矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型
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矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
Jordan矩阵介绍
矩阵的Jordan 标准形一、矩阵的相似对角化定义1 设A 、B 是两个n 阶方阵，如果存在阶可逆矩阵n P ，使得 B AP P =−1则称B 相似于A ，记为B A ~，可逆矩阵P 称为将A 变成B 的相似变换矩阵。
如果矩阵A 能与一个对角矩阵Λ相似，则称矩阵A 可相似对角化，也说矩阵A 可对角化。
若方阵A 不能与对角矩阵相似，则称矩阵A 不能相似对角化，也说矩阵A 不能对角化。
线性代数课程已给出了矩阵A 可对角化的充要条件：定理1（1）阶方阵n A 可对角化的充要条件是A 有个线性无关的特征向量。
n （2）若阶方阵n A 有个互不相同的特征值n n λλλ,,,21L ，则A 可对角化。
把阶方阵n A 对角化的步骤如下：（1）求出A 的特征值，设互不相同的特征值为s λλλ,,,21L ；（2）对每个特征值i λ（s i ≤≤1），求齐次方程组 0x =−)(E A i λ 的基础解系，得到对应于i λ的线性无关特征向量组{}k i i i p p p L ,,21；若全体线性无关特征向量的个数小于，则矩阵n A 不可对角化。
若线性无关特征向量的个数为，则进行下一步骤。
n （3）将对应于互不相同特征值 s λλλ,,,21L 的特征向量全体作为个列向量构成方阵，则 n ()n P p p p ,,,21L =Λ=−AP P 1为对角矩阵，其对角线上元素为A 的特征值，方阵P 的列向量的顺序与对角矩阵Λ对角线上元素顺序相对应。
二、矩阵的Jordan 标准形一个阶方阵不一定有个线性无关的特征向量，因此不一定存在与之相似的对角矩阵。
我们问：如果一个阶方阵不能与对角矩阵相似，它能否与一个分块对角矩阵相似呢？ Jordan 标准形就是为了解决这个问题。
n n n 本段中的λ可以为复数。
定义2 形如m m J ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=λλλλλ1111)(O 的阶方阵称为一个阶Jordan 块，其中m m λ为复数。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
第3讲(3)Jordan标准形
17
[方法2] 用初等变换，把J(λ)=λE − J化成 (6.4.1)的形式.
⎡λ − a
(λ
E
−
J
)
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
18
3
⎡0 ⎯c⎯1+c2⎯×(λ⎯−a⎯)→ ⎢⎢(λ − a)2
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
r2 + r1×(λ
ξ3=[2，1，−6]′；ξ2不是A的特征向 量，但将ξ2代入Aξ2=ξ1+ξ2 即 (A−E)ξ2 = ξ1. 便可解得.
42
7
因此取
⎡⎢0 ⎢
−1 2
2
⎤ ⎥
⎥
P = [ξ1,ξ2 ,ξ3 ] = ⎢0 0 1 ⎥ ,
⎢⎢1 0 −6⎥⎥
⎣
⎦
就可使
⎡1 1 0⎤ P −1AP = J = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
0 0⎤ ⎥
1
1
⎥ ⎥
0 1 ⎥⎦
⎡1 1
或
⎢ ⎢0
1
⎢ ⎢⎣
0
0
0⎤
0
⎥ ⎥
−2
⎥ ⎥⎦
36
6
例6 设
⎡ 1 2 0⎤
A
=
⎢ ⎢
0
2 0⎥⎥
⎢⎣−2 −2 1⎥⎦
问：A是否与对角阵相似？如不与对角 阵相似，求可逆矩阵P，使得P−1AP为 Jordan标准形.
37
解 λ −1 −2 0
λ E − A = 0 λ − 2 0 = (λ −1)2(λ − 2) 2 2 λ −1
[方法2] 用初等变换，把J(λ)=λE − J化成 (6.4.1)的形式.
⎡λ − a
(λ
E
−
J
)
=
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
18
3
⎡0 ⎯c⎯1+c2⎯×(λ⎯−a⎯)→ ⎢⎢(λ − a)2
⎢⎣ 0
−1 λ −a
0
0⎤
−1
⎥ ⎥
λ − a⎥⎦
r2 + r1×(λ
ξ3=[2，1，−6]′；ξ2不是A的特征向 量，但将ξ2代入Aξ2=ξ1+ξ2 即 (A−E)ξ2 = ξ1. 便可解得.
42
7
因此取
⎡⎢0 ⎢
−1 2
2
⎤ ⎥
⎥
P = [ξ1,ξ2 ,ξ3 ] = ⎢0 0 1 ⎥ ,
⎢⎢1 0 −6⎥⎥
⎣
⎦
就可使
⎡1 1 0⎤ P −1AP = J = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
0 0⎤ ⎥
1
1
⎥ ⎥
0 1 ⎥⎦
⎡1 1
或
⎢ ⎢0
1
⎢ ⎢⎣
0
0
0⎤
0
⎥ ⎥
−2
⎥ ⎥⎦
36
6
例6 设
⎡ 1 2 0⎤
A
=
⎢ ⎢
0
2 0⎥⎥
⎢⎣−2 −2 1⎥⎦
问：A是否与对角阵相似？如不与对角 阵相似，求可逆矩阵P，使得P−1AP为 Jordan标准形.
37
解 λ −1 −2 0
λ E − A = 0 λ − 2 0 = (λ −1)2(λ − 2) 2 2 λ −1
矩阵论—矩阵的Jordan标准形
所以，A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns .
