矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型是线性代数中一种重要的矩阵标准形式。
在特定的线性代数问题中，通过进行一系列的矩阵转换，可以将一个复杂的矩阵转化为Jordan标准型，从而更方便地研究和处理其性质。
本文将介绍矩阵化Jordan标准型的详细步骤。
第一步：寻找特征值和特征向量要完成矩阵化Jordan标准型的转换，首先需要寻找给定矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，特征值λ可以通过求解方程|A-λI|=0来得到。
然后，对于每个特征值λ，求解方程(A-λI)x=0，得到对应的特征向量x。
第二步：求解Jordan块的大小对于每个特征值λ，我们需要计算其对应的Jordan块的大小。
设矩阵A的特征值λ的代数重数为m，几何重数为r。
根据矩阵理论，λ的Jordan块大小为m个，其中r个Jordan块大小为1，剩余的m-r个Jordan块大小不超过r。
第三步：构造Jordan块对于每个特征值λ，根据其对应的Jordan块大小，我们可以构造出对应的Jordan块。
一个大小为r的Jordan块可以用一个r阶方阵表示，其对角线为特征值λ，上方为1的次对角线。
将所有特征值λ对应的Jordan块按照特征值的顺序拼接起来，得到一个大的Jordan矩阵J。
第四步：寻找相似矩阵现在我们需要找到一个相似矩阵P，使得A=JPJ^-1，其中J是步骤三中构造的Jordan矩阵。
为了找到P，我们需要找到一组线性无关的特征向量v，并通过P=[v1,v2,...,vn]来构造相似矩阵P。
特征向量的选择要满足A−λI)v=0，其中λ是A的特征值。
第五步：求解逆矩阵通过步骤四，我们可以求得相似矩阵P。
接下来，需要求解矩阵P的逆矩阵P^-1。
根据矩阵理论，P的逆矩阵可以通过求解线性方程组P^-1P=I得到。
第六步：矩阵化Jordan标准型最后一步是将给定矩阵A转化为Jordan标准型。
根据矩阵相似性的定义，我们有A=JPJ^-1，即A可以通过矩阵P和J进行表示。
矩阵的Jordan标准型介绍
矩阵的Jordan 标准型介绍——Jordan 标准型是相似意义下零元素最多的矩阵吗？线性代数中的一个核心的结果(见[1,2])是Jordan 标准型定理：任何一个复数域上的方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵1122()((),(),,())J A diag J J J σσλλλ=…，其中11()1i i i i i i J λλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1,2,,i σ=…，i λ为矩阵A 的特征值。
(注意：对i ，可能有j j ≠i λλ=成立)对于Jrodan 块的置换来说，Jordan 标准型是唯一的(见[2])。
由线性代数中的内容已知，所有与A 相似的矩阵都有与A 置换意义下相同的Jordan 标准型。
那么所有与A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有0元素最多的矩阵呢？答案是否定的。
例如：取()J A 0201100001000010A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则，11000100()00110001J A −⎛⎞⎜⎟−⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟A 有11个0元素，却只有10个0元素。
()J A 通过观察我们还能发现，矩阵A 的主对角线元素都为0，而且去掉主对角元素以后A 含有7个0元素，而则仍含有10个0元素，那么我们就要问：所有与()J A A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有非主对角线0元素最多的矩阵呢？答案是肯定的。
文献[3]给出了证明。
()J A参考文献[1]. R.A. Brualdi, The Jordan canonical form: an old proof, Amer. Math. Monthly 94(1987) 257–267.[2].R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,121–127 and 150–153.[3].R. A. Brualdi, P. Pei, X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordancanonical form, Linear Algebra Appl. 429(2008) 2367-2372.。
Jordan标准型
-
初等矩阵都是可逆矩阵，并且有
P (i , j ) P (i , j ), P ( j(k )) P ( j(k )),
1
1
1
P [ j(h( )), i ] P[ j( h( )), i ]
1
定义2.2.3
若
-矩阵 A( ) 经过
有限次初等变换，化成 -矩阵 B( )，
2 1 1 1 2 2 1 1 A 1 2 1 2 0 0 0 3
1 0 A 0 0
关于
－矩阵的三种初
两行（列）互换位置
⑵
⑶
某行（列）乘不等于零的数
用 的多项式 h ( ) 乘某行（列
）并加另一行列上。
三种初等变换对应三个初等矩阵，
P(i, j ), P(i(k )), P[h( ) j, i]
并且，施于行变
换时，相当左乘相应初等矩阵，施 于列变换时，相当右乘相应初等矩 阵，可以证明初等变换不改变 矩阵的秩。
第二讲 Jordan标准型
2.1
-矩阵和初等因子
2.2 行列式因子和初等因子
2.3 Jordan 标准型
2.1
-矩阵和初等因子
引入 -矩阵
a11 ( ) a12 ( ) a21 ( ) a22 ( ) A( ) a ( ) a ( ) n2 n1 a1n ( ) a2 n ( ) ann ( )
（1） 反身性：每一个 -矩阵与自己等 价。 （2） 对称性：若 A( ) 与 B( )等价，则 B( ) 与 A( )等价，这是因为初等变换具有可逆 性。
（3）传递性：若 A( )与 B ( ) 等价， ) B( 与 C ( ) 等价,则 A( )与 C ( ) 等价。
矩阵的对角化与Jordan标准形
第三讲矩阵的对角化与Jordan标准形对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程=时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。
对角化的过程实Ax b际上是一个去耦的过程。
以前我们学习过相似变化对角化。
那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征值与特征向量1. 定义：对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x，使=λ,则称λ为A的特征值，x为A的属于特征值λ的得Ax x特征向量。
∙特征向量不唯一∙特征向量非零∙(I A)x 0λ-=有非零解，则det(I A)0λ-=，称det(I A)λ-为A 的多项式。
[例1]122A 212221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。
