矩阵理论矩阵的标准型
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵理论矩阵的标准型(ppt)
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()Biblioteka dr ()00
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
矩阵的标准形式是什么
矩阵的标准形式是什么矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在研究矩阵的性质和特征时，我们常常需要将矩阵转化为其标准形式。
那么，矩阵的标准形式究竟是什么呢？本文将对此进行详细的介绍和解释。
首先，让我们来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列元素组成的一个数表，通常记作 A=(aij)m×n。
其中，aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算，具有很强的代数性质。
接下来，我们来介绍矩阵的标准形式。
在线性代数中，矩阵的标准形式通常指的是特殊的形式，通过一系列的变换，可以将任意的矩阵转化为标准形式，从而更好地研究其性质和特征。
常见的矩阵标准形式包括行阶梯形、列阶梯形、对角形和标准型等。
首先，我们来介绍行阶梯形。
一个矩阵被称为行阶梯形，如果满足以下条件，首先，非零行（如果存在）在零行的上面；其次，每个非零行的首个非零元素为1；最后，每个非零行的首个非零元素所在的列，除了该元素外，其余元素都为0。
行阶梯形的矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的线性相关性和线性无关性。
其次，是列阶梯形。
一个矩阵被称为列阶梯形，如果其转置矩阵为行阶梯形。
列阶梯形的矩阵同样具有重要的性质，可以帮助我们进行矩阵的分解和求解。
接着，是对角形。
一个矩阵被称为对角形，如果除了对角线上的元素外，其余元素都为0。
对角形的矩阵在矩阵的对角化和特征值分解中有着重要的应用。
最后，是标准型。
一个矩阵被称为标准型，如果它是行阶梯形并且满足一定的特定条件。
标准型的矩阵可以帮助我们更好地理解矩阵的相似性和等价性。
总的来说，矩阵的标准形式是通过一系列的变换，将矩阵转化为特定的形式，以便更好地研究其性质和特征。
不同的标准形式在不同的领域和问题中有着重要的应用，对于深入理解矩阵的性质和特征具有重要的意义。
在实际应用中，我们常常需要将矩阵转化为其标准形式，以便进行进一步的分析和计算。
什么是标准型矩阵
什么是标准型矩阵标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的性质和特征，它在线性代数和数学分析中具有重要的作用和应用。
在矩阵理论中，标准型矩阵是一个非常基础的概念，对于研究矩阵的性质和应用具有重要的意义。
本文将从标准型矩阵的定义、性质和应用等方面进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下标准型矩阵的定义。
标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的形式和结构，可以通过一系列的变换将其化为标准形式。
在实际应用中，标准型矩阵通常是指对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了对角线上的元素之外，其他元素都为零的矩阵；而上三角矩阵是指主对角线以下的元素都为零的矩阵。
通过相似变换，任意一个矩阵都可以化为对角矩阵或者上三角矩阵，这就是标准型矩阵的基本定义。
其次，我们来看一下标准型矩阵的性质。
标准型矩阵具有一些重要的性质，这些性质对于研究矩阵的性质和应用具有重要的意义。
首先，对角矩阵的特征值就是其对角线上的元素，这为矩阵的特征值分解提供了便利；其次，对角矩阵的乘法运算非常简单，只需要将对角线上的元素相乘即可，这对于矩阵的运算和求逆等操作提供了便利；再次，上三角矩阵的行列式就是其对角线上的元素之积，这为矩阵的行列式计算提供了便利。
这些性质使得标准型矩阵在矩阵理论和实际应用中具有重要的地位。
最后，我们来看一下标准型矩阵的应用。
标准型矩阵在线性代数、数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在线性代数中，对角化矩阵可以简化矩阵的运算和求解，使得复杂的线性方程组和矩阵方程可以更加方便地求解；在数学分析中，对角化矩阵可以简化矩阵函数的计算，使得矩阵函数的性质和特征更加清晰地展现出来；在物理学和工程学中，对角化矩阵可以简化物理系统的描述和分析，使得复杂的物理问题可以更加直观地理解和求解。
可以说，标准型矩阵在各个领域都有着重要的应用和意义。
综上所述，标准型矩阵是一个在线性代数和数学分析中具有重要意义和应用的概念。
通过对标准型矩阵的定义、性质和应用进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念，同时也希望能够引起读者对于矩阵理论和应用的兴趣，促进相关领域的学术研究和技术应用的发展。
矩阵 标准型
矩阵标准型矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，标准型是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特征。
本文将介绍矩阵标准型的基本概念、性质和应用。
首先，我们来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中每一个数都称为矩阵的一个元素。
矩阵通常用大写字母表示，比如A、B、C等。
一个m×n的矩阵有m行n列，我们可以用A=(aij)表示，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的标准型是指将矩阵通过一系列变换化为特定形式的过程，这个特定形式通常更容易分析和计算。
