矩阵的标准型
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
什么是标准形矩阵
什么是标准形矩阵标准形矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的运算和应用中具有重要的作用。
标准形矩阵是指具有特定形式的矩阵，它具有一些特殊的性质和结构，对于矩阵的分析和运算有着重要的意义。
首先，标准形矩阵是指一个矩阵可以通过一系列的相似变换，变换成一个特定的形式。
这个特定的形式通常是对角矩阵或者上三角矩阵，这样的矩阵具有简单的结构和性质，更容易进行运算和分析。
对角矩阵是指除了对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵，而上三角矩阵是指主对角线以下的元素都为零的矩阵。
通过相似变换，原矩阵可以变换成这样的标准形矩阵，从而更方便进行矩阵的运算和分析。
其次，标准形矩阵的存在和性质对于矩阵的理论和应用具有重要的意义。
通过相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵变换成标准形矩阵，从而简化矩阵的运算和分析。
在线性代数和矩阵论中，标准形矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质，为矩阵的应用提供了重要的理论基础。
同时，标准形矩阵也为矩阵的对角化和特征值分解提供了重要的工具和方法，这些在科学计算和工程应用中具有广泛的应用。
最后，标准形矩阵的计算和性质是线性代数和矩阵论中的重要内容，它涉及到矩阵的相似变换、对角化、特征值分解等重要概念和方法。
通过对标准形矩阵的研究和应用，我们可以更好地理解和运用矩阵理论，为科学计算和工程技术提供重要的支持。
因此，标准形矩阵在数学理论和实际应用中具有重要的地位和作用。
总之，标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它具有重要的理论和应用价值。
通过对标准形矩阵的研究和应用，我们可以更好地理解和运用矩阵理论，为科学计算和工程技术提供重要的支持。
标准形矩阵的存在和性质对于矩阵的理论和应用具有重要的意义，它为矩阵的运算和分析提供了重要的工具和方法。
因此，标准形矩阵在数学理论和实际应用中具有重要的地位和作用。
第3章 矩阵的标准形1
⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
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定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
矩阵分析简明教程
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
矩阵的等价标准型
矩阵的等价标准型矩阵的等价标准型是指将任意一个矩阵通过一系列的行变换和列变换转化为一种特殊形式的矩阵，这种形式具有一定的规则和性质。
在代数学和线性代数中，矩阵的等价标准型通常有很多种形式，比如行最简形，列最简形，对角形等等。
下面我们将通过介绍这些形式以及相关的规则和性质，来详细解释矩阵的等价标准型。
一、行最简形行最简形是将一个矩阵经过一系列行变换转化为一个特殊形式的矩阵，这个形式具有以下特点：1. 在矩阵的每一行中，第一个非零元素（或称为主元素）之后的所有元素都为0；2. 每个主元素（非零元素）所在的列，除了主元素所在的行外，都为0。
行最简形的求解方法通常采用高斯消元法，通过与消去矩阵的上三角形部分进行相应的行变换，使得每一行的主元素都在该行的左侧，从而得到行最简形。
二、列最简形列最简形是将一个矩阵经过一系列列变换转化为一个特殊形式的矩阵，这个形式具有以下特点：1. 在矩阵的每一列中，第一个非零元素（或称为主元素）之上的所有元素都为0；2. 每个主元素（非零元素）所在的行，除了主元素所在的列外，都为0。
列最简形的求解方法与行最简形类似，也是通过高斯消元法中的列消去矩阵的上三角形部分进行相应的列变换，使得每一列的主元素都在该列的上方，从而得到列最简形。
三、对角形对角形是指一个矩阵通过一系列行变换和列变换转化成一个对角矩阵的形式，对角矩阵的特点是除了主对角线上的元素外，其它元素都为0。
对角形的等价标准型主要有以下几种：1. 主对角线上的元素按照非递增顺序排列；2. 主对角线上的元素按照非递增顺序排列，且每个非零元素都为1；3. 主对角线上的元素全部为1。
求解矩阵的对角形通常采用相似变换的方法，利用矩阵的特征值和特征向量的性质，通过相似变换将原矩阵转化为对角矩阵。
