矩阵的相似标准形
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5.4 对称矩阵的相似矩阵
由 于 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
矩阵的相似标准形
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感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P， 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)， 并求出其全部根，即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di，并将矩阵A与Di进行初 等行变换，得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换，得到一个最简形 式的矩阵C，则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化，得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
5.11矩阵的相似标准形3
二、性质
A、B为f 在V 的 不同基下的矩阵。
f 在不同基下的矩阵相似，而相似的矩阵具有相
同的特征多项式，故可称
为f 的特征多项式。
n=2时：
n=3时：
n=3时：
一般情况时：
=
补充
证： tr(AB) tr( BA )
证明:(1)
A ,B 为列向量时, (2)特别地，
取 1 = 1 1,1,1 ，由施密特正交化方法：
再令
1 1 1 1 = ， 1 , , 1 3 3 3 2 1 1 2 = ， 2 , , 2 6 6 6
3 1 1 = 3 , ,0 ， 3 2 2
三、化零多项式与最小多项式
一、Schur引理
作业：
2 1 1 1、设 A 4 3 1 , 0 0 2
求A的特征值与特征向量．
2、设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1,
3 2, 设B A3 5 A2, 求 B ; A 5 I .
的多项式函数）;
1 1 当 可逆时， 是 的特征值；并且X 仍是矩阵 A A 4. 的 kA, Am , f A, A1 分别对应于特征值 k , m , f , 1
的特征向量；
§3.2 Schur引理、Hamilton-Cayley定理
一、 Schur引理
二、Hamilton-Cayley定理
1 解得 x1 x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 p1 . 1 故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由 3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 ,即 , 1 3 4 x 2 0 1 1 x 2 0 1 解得x1 x2 , 所以对应的特征向量可取为p2 . 1 故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)
矩阵标准形
• 2.1 特征阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵：对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n，行列式、子式、伴随矩 阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同，而以下概念有所不同。 1）多项式矩阵A(λ)的秩：A(λ)中有一个r阶子式（r≤min{m,n}）为非零多项 式（不恒为0），而一切r+1阶子式为0，则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2）非奇异方阵（满秩的）：A为n阶方阵，detA(λ)不恒为0，即 rankA(λ)=n，显然，对于n阶方阵特征矩阵λE－A的秩为n，显然特征矩阵时 满秩的。 3）可逆矩阵：A(λ)为n阶方阵，若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E， A(λ)为可逆的（单模态的）。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1）必要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆，则A(λ)必非奇异(满秩)； 2）充要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
设n阶方阵a是hermite矩阵则有iiiiii都是实数即的主对角元素axax相应有正交即不同特征值的特征向量对应于axax对任意矩阵hermite矩阵与正规矩阵的关系的特征值为实数为正规矩阵且矩阵的充分必要条件为征值为实数前面已证矩阵为正规矩阵且特
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义：对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n，λ∈C，则A的特征矩阵 为λE－A，即 a11 a11 a1n
• ④矩阵可对角化的另一充要条件：λE－A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用：可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE－A的初等因子 组。
第四章 矩阵的标准型
2t t 2t t
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
最后，由可逆线性变换 x = P y 得原方程组的解 最后，
x1 = c2e + c3 t e t t x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 1 2 3 3
P AP = J
Jordan分解 或者 A 有Jordan分解
−1
A = P JP
−1
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
二、 Jordan标准型的一种简易求法 标准型的一种简易求法
的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起， 把 A 的同一个特征值的若干个 块排列在一起， 就得到Jordan标准型 就得到 标准型
为 mi 阶Jordan 块。
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
定理 2
A ∈ C 。如果 A 的特征多项式可 分解因式为 ϕ ( λ ) = (λ − λ ) m 1 L (λ − λ ) m s 1 s
设
n× n
( m1 + m2 + L + ms = n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J 可经过相似变换 相似变换化成唯一的 标准型 (不计 不计Jordan块的排列次序 ，即存在可逆矩阵 称为 块的排列次序)， 不计 块的排列次序 即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵 Jordan变换矩阵 P ∈ C n×n 变换i@） ）
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即 解得
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
最后，由可逆线性变换 x = P y 得原方程组的解 最后，
x1 = c2e + c3 t e t t x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 1 2 3 3
P AP = J
Jordan分解 或者 A 有Jordan分解
−1
A = P JP
−1
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
二、 Jordan标准型的一种简易求法 标准型的一种简易求法
的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起， 把 A 的同一个特征值的若干个 块排列在一起， 就得到Jordan标准型 就得到 标准型
为 mi 阶Jordan 块。
李继根（ 数学系 李继根（jgli@） ）
定理 2
A ∈ C 。如果 A 的特征多项式可 分解因式为 ϕ ( λ ) = (λ − λ ) m 1 L (λ − λ ) m s 1 s
设
n× n
( m1 + m2 + L + ms = n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J 可经过相似变换 相似变换化成唯一的 标准型 (不计 不计Jordan块的排列次序 ，即存在可逆矩阵 称为 块的排列次序)， 不计 块的排列次序 即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵 Jordan变换矩阵 P ∈ C n×n 变换i@） ）
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即 解得
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
高等代数-相似标准型
多项式矩阵与矩阵多项式_2
矩阵的运算: 相等: 加法: 数乘: 乘法运算: 行列式: 伴随矩阵:
例子
注1:
为s次矩阵多项式, 其行列式也可能为0
或常数.