[解] 122det(I A)2120221λ---λ-=-λ--=--λ-2(1)(5)0λ+λ-= 121λ=λ=- 35λ=属于特征值1λ=-的特征向量 (I A)x 0--=1232222220222ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ξ=⎢⎥⎢⎥ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1230ξ+ξ+ξ=1122312ξ=ξ⎧⎪ξ=ξ⎨⎪ξ=-ξ-ξ⎩ 可取基础解系为 11x 01⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 20x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦属于5λ=的特征向量 (5I A)x 0-=1234222420224--ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--ξ=⎢⎥⎢⎥--ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 123ξ=ξ=ξ可取基础解系为 31x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 矩阵的迹与行列式nii i 1trA a ==∑ 所有对角元素之和n i i 1det A ==λ∏ ni i 1trA ==λ∑3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则 tr(AB)tr(BA)=（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则m n m n det(I AB)det(I BA)-λ-=λλ-即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型步骤在线性代数中，Jordan标准型是可逆矩阵与相似变换的重要概念之一。
通过将一个矩阵转换为Jordan标准型，我们可以更好地理解线性变换在向量空间中的表现，这对于解析和计算矩阵的特征值和特征向量非常有用。
本文将详细介绍将一个矩阵转换为Jordan标准型的步骤。
步骤1：找到矩阵的特征值。
首先，我们需要找到矩阵的特征值。
一个nxn矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Ax=λx，其中x是非零向量。
为了找到矩阵的特征值，我们需要解决特征方程A-λI =0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
步骤2：找到每个特征值对应的特征向量。
接下来，我们需要找到每个特征值对应的特征向量。
对于每个特征值λ，我们需要解决方程组(A-λI)x=0，其中x是特征向量。
注意，特征向量不为零，因为特征向量的零向量在任何情况下都不是非零向量。
步骤3：计算矩阵的几何重数。
在计算Jordan标准型之前，我们需要计算矩阵的几何重数。
矩阵的几何重数是特定特征值的线性无关特征向量的数量。
在计算几何重数时，我们应该将特征向量进行标准化处理。
步骤4：根据特征值的代数重数创建块。
接下来，我们需要根据每个特征值的代数重数创建Jordan块。
矩阵的代数重数是特征值在特征多项式中的幂的最高次数。
对于每个特征值λ，我们创建一个与特征值的代数重数相对应的Jordan块。
Jordan块是一个形如λI+aJ的方阵，其中λ是特征值，I是单位矩阵，J是Jordan块的大小（有J^r个非零元素的r x r方阵）。
步骤5：将Jordan块连接成一个矩阵。
接下来，我们需要将所有的Jordan块连接成一个矩阵，以得到矩阵的Jordan标准型。
具体而言，我们按照如下的方式将Jordan块排列在一起：⎡J1 ⎡⎡⎡⎡J2 ⎡⎡⎡⎡J3 ⎡这样，我们就得到了一个与原始矩阵具有相同特征值和特征向量的Jordan 标准型矩阵。
步骤6：计算矩阵的Jordan标准型。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化Jordan标准型的步骤如下：
1. 对于给定的矩阵A，计算其特征值λ和对应的特征向量。
2. 将矩阵A对角化，即找到一个可逆矩阵P使得P^-1·A·P得
到一个对角矩阵D，其中对角线上的元素是特征值λ。
3. 对于每个特征值λ，计算其对应的几何重数，即特征值λ对
应的特征向量线性无关的个数。
假设几何重数为k。
4. 对于特征值λ，如果几何重数等于代数重数（特征值λ的代
数重数即λ在特征多项式中出现的次数），则将λ对应的特征向量按列排列形成一个矩阵Ak。
如果几何重数小于代数重数，需要构建一个Jordan块，即由λ和其相关的线性无关向量组成。
5. 将所有特征值λ对应的特征向量矩阵Ak拼接形成一个矩阵P。
6. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^-1。
7. 计算矩阵A的Jordan标准型矩阵J = P^-1·A·P。
需要注意的是，在第4步中构建Jordan块时，需要按照一定
的规则填充向量。
具体规则如下：
- Jordan块的对角线元素为特征值λ；
- 块的数量等于特征值λ的代数重数减去几何重数；
- 每个块的大小等于块所对应的线性无关向量的数量减1。
最后得到的矩阵J即为矩阵A的Jordan标准型矩阵。
矩阵的Jordan标准型及其求解方法
矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。
在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。
一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。
Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。
首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。
其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。
这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。
Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。
例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。
二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。
首先，我们需要计算矩阵的特征值。
特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。
通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。
特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。
接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。
通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。
在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。
