第四章 矩阵的标准型PPT幻灯片
称 J 为 A 的Jordan标准型。并称方阵
i
Ji (i )
1
i O
O
1
, i 1,2,L,s
i mimi
为 m i 阶Jordan 块。
数学系 李继根（jgli@）
定理 2 设 ACnn。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 () ( 1 ) m 1 L (s ) m s
数学系 李继根（jgli@）
§1、矩阵的Jordan标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 们“退而求其次”，寻找“几乎对角的” 矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标 准型问题，其中Jordan标准型是最接近 对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或0。 弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、计算 上以及应用上的许多问题就容易处理了， 当然花费也大了。
2 1 1 1
A
2
1
3
2
1 1 0 1
1
1
2
2
数学系 李继根（jgli@）
解： A 的特征值为 `1 0 ,`2`3`4 1 ，则
JA
A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 0 为单根，所以 A1(0) 0
并从 (A0I)x解得对应的特征向量为
1(1,3,1,2)T
数学系 李继根（jgli@）
最后，由可逆线性变换 x P y 得原方程组的解
xx12
c2et c3t et 2c2et c3(2t
1)et
x3 c1e2t c2et c3(t 1)et
数学系 李继根（jgli@）
例 5 现代控制理论中，线性定常系统(Linear time
i
阶的Jordan子矩阵，有 k
个
i
阶数为 n i j ( n i 1 n i 2 L n i k i n i ) 的
Jordan块，即 A i ( i ) d i a g ( J 1 ( i ) , J 2 ( i ) , L , J k i ( i ) )
数学系 李继根（jgli@）
JA A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2
并从 (A2I)x解得对应的特征向量为
1 (1,2,4)T
数学系 李继根（jgli@）
对于二重特征值 `2,3 1 ，由 (AI)x
只解得唯一的特征向量为
2 (1,1,1)T
因此 A 2 ( 1 ) 中只有一个Jordan块，即
根据 J A 的结构，将Jordan变换矩阵 P 列分块为
P (p 1 ,p 2 ,L ,p t) 其中 p i 是 n n i 阶的矩阵。 由 APPJA ，可知
A p i p iA i(i)( i 1 ,2 ,L ,t)
数学系 李继根（jgli@）
进一步，根据 A i ( i ) 的结构，将 p i 列分块为
这里 x(x 1,x 2,x 3)T ,d d x t(d d x t1,d d x t2,d d x t3)T ,
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
数学系 李继根（jgli@）
由上例，存在可逆线性变换 x P y 使得
P1APJA
其中
0 1 0
2 0 0
P0 2 1, JA0 1 1
二、 Jordan标准型的一种简易求法
把 A 的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，
就得到Jordan标准型 J A d i a g ( A 1 ( 1 ) , A 2 ( 2 ) , L , A t ( t ) )
(n 1 n 2 L n t n )
其中 A i ( i ) 是 n
数学系 李继根（jgli@）
第四章 矩阵的标准型
数学系 李继根（jgli@）
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相 似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征 值（包括代n 数重数和几何重数）、行列式、迹 及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相 似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩 阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵， “代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。特 别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵特 殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗憾 的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！
2 (1,2,1)T
对重根有几个特 征向量，就有几 个约旦块
因此 A 2 ( 1 ) 中只有一个Jordan块，即
1 1
A2
(1)
0
1
求解 (AI)2，可得所需的广义特征向量
(0,1,1)T
数学系 李继根（jgli@）
综合上述，可得
0 1 0
2 0 0
P0 2 1, JA0 1 1
其中， pi(1 j)(j1 ,2,L,ki)是矩阵 A 关于特征
值 i 的一个特征向量，
的广义特征向量,称
p
( i
n j
i
j
)
pi(2j),L,
为 i 的
p(ni j ) 则称为 ij
n i j 级根向量。
i
数学系 李继根（jgli@）
当所有的 n i j 1 时，可知 k i n i ，此时矩阵没
invariant , LTI )的状态空间描述为
x& Ax Bu
y
Cx
Du
这里矩阵 A 表示了系统内部状态变量之间的联系，
称为系统矩阵；矩阵 B 称为输入矩阵或控制矩阵；
矩阵 C 称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵 D 称为直
接观测矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
做可逆线性变换 x& P x ，则