在矩阵的等价变换过程中，有几个重要的规则和性质值得注意：1. 行变换和列变换是等价的，即通过一系列的行变换可以得到的最简形与通过一系列的列变换可以得到的最简形是相同的；2. 行变换和列变换都不改变矩阵的秩；3. 矩阵的行最简形和列最简形可以同时存在，但不唯一；4. 矩阵的对角形不一定唯一，但主对角线上的元素是唯一确定的。
矩阵的标准形
矩阵的标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，矩阵的标准形是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
本文将介绍矩阵的标准形，包括矩阵的相似性和相似对角化等内容。
矩阵的相似性。
两个矩阵A和B被称为相似的，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P^(-1)AP。
相似的矩阵具有许多相似的性质，它们有相同的特征值和特征向量。
矩阵的相似性是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析。
矩阵的相似对角化。
如果一个矩阵A相似于对角矩阵D，即存在可逆矩阵P，使得D=P^(-1)AP，那么我们称矩阵A是相似对角化的。
相似对角化的矩阵具有非常简单的形式，它们可以更容易地进行运算和分析。
相似对角化的矩阵在线性代数和矩阵分析中有着重要的应用，它们可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵的标准形。
矩阵的标准形是指通过相似变换将一个矩阵化为特定形式的过程。
常见的矩阵标准形包括，对角形、黎曼标准形、若尔当标准形等。
矩阵的标准形可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质，从而简化矩阵的运算和分析。
不同的标准形对应着不同的矩阵性质，它们在不同的领域有着广泛的应用。
总结。
矩阵的标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
通过相似变换，我们可以将一个矩阵化为特定的标准形，从而简化矩阵的运算和分析。
矩阵的标准形在数学和工程领域中有着广泛的应用，它们是矩阵理论中的重要内容之一。
希望本文对矩阵的标准形有所帮助，让读者对矩阵理论有更深入的理解和认识。
λ─矩阵的标准形
8.2 λ─矩阵的标准形
二、λ－矩阵的初等矩阵
定义：
将单位矩阵进行一次 ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 ―矩阵的初等矩阵.
注： ① 全部初等矩阵有三类：
1 P (i, j) 1 0 1 1 0 1 i行 j行 1
多项式，且
i i 1
dd ( ) ( ) ( i 1 , 2 ,, r 1 ) .
0
称之 A ( ) 为 的 标准 形.
8.2 λ─矩阵的标准形
证: 经行列调动之后，可使 A ( ) 的左上角元素
a ( ) 0, 若 a 11 ( ) 不能除尽 A ( ) 的全部元素， 1 1
r() B [1 ,i] ( ). ) a 1 1( B ( ) 的左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，
故 B ( ) 为所求的矩阵. ii) 在 A ( ) 的第一行中有一个元素 a 1 i ( )不能被 a 11 ( )
8.2 λ─矩阵的标准形
1i
( ) a 1 1 0
a ) ( 1 ( ) ) a ) i j( 1 j( a ) a )( ) i j( 1 j(
A 1()
矩阵 A1 ( ) 的第一行中，有一个元素：
a ()( 1 () ) a () i j 1 j
B ( ) 即为 A ( ) 的标准形.
8.2 λ─矩阵的标准形
8.2 λ─矩阵的标准形
1 p ( i ( c ))
1
c
1
1
i行
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
矩阵等价标准形
矩阵等价标准形矩阵等价是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
在矩阵等价的概念中，等价是指两个矩阵经过一系列的行变换或列变换之后，可以得到相同的矩阵。
而矩阵等价标准形，则是在矩阵等价的基础上，通过一定的规则和方法，将一个矩阵变换成一个特定的标准形式，使得矩阵的性质更加清晰和易于分析。
矩阵等价标准形有多种不同的形式，其中最常见的包括行简化阶梯形、列简化阶梯形和对角线形。