这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。
三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。
关于Jordan标准形的教学探讨
关于Jordan标准形的教学探讨Jordan标准形是数学中的一个重要概念，特别在线性代数中扮演了重要的角色。
它是矩阵理论中的一个标准矩阵形式，可以将一个线性变换矩阵简化为一种特殊的形式。
本文将对Jordan标准形进行教学探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及其在矩阵理论和线性代数中的应用。
我们来看Jordan标准形的定义。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP的形式为Jordan方阵，那么A被称为具有Jordan标准形。
具体来说，一个Jordan方阵是由多个Jordan块组成的矩阵，它是一个上三角矩阵，主对角线上的元素是矩阵的特征值，而对角线上方的元素表示Jordan块的大小和结构。
接下来，我们来讨论Jordan标准形的性质。
Jordan标准形是唯一的，也就是说，对于任意一个矩阵A，它都存在唯一一个Jordan标准形。
Jordan标准形对于相似变换是不变的，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的Jordan标准形也是相似的。
Jordan标准形还具有一些其他的重要性质，比如Jordan块的大小等于其特征值的重数，Jordan块的个数等于矩阵A的线性无关的特征向量的个数。
那么，如何计算一个矩阵的Jordan标准形呢？计算Jordan标准形的方法主要有两种，一种是使用线性代数的理论方法，一种是采用计算机的数值算法。
对于小规模的矩阵，理论方法可以直接求解Jordan标准形，但是对于大规模的矩阵，数值算法更加高效和实用。
常用的计算Jordan标准形的数值算法有Givens旋转法、Householder变换法和幂法，它们分别侧重于不同的矩阵计算问题和复杂性。
我们来讨论Jordan标准形在矩阵理论和线性代数中的应用。
Jordan标准形的计算和分析是矩阵理论的核心内容之一，它在矩阵相似性、特征值和特征向量的计算、线性微分方程和差分方程的求解等方面都有广泛的应用。
在实际问题中，Jordan标准形也常常被用来简化线性变换的计算和分析，找到线性变换的规律和性质。
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3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
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10
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
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9
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ；
2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ．
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
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11
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()
dr ()
0
0
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准精形选课，件 称为 Smith 标准形. 12
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
加到第 i 行（列）上．
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8
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
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2
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
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3
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
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定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
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1
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
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6
例 3.1 –矩阵
1
A(
)
2
3
3 2 5
4
，
B(
)
3 2
1
2
中，因为 det A() 4 ， det B( ) 3 2 ，所以
1 2
例 3.2
化
A(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
为
Smith
标准形.
解
1 2 2 2
1 2 A() c 1c 30
1 2
2
1 2 r 3r10
0 0
2
1 0 0
1 0 0
c 2( 2 )c10
c3()c1
0
0
2
c 3c 2 0 c3(1) 0
0
0
( 1)
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13
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
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14
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
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15
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
4
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
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5
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
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7
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，