1 1
A2(1)
0
1
求解 (AI)2，可得所需的广义特征向量
(1,0,1)T
数学系 李继根（jgli@）
综合上述，可得
1 1 1
2 0 0
P2 1 0, JA0 1 1
4 1 1
0 0 1
1 2 1
P
1
1 9
2
6
5 3
2
3
数学系 李继根（jgli@）
n 1
n 2
n t
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的
Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0
A
4
3
0
1 0 2
数学系 李继根（jgli@）
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0 x&AxBu0 0 1x0u
2 3 0 1
这里矩阵 A 是特征多项式 | I A|的友矩阵。
数学系 李继根（jgli@）
解：|I A | 3 3 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 0
A 的特征值为 `12, `2`31，故设
解： A
特征值为 `12,`2`31，所以设
JA
A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2
并从 (A2I)x解得对应的特征向量为
1 (0,0,1)T
数学系 李继根（jgli@）
对于二重特征值 `2 `3 1 ，由 (AI)x
只解得唯一的特征向量为
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
p ij (p i(1 j),p i(2 j),L ,p i(n jij))
由 A pij pijJj( i)，可知
(
A
i
I
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p
( i
2 j
)
p
( i
1 j
)
L
(
A
iI
)
p ( ni j ) ij
p ( ni j 1) ij
因此经过可逆线性变换 x& P x 后，系统矩阵 A 和
控制矩阵 B 分别为
2 0 0
A P1AP0 1
1
J
0 0 1
2
B
P 1B
1 9
1
.
1
数学系 李继根（jgli@）
例 6 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的
Jordan变换矩阵 P ，其中
则 V 可分解成不变子空间的直和
V N 1 排 N 2L ? N s
这里 N iK er((T iE )m i)
数学系 李继根（jgli@）
适当选取每个子空间 N i 的基（称为Jordan基）， 则每个子空间的Jordan基合并起来即为 V 的Jordan
基，并且 V 在该Jordan基下的矩阵为块对角阵 J d i a g ( J 1 ( 1 ) , J 2 ( 2 ) , L , J s ( s ) )
1 1 1
0 0 1
数学系 李继根（jgli@）
例 4 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组
d x1 dt
x1
x2
d d
x2 t
4 x1
3 x2
d x3 dt
x1
2 x3
数学系 李继根（jgli@）
解： 方程组的矩阵形式为
dx Ax dt
p i (p i1 ,p i2 ,L ,p ik i)
其中
p ij(j 1 ,2 ,L ,k i)是 n ni
阶矩阵。
j
由 Api piA i(i) ，可知
A p i j p i j J j ( i )( j 1 , 2 , L , k i )
数学系 李继根（jgli@）
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高等代数矩阵的标准型91λ矩阵的等价与法式课件
91λ矩阵标准型的每一行和每 一列只有一个非零元素，而法 式的每一行和每一列只有一个
主元。
法式中的主元位置对应于91λ 矩阵标准型中的非零元素位
置。
91λ矩阵标准型的非零元素位 置可以通过行列式因子确定， 而法式的主元位置可以通过主
元因子确定。
91λ矩阵标准型与法式的应用场景比较
91λ矩阵标准型在矩阵理论、线性代数和数值分析等领域有广泛应用，特别是在求解线性方程组和计算 行列式值等方面。
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
91λ矩阵的等价性
91λ矩阵的定义与性质
1
91λ矩阵是一个n×n矩阵，其元素由0、1和λ（一 个非零常数）组成。
2
91λ矩阵具有特定的性质，如行列式为0或无穷大 ，特征多项式为λ^n或0等。
3
91λ矩阵的子矩阵和经过有限次初等行变换或初 等列变换后，得到的矩阵仍然是91λ矩阵。
01
高等代数矩阵的标准型
定义与性质
定义
矩阵的标准型是指经过有限次初等行 变换或初等列变换，将一个矩阵化为 某种特定形式。
性质
标准型矩阵具有唯一性，即同一矩阵 经过不同的初等变换可能得到不同的 标准型矩阵，但其标准型阵
下三角矩阵
对角矩阵
循环矩阵
主对角线以下元素全为0 的矩阵。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
高等代数矩阵的标准 型91λ矩阵的等价与 法式课件
目录
CONTENTS
• 高等代数矩阵的标准型 • 91λ矩阵的等价性 • 91λ矩阵的法式 • 91λ矩阵标准型与法式的关系
矩阵理论矩阵的标准型(ppt)
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()Biblioteka dr ()00
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵理论矩阵的标准型ppt课件
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
Ch2 矩阵的标准形PPT课件
(1)d(x) | f (x) d(x) | g(x) (2)若多项式h(x)满足h(x) | f (x) h(x) | g(x)，
则有h(x) | d(x)
精选ppt课件2021
4
定理 设f(x),g(x)是F[x]中的两个多项式，则在F[x] 中存在f(x)与g(x)的一个最大公因式d(x),而且存在 u(x),v(x)F(x), 使得
则称
dk()
Dk() Dk1()
（1kr）
为A()的第k个不变因子，其中D0()1.