下面将分别介绍这三种矩阵等价标准形的定义和特点。
首先是行简化阶梯形，它是一种特殊的矩阵等价标准形，具有以下特点，矩阵的每一行的第一个非零元素为1，且这些1所在的列的其余元素都为0；如果两行都不全为0，则位于较下的行的1所在的列的位置在位于较上的行的1所在的列的右边。
行简化阶梯形的特点使得矩阵的性质更加明显，可以更轻松地进行运算和分析。
其次是列简化阶梯形，它也是一种常见的矩阵等价标准形。
列简化阶梯形的特点是，矩阵的每一列的第一个非零元素为1，且这些1所在的行的其余元素都为0；如果两列都不全为0，则位于较右的列的1所在的行的位置在位于较左的列的1所在的行的下方。
列简化阶梯形和行简化阶梯形类似，同样可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
最后是对角线形，它是一种特殊的矩阵等价标准形，具有以下特点，矩阵的非零元素只出现在主对角线上，主对角线以下的元素全为0。
对角线形矩阵在很多数学和工程问题中都有重要的应用，因为它具有很多方便的性质和特点。
总的来说，矩阵等价标准形是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
不同的等价标准形具有不同的特点和适用范围，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的等价标准形进行矩阵变换和分析。
通过熟练掌握矩阵等价标准形的相关知识和技巧，我们可以更加高效地解决各种与矩阵相关的问题，为数学和工程领域的发展和应用提供有力的支持。
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（ -matrix and Jordan Canonical Form）
教学目的
➢ 理解矩阵的定义及不变因子 ➢ 掌握用初等变换的方法化矩阵为Smith标准形 ➢ 理解行列因子、初等因子及相关理论 ➢ 掌握求矩阵的Jordan标准形的方法 ➢ 了解Cayley -Hamilton定理
➢ 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵
的对应运算有相同的运算定律。
➢ 数字矩阵行列式的定义也可应用到矩阵，且性质
相同。
➢ n阶矩阵的行列式是的多项式，且满足 |A()B()|=|A() ||B()|
矩阵的秩
定义2 设A() P[] mn，如果A()中有一个r阶子式不 为零，而所有r+1阶子式全为零，称A()的秩为r，记为
例1 求矩阵
1
A( )
2
1
2 1 2
2 1
2
的Smith标准形
解题思路：
经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角 的元素次数逐渐降低，最后降低到可以整除其余所有 的元素。
解:
1 A( )
2 1
2 1 2
2 1
1
[(13(1)] 0
2
1
di+1()=Di+1 ()/Di(), (i=1,2,…r-1)
定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。
定理3 设A(), B() P[] mn，A()与B()相抵的充要条件是
它们有相同的行列式因子，或它们有相同的不变因子。
一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂，但对一些特 殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。
d2()= ,d1()=1
因此A()的Smith标准形为
1 0 0
0
A(
)
0 0 0
0 0
0
( 1)
0
0
(
0
1)(
1)
§4 矩阵相似的条件
定理1 数字方阵A与B相似的充分必要条件是它们的特征
矩阵E-A与E-B相抵。 定义1 n阶数字方阵A的特征矩阵E-A的行列式因子，不
变因子和初等因子分别称为矩阵A的行列式因子，不变因 子和初等因子。
rank(A())=r
➢ 数字矩阵A的特征矩阵I-A是的n次行列式，所以是
满秩的。
矩阵的逆
定义3 设A() P[] mn，如果存在一个n阶矩阵B()使得 A()B() =B() A()=I
则称A()可逆， B()为A()的逆矩阵记作A()-1。 定理1 设A() P[] mn，A()可逆的充要条件是|A() |是非
§3 矩阵的行列式因子和初等因子
定义1 设A() P[] mn，且rank(A())=r，对于正
整数k (1≤k ≤ r),A()中的全部k阶子式的最大公因
式称为A()的k阶行列式因子，记为Dk().