例3:
注2: 例4:
分别为s, t次矩阵多项式, 但 也可能为0.
矩阵的初等变换与初等矩阵_1
定义: 对 矩阵 行初等变换
(1) 互换变换: 将
矩阵的法式_1
引理设 这里
则 且
注
即 的最大公因式.
矩阵的法式_2
定理设 是m×n 阶 矩阵, 则这里
是
首项系数为1的多项式, 且
矩阵的法式_3
注1 上面矩阵称为
的法式.
注2 r 称为
的秩.
注3
推不出 可逆.
注4
可逆
的法式为I
相抵于I.
矩阵的法式_4
推论1:任一n 阶可逆 矩阵可表为有限个初
问A是几阶矩阵? 求A的不变因子组.
初等因子_4
定理:设A , B∈Kn×n , 则A相似于B 有相同的初等因子组 .
复习
初等因子_5
引理: 若
则
引理: 若
,则
引理:若
,且
则 与 相抵.
初等因子_6
定理:设C上方阵A经过 列对角矩阵
初等变换化为下
其中 是首项系数为1的非零多项式. 将 在C[x]上分解为互不相同的一次因式方幂的 乘积 , 则所有这些一次因式的方幂(相同的按 出现次数计算)就是A的全部初等因子 .
最小多项式mA(λ)=最后一个不变因子
Jordan标准型_1
引理: r 阶矩阵
的初等因子组为(λ- λ0)r .
Jordan标准型_2
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关于i的j阶若当块的个数是
b j i rj1 i 2rj i rj1 i .
写出J .
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4.2 Jordan标准形的求法
波尔曼法 求Jordan标准形的
例4.4
设A
Байду номын сангаас
1 1
2 0
6 3,
1
1
4
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4.2 Jordan标准形的求法
秩 ， 称为A 的
记作 rankA r.
规定：零矩阵的秩为零.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
定义 设A是n阶 - 矩阵，若存在 - 矩阵
B , 使
AB BA In,
则称A 为 可逆的λ- 矩阵 逆矩阵 B 为A 的
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
d1 D1 ,
d2
D2 D1
,
d3
D3 D2
,
,
dr
Dr Dr1
不变因子 为A的
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
例3.1 求
A
0
a
0
的不变因子.
b
a
0
0 b
b 0
a
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
J 0 1
0 1
m
1
0
mm
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4 Jordan标准形 1.4.1 矩阵的Jordan标准形
0 1
0 1
只有一个初等因子 0 m.
1
0
mm
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4 Jordan标准形 1.4.1 矩阵的Jordan标准形
J m1 1
若已知A 的秩为r, 且
f1
A
f2
fr
,
0
0
fi 首系为1，则由fi 的因式的方幂构成A 的初等因子组.
例3.3 求
3 1
A
2 1
的不变因子及标准形.
若
A1
A
O
A2
O ,
Ak
则Ai 的初等因子组全体即A 的初等因子组.
1.3不变因子与初等因子 1.3.2 初等因子
k1k2 kn是1,2, , n的一个全排列
1.1 相似矩阵 1.1.3 相似不变量
定义 设函数f定义在矩阵集合M上,
若A, B M, A ~ B,有f A f B, 则称
f为
例1.4 设A ~ B,则 1 A B ; 2 I A I B ; 3 trA trB.
第一专题：矩阵的相似标准形
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
定义 设 - 矩阵的秩为r, 1 k r,
称
A 中所 有k阶子 式的
首项系数为1的 最大公因式
为 A 的k阶行列式因子.
记作 Dk .
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.3 不变因子
定义 设 - 矩阵的秩为r, 称
例3.2 设A 的标准形是
1
1
2 2 -1
3 23 - 1
0
求A 的初等因子组.