精选ppt课件2021
15
例求
a b
A
(
)
0
a
0
0
的等价标准形.
0
b
a
精选ppt课件2021
16
定义（初等因子）
在 复 数 域 中 讨 论 ， A( )中 的 各 个 不 变 因 子 分 解 为 一次因子如下：
精选ppt课件2021
22
2.5 若当标准形
定 义 （ Jo rd an 块 与 Jo rd an 矩 阵 ） 形 如 下 面 的 矩 阵 称 为 Jo rd an 块
i 1
i 1
Ji
称 矩 阵 J diag{J1, J 2 ,
1
i
, J s }为 若 当 矩 阵 .
精选ppt课件2021
定 理设 p(x)为 数 域 F上 的 不 可 约 多 项 式 ， f(x),g(x) 是 数 域 F上 的 两 个 多 项 式 ， 如 果 p(x)|f(x)g(x), 那 么 一 定 有 p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)
精选ppt课件2021
7
定理（因式分解定理） 数域F上的任一个次数 1的多项式f (x)都可以 惟一地分解成数域F上有限个不可约多项式的 乘积，惟一性是指，若
西北工业大学矩阵论课件PPT第四章例题矩阵分解
u1
a3 e~1 a3 e~1 2
1 2
1 0 1
于是
0 0 1
H~1
I
2u1u1T
0
1
0
1 0 0
令
H1
1 0
0T H~1
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
2 1 0 0
则
H1AH1
1 0
1 3
3 1
4 2
0 4 2 1
对 a2 (3,4)T，取 2 a2 2 5，则
1
0
0 0 0 2
例
试求矩阵
A
0 0
3 4
1 2
的QR分解。
2 1 2
解
将列向量
a1
0
0
，a2
3 4 ，a3
1 2
正交化得
2
1
2
p1
a1
0
0
，
p2
2
a2
2 4
p1
3 4
，p3
0
a3
4 4
p1
5 25
p2
8 5
6 5
0
单位化得
0
q1
1 2
p1
0 ， 1
证 因为
I O A B I O A B B I I B A I I O A B 取行列式即得。
例 设A, B, C, D为同阶方阵，A可逆, 且AC = CA。
证明 证 因为
det A C
B det(AD CB) D
I CA1
O A I C
B A D O
(2 )4
4!
A4
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
矩阵理论第四章
1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11
高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-4
立即可得,
a11 a 21 * AA a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn A1 1 A 2 1 A1 2 A 2 2 A1 n A 2 n
d 0 0 0 d 0 dE . 0 0 d数学与计算科学学院 2012-9-22 §4.4 矩阵的逆
AB A 2B
求矩阵B．
解：由
，得 ( A
2 E ) B A ，又
2 3 3 A 2 E 1 1 0 2 0 1 2 1
A 2E
可逆，且
(A 2E )
1
1 1 3 3 1 1 3 2 1 1 1
0 3 3 1 B ( A 2 E ) A 1 2 3 1 1 0
数学与计算科学学院
1 1 E 1
A
1
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
三、逆矩阵的运算规律
1 若 A 可逆 , 则 A 亦可逆 , 且 A
1 1 1
A.
2 若 A 可逆 , 数 0 , 则 A 可逆 , 且
§4.4 矩阵的逆
2012-9-22
X A CB
1
1
.
数学与计算科学学院
3. 矩阵积的秩
定理4
A s n ,
若 Ps s , Q n n 可逆，则
R( A) R( PA) R( AQ ) R( PAQ )
证： 令
B PA,
由定理2， R ( B ) R ( A ),
数学与计算科学学院
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设