定理1 相抵的矩阵有相同的秩和相同的各阶行列
式因子
例1 求矩阵
(1)
A()
(1)2
的各阶行列式因子。
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相似矩阵有许 多相似不变量：特征多项式、特征值（包括代数重数和几何 重数）、行列式、迹及秩等，并且特征向量也可以借助于可 逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集 合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩阵”当然越简单越好。 对于可对角化矩阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩 阵。但是令人非常遗憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相 似！！！
其中，Ji= Ji(i)是ni阶Jordan块，则
（1）J的初等因子为 (1 )n 1,(2 )n 2,.. .s ()n s,
[32( )]
0
2
0 2
0 0 3
1 0 0
1 0 0
[32( )] 0
0
[3( 1)]
0
0
0
0
3
0
0
3
不变因子： d1()
d2 ( )
d3( )
例2
(1)
A()
(1)2
将其化成Smith标准形。
( 1)
解：
A(
)
( 1 ) 2
( 1)
阵称为Jordan 形矩阵。
Jordan 块Ji的性质
ni 阶Jordan 块Ji的性质：
（1） Ji由有唯一的特征值i （2）特征值i的几何重数为1，代数重数为ni
对应于特征值 i 仅有一个线性无关的特征向量 （3） Ji 有唯一的初等因子 ( i )ni ；
Jordan 块Ji的性质
（4）
2 1 2
2 1
2
1 [31(1)] 0
0
2 1 2
2
1
[21(21)] 0
2
[31( )]
0
0
2 2
0
2
1 0 0
1 0 0
[12(1)] 0 2
[2,3] 0
2
0 2
0 2
1 0 0
1 0 0
[2(1)] 0
2
反过来，如果知道了A()的秩和初等因子，因为A()的秩
确定了不变因子的个数，则同一个一次因式的方幂做成的
初等因子中，方次最高的必在dr()的分解中，方次次高的 必在dr-1()的分解中，如此顺推，可知属于同一一次因式
的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。
例如 如果A()的秩为4，且其初等因子为
定理7 设矩阵
A()B()
C()
为块对角形矩阵，则B()与C()的初等因子的全体是A()的全
部初等因子。 ➢该定理可以推广到n个分块的情形
例4 求
2 0 0
0
A( )
0 0
0
0
0 ( 1)2 1
0 0 2 2
的Smith标准型
解记 那么
A1() 2 , A2()
A3
(
)
例2 求下列矩阵的行列式因子和不变因子
i
A()
1
i
1
1
i
mm
其中i是数域P中的常数。
解 由于A()的一个m-1阶子式
1
i 1
(1)m1
i 1
故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性，有 D1()=D2()=…=Dm-2()=1
而Dm()=(- i)m，因此A()的不变因子为 d1()=d2()=…=dm-1()=1,dm()=(- i)m
§2 矩阵及其在相抵下的标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我们“退 而求其次”，寻找“几乎对角的”矩阵。这就引出 了矩阵在相似下的各种标准型问题，其中Jordan标 准型是最接近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1 或0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算上 以及应用上的许多问题就容易处理了，当然花费也 大了。
( 1)2
2
1 2
A1()
A()
A2()
A3()
因为 A1()的初等因子为 , +1; A2()的初等因子为 , A3()的初等因子为, -1, +1；
由上面的定理可知A()的初等因子为 , , , -1, +1,+1
所以A()的不变因子为
d4()=(-1)(+1),d3()= (+1)
预备知识：
➢若存在多项式h()，使得f() =d() h()， 称d()整除 f()，用d()| f()表示； ➢设f() 与g() 为数域P上的两个一元多项式，若存在 d()满足d()| f()，d()| g()，称d()为f()与g()的公因
式；
➢若f()与g()的任一公因式都是d() 的因式；称d()为 f()与g()的最大公因式，并用（f()，g()）表示f()与 g()的首项系数为1的最大公因式.
1. 矩阵的基本概念
定义1 元素为的多项式的矩阵称为-矩阵，记为A()。 即A()=(aij())mn(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij()是数域P 上的多项式。多项式aij()的最高次数称为A()的次数， 数域P上全体mn的-矩阵记为P[] mn.
注：数字矩阵是-矩阵的特例。 数字矩阵A的特征矩阵I-A是1次-矩阵。
ik
C1 k1 ki ik
C2 k2 ki
C1 k1 ki
ni 1 kni 1
C k i
ni2 kni2
C k i
Jik
Cnini
ik
C1 k1 ki
ik
➢可使用归纳法证明
设Jordan形矩阵
J d i a g ( J 1 ( 1 ) , J 2 ( 2 ) ,, J s ( s ) )
0 e11 e21 er1
0 0
e1 2 e1s
e2 2 e2s
er2 er s
定义2 在不变因子的分解式中，所有指数大于0的因子
( j)eij,eij0 ,i1 ,.r,.j.1 ,2 ,.s..
称为矩阵A()的初等因子。
注：在A()的秩已知的情况下，不变因子和初等因子相互确 定
零常数。
矩阵的初等变换
定义4 初等变换 (1)对换两行（列）； (2)某行（列）乘上非零的常数k；
(3) 某一行(列)的()倍加到另一行，其中()是的多项式
对应三种初等变换，有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k)),P(i,j())
(1)做一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等 矩阵; (2)初等矩阵都是可逆的：
A()=Pl()… P1()B() Q1()Q2()… Qt()
3. 矩阵在相抵下的标准型
定理 对任意一个秩为r的mn 阶-阵A()，都相抵于一个标