1.3不变因子与初等因子 1.3.2 初等因子
例3.2 设A是6阶 - 矩阵, 秩为5,
初等因子组为
, 2, 3, 2, 23, 1, 1,
求其不变因子.
行列式因子
不变因子
初等因子（组）
对A的每一个特征值,几何重数 代数重数
第一专题：矩阵的相似标准形
1.1.2 矩阵可对角化条件
例1.2 设
求A100.
4 6 0 A 3 5 0
3 6 1
1.1.2 矩阵可对角化条件
1
A
0
2
0 1
~
n 0
2
0
B
n
?1 k1 , 1 k2 , , 1 kn .
a 0 a 1 0 a 1 0
A 0 a , B 0 a 1,C 0 a 1.
0
0
a
0
a
0
0
a
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
求Jordan标准形的初等因子法
定理
任一个n阶方阵必与一个Jordan 标准形相似.
推论
方阵A可对角化
A的初等因子全为一次因式.
自反性：A ~ A;
对称性：若A ~ B,则B ~ A; 传递性：若A ~ B, B ~ C,则A ~ C.
矩阵的相似是一种等价关系
第一专题：矩阵的相似标准形
1.1 相似矩阵 1.1.2 矩阵可对角化条件
n阶矩阵A没有重特征值 n阶矩阵A是对称矩阵
n阶方阵A相似于对角阵 A有n个线性无关的特征向量
定理 n阶 - 矩阵Aλ可逆的充要条件是
A d.
其中，d是非零常数.
注
对 矩阵, 可逆 满秩
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.2 λ-矩阵的标准形
λ-矩阵的标准形或法λ-矩阵
d1
d2
D
dr
0
0
di i 1,2, , r首项系数为1；
理解 矩阵及其标准形
理解行列式因子、不变因子、初等因子
熟练掌握求初等因子的方法.
熟练掌握求Jordan标准形的方法
第一专题 矩阵的相似标准形
▲ 相似矩阵
▲ -矩阵及其标准形
▲ 不变因子与初等因子 ▲ Jordan 标准形
1.1 相似矩阵 1.1.1 相似矩阵及其性质
A ~ B 存在可逆矩阵P, 使B P 1 AP
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
设fij 是未定元的多项式，则
矩阵
f11 f21
fm1
f12 f22
fm2
f1n f2n
f
mn
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
定义 - 矩阵A中不为零的子式的最高阶数r
定理 若A B ,则A 与B
有相同的行列式因子和不变因子.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
定理 若 A的标准形是
d1
d2
dr
0
0
则d1, d2, ,dr 恰为A的r个不变因子.
第一专题：矩阵的相似标准形
若A B,则A与B有相同的行列式因子和不变因子.
任意特征值k重,有n rI A k.
② n阶 矩阵A 可逆的充要条件是A 0.
2.
设
矩阵A
的标准
形是
① rankA ?
② A 是多少次的多项式？
1
，问
2
13
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.2 λ-矩阵的标准形
例2.2 设n阶 - 矩阵A 可逆， 问A 的标准形是什么？
求Jordan标准形的初等因子法
例4.4 设A为元素均为1的4阶方阵，
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
波尔曼法 求Jordan标准形的
设A是n阶方阵，
求特征值i i 1,2, , n.
求rj i ri I Aj , j 1,2, , n. 若rj0 i rj0 1i ,则rj i rj0 i , j j0 .
设A
1 3
1 3
2 6 ,
2 2 4
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
求Jordan标准形的初等因子法
例4.3
设A
1 4
1 3
0 0,
1
0
2
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
若 A的标准形是
d1
d2
dr
0
0
则d1, d2, ,dr 恰为A的r个不变因子.
A B A 与B 有相同的行列式因子和不变因子.
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
例3.1 求
3 1
A
2 1
的不变因子及标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.2 初等因子
思考题
1.
设A
1 1
1 1
1 1,
1 1 1
求A的Jordan标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
思考题
2. 设A是非零n阶方阵,
对任意常数k,有rkI A rkI A2 ,
试证A相似于对角形.
第一专题：矩阵的相似标准形
第三次课
教学对象
第二专题 通信与信息系统、模式识别与智能系统专业研究生 矩阵函教数学与目的范、要数求理论
(1) 将女性人口按年龄等间隔地分为n个年龄组. (2) 设第i个年龄组的生育率为bi , 存活率为ai , 且 ai和bi均为常数, an 0. (3) 设第k个时间间隔第i年龄组人数为xi(k).
例3. 遗传学中马尔可夫链模型
优优 劣劣 优混
劣优劣
混混
混劣
优
混 混 优 混 劣混
劣
优劣
1
1 11 1 11
J m2 2