第三章矩阵对角化、若当标准型

第三章 矩阵的对角化、若当标准型§3.1 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。

一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ⨯∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。

下面定理1是显然的。

定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。

由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。

定理2 设n n A ⨯∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。

定义2设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。

由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。

定理3 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则rank()i i n n I A αλ=--证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以dim dim ()ii i n V N I A λαλ==-dim ()i n n R I A λ=--rank()i n n I A λ=--例1 求123323001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。

解 123det()32301I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。

1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--2233rank 3331000---⎡⎤⎢⎥=----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--3233rank 3231005--⎡⎤⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理4 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。

证明 因为i α为i λ的几何重复度，所以A 对应于i λ有i α个线性无关的特征向量12,,,i αεεε是特征子空间i V λ的基，将12,,,i αεεε扩充为n C 的基121,,,,,iin ααεεεεε+设121[]iin P ααεεεεε+=，则121[]iin AP A ααεεεεε+=121[,]iii i i n AA ααλελελεεε+=121*[]iiiin iOααλλεεεεελ+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦PB =其中()()i i n n αα-⨯-∆∈C ，*i iiB Oλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦。

所以矩阵A 与B 相似，故特征多项式det()det()n n I A I B λλ-=-()det()i i i n I ααλλλ-=--∆又因为det()()()i m n i I A f λλλλ-=-所以i i m α≤。

二、矩阵的对角化定义3 设n n A ⨯∈C ，若A 与对角阵相似，则称A 可对角化，可对角化的矩阵称为单纯矩阵。

定理5 设n n A ⨯∈C ，则A 为单纯矩阵的充分必要条件是A 的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。

证明 设12,,,σλλλ为A 的全部相异特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，1,2,,i σ=。

充分性 因为1i i m n σ==∑，i i m α=，所以A 有n 个线性无关的特征向量12111222121212,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p σσσσααα 其中12,,,ii iip p p α为i λ对应的特征向量，1,2,,i σ=。

设12111222121212[,,,,,,,,,,,,]P p p p p p p p p p σσσσααα= 则1122diag[,,,,,,,,,]AP P σσλλλλλλ=故11122diag[,,,,,,,,,]A P P σσλλλλλλ-=必要性 设A 与12diag[,,,]n μμμ相似，则12,,,n μμμ是A 的特征值，不妨设1211122diag[,,,,,,,,,]m m m A P P σσσλλλλλλ-=则A 关于特征值i λ至少有i m 个线性无关的特征向量，即i i m α≥，又由定理4：i i m α≤，故得i i m α=，1,2,,i σ=。

由定理5的证明显然有下面的结论。

推论1 设n n A ⨯∈C ，则A 为单纯矩阵的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

推论2 设n n A ⨯∈C ，若A 有n 个不同的特征值，则A 为单纯矩阵。

三、正规阵及其对角化定义4 设()n n n n A ⨯⨯∈C R ，如果H H A A AA =，则称A 为复（实）正规阵。

显然埃尔米特矩阵（对称阵）、反埃尔米特矩阵（反对称阵）和酉矩阵（正交阵）都是复（实）正规阵。

定义5 设,()n n n n A B ⨯⨯∈C R ，若()n n n n U ⨯⨯∃∈U E ，使得H A UBU =（T A UBU =）则称,A B 酉（正交）相似。

引理1（司楚尔（Schur ）引理） 设n n A ⨯∈C ，则n n U ⨯∃∈U ，使得H A URU =，其中R 是上三角阵，且R 的对角线为A 的特征值。

证明 用归纳法 当1n =时，命题显然。

假设n m =时命题成立，要证1n m =+时命题也成立。

设(1)(1)m m A +⨯+∈C ，1λ为A 的特征值，1u 为其对应的特征向量，且1||||1u =。

将1u 扩充为1m +C 的标准正交基121,,,m u u u +记1121[]m U u u u +=，则[]H 1H H 211121H 1m m u uU AU Au Au Au u ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11B OA λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因为1m m A ⨯∈C ，故由假设1m m V ⨯∃∈U ，使得H1111A V RV =，其中1R为上三角阵。

