第3章 矩阵的标准形-2

解：
则 令
矩阵 A 的特征多项式为
f (λ ) = | λ E − A | = λ 3 − 4 λ 2 + 5λ − 2 f ( A) = O ϕ (λ ) = λ 5 − 4λ 4 + 6λ 3 − 6λ 2 + 6λ − 3
可知 ϕ (λ ) = (λ 2 + 1) f (λ ) + λ − 1 因此 ϕ ( A) = ( A 2 + E ) f ( A) + A − E
例3
求矩阵 A 的 最小多项式 m(λ ) ，其中
2 1


A
=

2

1 1

−2 4
解：矩阵 A 的特征多项式
f (λ ) = (λ − 3)(λ − 2) 3 .
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因此 A 的最小多项式仅有下述三种可能 (λ − 3)(λ − 2) (λ − 3)(λ − 2)2 (λ − 3)(λ − 2) 3 .
r(λ) = 0
1
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定理3.3.3 矩阵 A 的最小多项式 m(λ ) 是唯一的。
证：设m1( x), m2( x)都是A的最小多项式. 由带余除法，m1( x)可表成
m1( x) = q( x)m2( x) + r( x) 其中 r( x) = 0 或 ∂(r( x)) < ∂(m2( x)). 于是有 m1( A) = q( A)m2( A) + r( A) = 0

λi
的最小多项式 m(λ ) 。
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解：矩阵 J 的特征多项式 f (λ ) = (λ − λi ) k .
而
( J − λi E )k−1 ≠ 0
故J 的最小多项式为 m(λ ) = (λ − λi ) k .
2
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例 2 求矩阵 A 的 最小多项式 m(λ ) ，其中 1 1 0
A = 0 1 0 0 0 1
解：矩阵 A 的特征多项式 f (λ ) = (λ − 1) 3 .
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因此 A 的最小多项式为 (λ − 1)3 的因式 显然，A − E ≠ 0,而( A − E)2 = 0. 因此 A 的最小多项式为(λ − 1)2 .
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例 4 求下面Jordan矩阵 J 的 最小多项式 mJ (λ )
2


21

J
=


2

21


2 1



2
3
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解：矩阵 J 的特征多项式 f (λ ) = (λ − 2)6.
因此 A 的最小多项式仅有下述六种可能 (λ − 2)i i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
直接计算得， ( A − 3E )( A − 2E ) ≠ 0, ( A − 3E )( A − 2E )2 = 0 因此 A 的最小多项式为(λ − 3)(λ − 2)2 .
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注：（1）准对角阵的特征多项式等于各个子块的 特征多项式的乘积。
（2）准对角阵的最小多项式等于各个子块的最小多 项式的公倍数。
−2 1 0
=
A
−
E
=

−
4
2
0

1 0 1
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二、最小多项式
定义3.3.1 φ( λ)是关于 λ 的多项式。若 φ( A) = 0 则称 φ( λ) 是矩阵 A 的零化多项式。
显然矩阵 A 的特征多项式 f ( λ) =| λE - A | 是矩 阵 A 的一个零化多项式。且零化多项式无最高次 数者，因此我们关心的是次数最低的零化多项式。 定义3.3.2 在矩的最小多项式，记为 m( λ) .
+
aE 0
=
0
由Cayley-Hamilton定理可以简化矩阵计算。
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例 1 求矩阵 A 的矩阵多项式 ϕ ( A)，其中 −1 1 0
A = −4 3 0 , 1 0 2
ϕ( A) = A5 − 4A4 + 6A 3 − 6A 2 + 6A − 3E .
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一、Cayley-Hamilton定理
定理3.3.1 （Cayley-Hamilton定理）
n阶方阵 A 是其特征多项式 f (λ ) 的“根”，即
f ( A) = O
即设f
(λ
)
=
λ
n
+
λ a n−1 n−1
++
a1λ
+
a 0
,
则
f
( A)
=
An
+
an−1 An−1
++
a 1
A
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定理3.3.4 矩阵 A 的最小多项式 m(λ ) 的根必定是 A 的特征值；反之， A 的特征值也必定是 A 的最小多 项式 m(λ ) 的根。
定理3.3.4说明若两矩阵相似，则两矩阵必有相同 的最小多项式，（但最小多项式相同的矩阵不一 定是相似的，P76例3.3.3），同时也得到求最小 多项式的一个方法，即可以从矩阵的特征多项式 中寻找矩阵的最小多项式。




3


3 1

3
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解：矩阵 J 的特征多项式 f (λ ) = (λ − 2)5(λ − 3)3 .
直接计算得， J 的最小多项式为mJ (λ ) = (λ − 2)3(λ − 3)2 .
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设A ∈ C n×n , λ1 , λ 2,, λ s是A的所有互不 相同的特征值，则
4
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矩阵 A 的特征多项式
ϕ (λ )
=
|
λE
−
A|
=
(λ
−
λ
)m1
1
(λ
−
λ
)ms
s
那么 A 的最小多项式必具有如下形式
m(λ )
=
(λ
−
λ
)d1
1
(λ
−
λ
)ds
s
这里 d i≤ mi
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例如 求k级 Jordan块
λi 1


λi 1

J=



1

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定理3.3.2 矩阵 A 的最小多项式 m(λ ) 整除 A 的 任一零化多项式。特别地，m(λ ) 整除 A 的特征多项 式 f (λ ) 。
证明： 若 φ( λ) 为 A 的任意零化多项式，则有
φ( λ) = q(λ)m( λ) + r( λ) 因此 φ( A) = q( A)m( A) + r( A) 由于 φ( A) = m( A) = O 所以 r( A) = O 由于 r( λ) 的次数小于 m( λ)的次数，所以
mA(λ )
=
mJ
(λ )
=
(λ
−
λ
)q1
1
(λ
−
λ
)qs
s
其中qi 是A的特征值λi 对应的Jordan块 的最高阶数. i = 1, 2,, s
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综上有下述定理成立。
定理3.3.5 A ∈ C n×n ，则矩阵 A 的最小多项式为 A 的第 n个不变因子 dn (λ ) 。 定理3.3.6 A ∈ C n×n ，则矩阵 A 可对角化的充要条 件是 A 的最小多项式没有重根。
直接计算得， (J − 2E )3 = 0, (J − 2E )2 ≠ 0, (J − 2E ) ≠ 0 因此 J 的最小多项式为mJ (λ ) = (λ − 2)3 .
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例5
求下面Jordan矩阵 J 的 最小多项式 mJ (λ )
2 1


2


21


J
=

21 2
∴ r( A) = 0
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由最小多项式的定义， r( x) = 0,
即， m2( x) m1( x).
同理可得， m1( x) m2( x).
∴ m1( x) = cm2( x), c ≠ 0 又 m1( x), m2( x)都是首1多项式, 故 m1( x) = m2( x).
∴c =1
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§3、Cayley-Hamilton定理与
矩阵的最小多项式
Jordan标准形的计算复杂，而特征多项式
与之关系密切。由于Cayley和Hamilton 发现矩阵的特征多项式是矩阵的零化多
项式，故类比多项式的带余除法理论，以 适当的零化多项式为商，将矩阵多项式转 化为相应的余式，从而降低多项式的次数， 就成了另一种思路。