵在矩阵理论和矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程，方便理论分析，以及解决一些实际问题。
最后，让我们来谈一下标准形矩阵的应用。
标准形矩阵在线性代数、矩阵理论、以及工程数学中有着广泛的应用。
比如在矩阵的对角化过程中，我们需要将一个矩阵化为对角矩阵，这就是一个标准形矩阵的应用。
另外，在控制理论、信号处理、以及优化问题中，标准形矩阵也有着重要的应用，可以简化问题的分析和求解过程。
总之，标准形矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有一些特定的性质和特征，通过一系列的行变换和列变换可以将矩阵化为一种特定的标准形式。
标准形矩阵在矩阵理论和矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程，方便理论分析，以及解决一些实际问题。
它在线性代数、矩阵理论、以及工程数学中有着广泛的应用，对于深入理解和应用矩阵理论有着重要的意义。
希望本文对于读者能够有所帮助，对标准形矩阵有更深入的理解和应用。
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小结与习题
§2 λ－矩阵的标准形
§4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准
形的理论推导
一、 λ－矩阵的概念 二、 λ－矩阵的秩 三、 可逆λ－矩阵
一、λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域， 是一个文字，P[]是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[] 的元素，则
称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
注：
① P P[ ], ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是 ―矩阵.
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，
其定义与运算规律与数字矩阵相同.
③ 对于 n n 的 ―矩阵，同样有行列式 | A( ) |, 它是一个 的多项式，且有
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
而所有 r 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称
A( ) 的秩为r .
零矩阵的秩规定为0.
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
三、可逆λ－矩阵
Байду номын сангаас定义：
一个n n 的 ―矩阵 A( ) 称为可逆的，如果有一 一个 n n的 ―矩阵 B( )，使
A( )B( ) B( )A( ) E
这里E是n级单位矩阵.
A( ) , B( ) 都是零次多项式，即为非零常数.
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
“ ” 设 A( ) d 是一个非零常数. A( ) 为A( )的伴随矩阵，则
A( ) 1 A( ) 1 A( )A( ) E
d
d
A( ) 可逆.
注意:
A1( ) 1 A( ).
d
λ－矩阵的秩为 n 与其可逆不是充分必要条件.
称 B( ) 为 A( ) 的逆矩阵(它是唯一的)，记作 A1( ).
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
判定：
（定理1） 一个 n n 的 ―矩阵 A( )可逆 A( ) 是一个非零常数.
证: “ ” 若A( )可逆，则有 B( )，使 A( )B( ) E
两边取行列式，得
A( )B( ) A( ) B( ) E 1
| A( )B( ) || A( ) || B() | . 这里 A( ), B( ) 为同级 ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念. ―矩阵的各级子式是 的多项式.
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
二、λ－矩阵的秩
定义：
若 ―矩阵 A( ) 中有一个 r(r 1)级子式不为零，