所以1H 11H 111B U AU O V RV λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11H 11111O BV O O V OR O V λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以11H1111111H O BV O A U U O V OR O V λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦记111O U U O V ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，111BV R O R λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则 (1)(1)m m U +⨯+∈U ，且H A URU =其中R 为上三角阵。

因为A 与R 酉相似，故A 与R 有相同的特征值，所以R 的对角线元素为A 的特征值。

推论3 设n n A ⨯∈C ，则n n U ⨯∃∈U ，使得H A URU =，其中R 是 下三角阵，且R 的对角线为A 的特征值。

定理 6 设n n A ⨯∈C ，则A 为正规阵的充分必要条件是n n U ⨯∃∈U ，使得H A U U =Λ，其中12diag[,,,]n λλλΛ=，12,,,n λλλ是A 的特征值。

证明 必要性 由司楚尔引理n n U ⨯∃∈U ，使得H A URU =，111212220n n nn r r r r r R r ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦且R 的对角线为A 的特征值12,,,n λλλ。

因为H H H H HA AU R U U R U U R R U== H H H H H H A A UR U URU UR RU ==所以H H RR R R =， 即1112111222122212000000n n nn nn nn r r r r r r r r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 111112112222221200000n n nnnn nn r r r r r r r r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦比较此式两端即得12diag[,,,]n R λλλ=Λ=。

充分性 H A U U =Λ，故H H A A AA =。

推论4 正规阵是单纯矩阵。

推论5 正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。

证明 由定理6知A 酉相似对角阵，故A 的不同特征值的特征子空间基底正交，故得证。

推论 6 设A 为正规阵，其特征值为12,,,n λλλ，则H A 的特征值为12,,,n λλλ。

证明 因为A 为正规阵，所以n n U ⨯∃∈U ，使得12diag[,,,]H n A U U λλλ=所以12diag[,,,]H H n A U U λλλ=即H A 的特征值为12,,,n λλλ。

推论7 设A 为正规阵，则A 为Hermite 矩阵的充分必要条件是A 的特征值都是实数。

证明 由推论6，若H A A =，则A 的特征值为实数。

反之若A 的特征值为实数，则H A A =。

推论8 设A 为正规阵，则A 为酉矩阵的充分必要条件是A 的特征值|()|1A λ=。

证明 因为A 为正规阵，所以n n U ⨯∃∈U ，使得12diag[,,,]H n A U U λλλ=若H AA I =，则1i i λλ=，即||1i λ=，1,2,,i n =。

反之，若||1i λ=，1,2,,i n =，则H AA I =。

n 阶正规阵A 酉相似于对角阵，求酉矩阵n n U ⨯∈U ，使得12diag[,,,]H n U AU λλλ=的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似，介绍如下。

（1） 求出A 的相异特征值12,,,σλλλ（2） 对A 的每个相异特征值i λ求出其对应的特征子空间的基底12,,,ii iip p p α（即方程()0i I A x λ-=的基础解系），1,2,,i σ=。

（3） 将12,,,ii ii p p p α化为i λ对应的特征子空间标准正交基12,,,ii i iαεεε（用施密特正交化，然后单位化），1,2,,i σ=（4） 取12111222121212[]U σσσσαααεεεεεεεεε=，则1122diag[,,,,,,,,,]H U AU σσλλλλλλ=§3.2 埃尔米特二次型埃尔米特矩阵是实对称阵的推广，而一个实对称阵对应着一个实二次型，相应的我们讨论复（埃尔米特）二次型，这在力学及其它一些工程中有重要的应用。

一、埃尔米特矩阵定理1 设H n n A A ⨯=∈C ，则（1）A 酉相似于对角线上都是A 的特征值的对角阵，且A 的特征值都是实数。