A的特征矩阵E A，其行列式 E A 0 所以，特征矩阵E A的秩为n.
数字矩阵A与B相似 对应的特征矩阵E A与E B等价 A与B有相同的不变因子 A与B有相同的行列式因子 A与B有相同的初等因子
(i
)
1
1
解：显然E-J
(i
)
~
的初等因子。
1
i ni ni
( i )ni nini
所以，J (i )的初等因子为( i )ni .
A1()
定理：设A()
A2 ()
At ()
则A1()，A2 (), , At ()的初等因子的全体
就是A( )的初等因子。
2 0 0
det(B)= n det(A)
所以，矩阵A与矩阵B不相似。
定理：设A C nn , A的初等因子为：
( 1)n1 , ( 2 )n2 , , ( s )ns ，
则矩阵A相似与矩阵J ,
J1(1)
J
J2 (2 )
J
s
(s
)
其中
i 1
i 1
J
(i
)
1
i ni ni
定理：由A()的不变因子可以确定A()的初等因子， 由A()的初等因子和A()的秩可以确定不变因子。
定义：矩阵A的特征矩阵E-A的初等因子称为矩阵A
的初等因子。
求矩阵A的初等因子。
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
1
解：
E
A
~
1
( 1)2 ( 2)
所以，A的初等因子为( 1)2，( 2)
di ()称为A()的不变因子。
第3,4,5节Jordan标准形
并且对于Jordan块矩阵有
ik J ik
1 Ck k 1 Ck2k 2
ik
1 Ck k 1
Ckni 1k ni 1 ni 2 k ni 2 Ck C ni ni k 1 k 1 i Ck ik
1 1 1 令 P [1 , 2 , 3 ] 1 1 0 1 0 1
第4步 写出对角化形式
3 则 P 1 AP 3 3 3
问：
如果
3 令 P [ 2 ,1 , 3 ] ，则 P 1 AP 3
1 * * 2 U H AU T * n
由于AAH A H A, 所以TT H T H T ,
再利用引理知T对角矩阵.
因此U H AU T diag (1 , 2 ,, n )
（7）设 是方阵 A 的特征值, 对应的一个特征向量 x 则 (1) k 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。
(2) 2 是 A2 的特征值，对应的特征向量仍为 x。
(3) 当 A 可逆时， 1 是 A1 的特征值，对应的 特征向量仍为 x。
设 推广： 是方阵 A 的特征值， k 是 Ak 的特征值。 则
第2步 求线性无关的特征向量， 即求 (i E A) x 0 的基础解系
1 3
1 (1,1,1)T
2 3 3 2 (1,1,0)T , 3 (1,0,1)T
1 , 2 , 3 线性无关，
第3步 如有n个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵P(P可逆)
第三章 相似矩阵
第三章 特征值与矩阵的Jordan标准型
74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证 注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加 到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是 与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由 例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个 块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂 可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给 出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这 就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命 题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证 注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,
矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型
1 0 0
1 0 0
c2 ( 2
)c1
0
c3 ( )c1
0
0
2
c3 c2
0
c3(1) 0
0
0
( 1)
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
例 3.1 –矩阵
1
A(
)
D1( ) 1 D2( ) ( 1) D3 ( ) 2 ( 1)3
不变因子为:
d1( ) 1 ， d2( )
D2 ( ) D1( )
(
1) ， d3 ( )
D3 ( ) D2 ( )
(
1)2
所以 A( ) 的 Smith 标准形为:
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
s
其中 mi n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i 1
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推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
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14
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
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15
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
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4
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
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5
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
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2
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
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3
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
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6
例 3.1 –矩阵
1
A(
)
2
3
3 2 5
4
，
B(
)
3 2
1
2
中，因为 det A() 4 ， det B( ) 3 2 ，所以
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9
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ；
2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ．
1 2
例 3.2
化
A(
)
为
Smith
标准形.
解
1 2 2 2
1 2 A() c 1c 30
1 2
2
1 2 r 3r10
0 0
2
1 0 0
1 0 0
c 2( 2 )c10
c3()c1
0
0
2
c 3c 2 0 c3(1) 0
0
0
( 1)
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13
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
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1
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
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10
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
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7
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
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8
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
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11
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()
dr ()
0
0
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准精形选pp，t 称为 Smith 标准形. 12
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
精选ppt
14
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
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15
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
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定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
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5
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
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2
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
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如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
c
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例 3.1 –矩阵
1
A(
)
2
3
3 2 5
4
，
B(
)
3 2
1
2
中，因为 det A() 4 ， det B( ) 3 2 ，所以
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定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ；
2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ．
1 2
例 3.2
化
A(
)
为
Smith
标准形.
解
1 2 2 2
1 2 A() c 1c 30
1 2
2
1 2 r 3r10
0 0
2
1 0 0
1 0 0
c 2( 2 )c10
c3()c1
0
0
2
c 3c 2 0 c3(1) 0
0
0
( 1)
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13
推论 1 任一 n 阶可逆 -矩阵均可经过若干次初等 变换化为 n 阶单位矩阵 En .
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
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1
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
那么 A( ) C( ) ．
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10
由初等变换与初等矩阵的对应关系可得
A() B() 的充要条件是存在一些 m 阶与 n 阶的初等矩阵， 分别左乘与右乘 A( ) 得到 B( ) .
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
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–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
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–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
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定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()
dr ()
0
0
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准精形选pp，t 称为 Smith 标准形. 12