接下来，我们来介绍矩阵标准型的性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，那么我们称矩阵A相似于对角矩阵，这个对角矩阵就是矩阵A的标准型。
对角矩阵的形式为：λ1 0 0 ... 0。
0 λ2 0 ... 0。
0 0 λ3 ... 0。
... ... ... ... ...0 0 0 ... λn。
其中λ1,λ2,...,λn为矩阵A的特征值。
矩阵标准型的存在性和唯一性是矩阵理论中的一个重要定理，它保证了我们可以通过相似变换将一个矩阵化为标准型，而且这个标准型是唯一的。
矩阵标准型在实际应用中有着重要的意义。
首先，它可以帮助我们分析矩阵的特征和性质。
通过将矩阵化为标准型，我们可以更清晰地看出矩阵的特征值和特征向量，从而更好地理解矩阵的行为和变换规律。
其次，矩阵标准型也为矩阵的计算和求解提供了便利。
对角矩阵的乘法和求逆运算都非常简单，这样一来，我们可以通过矩阵相似变换将复杂的矩阵问题化简为简单的对角矩阵问题，从而更容易求解和计算。
总之，矩阵标准型是矩阵理论中的一个重要概念，它通过相似变换将矩阵化为特定形式，帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特征。
在实际应用中，矩阵标准型也为我们提供了便利，使得矩阵的计算和求解更加简单和高效。
矩阵的标准型怎么求
矩阵的标准型怎么求矩阵的标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
在本文中，我们将介绍矩阵的标准型是什么，以及如何求解矩阵的标准型。
首先，让我们来了解一下矩阵的标准型是什么。
矩阵的标准型是指将一个矩阵通过相似变换化为特定形式的过程。
具体来说，对于一个n阶方阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP是一个特定形式的矩阵。
这个特定形式的矩阵就是矩阵的标准型。
接下来，我们将介绍如何求解矩阵的标准型。
求解矩阵的标准型涉及到矩阵的相似对角化和特征值分解等概念。
具体步骤如下：1. 首先，我们需要求解矩阵A的特征值和特征向量。
特征值和特征向量的求解可以通过解特征方程来实现。
特征值求解完毕后，我们可以得到矩阵A的特征向量。
2. 接下来，我们需要构造特征向量矩阵P。
特征向量矩阵P是由矩阵A的特征向量构成的矩阵。
P的列向量是A的特征向量。
3. 然后，我们需要构造特征值对角矩阵Λ。
特征值对角矩阵Λ是一个对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A的特征值。
4. 最后，我们可以得到矩阵A的标准型。
矩阵A的标准型可以表示为P^-1AP=Λ，其中P是特征向量矩阵，Λ是特征值对角矩阵。
通过以上步骤，我们可以求解矩阵的标准型。
这个过程可以帮助我们更好地理解矩阵的性质，进而应用到实际问题中。
总之，矩阵的标准型是通过相似变换将矩阵化为特定形式的过程。
求解矩阵的标准型涉及到特征值和特征向量的求解，以及特征向量矩阵和特征值对角矩阵的构造。
这个过程对于我们理解和分析矩阵具有重要意义，也有助于我们应用到实际问题中。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解矩阵的标准型，同时也欢迎大家对矩阵的标准型提出宝贵意见和建议。
矩阵理论矩阵的标准型ppt课件
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
矩阵的等价标准型
矩阵的等价标准型是矩阵的一种特殊形式，满足一定的条件。
在矩阵理论中，等价标准型通常是通过一系列的行变换和列变换将矩阵化简而得到的。
下面将详细介绍矩阵的等价标准型及其相关参考内容。
1.什么是矩阵的等价标准型？矩阵的等价标准型是矩阵经过一系列的行变换和列变换后所得到的一种特殊形式。
矩阵的等价标准型具有一些特殊的性质，因此在矩阵理论和线性代数中经常使用。
2.矩阵的行变换和列变换行变换和列变换是指对矩阵中的行和列进行一系列的操作，从而改变矩阵的形式。
行变换包括交换两行、用非零常数乘以某一行、将某一行乘以一个非零常数后加到另一行上等操作。
列变换包括交换两列、用非零常数乘以某一列、将某一列乘以一个非零常数后加到另一列上等操作。
3.矩阵的等价标准型的求解方法求解矩阵的等价标准型可以通过高斯消元法、特征值分解等方法来实现。
高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，它可以通过一系列的行变换将矩阵化为行最简形。
特征值分解是将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的过程，其中特征向量矩阵是可逆矩阵，特征值矩阵具有对角线形式。
4.相关参考内容在线性代数的教材和专业书籍中都有关于矩阵的等价标准型的详细讲解和求解方法的介绍。
以下是一些相关参考内容：《线性代数及其应用》：本书是Gilbert Strang教授的经典教材，其中有关于矩阵的等价标准型的章节，详细介绍了高斯消元法和特征值分解等方法。
《数学分析与线性代数》：本书是数学系常用的教材之一，在其中有关于矩阵的等价标准型的章节，包括求解方法和应用等内容。
该教材详细介绍了矩阵的特征值分解和奇异值分解等内容。
《线性代数导论》：本书是线性代数的入门教材，其中有关于矩阵的等价标准型的章节，包括最简形、行最简形和阶梯形等相关内容。
此外，还可以参考线性代数相关的学术论文、研究报告和在线教育平台等资源，如arXiv、ResearchGate、Coursera等平台提供的线性代数课程。
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Байду номын сангаас
GEM
带余除法
定理2.1.1（带余除法）设 f(x)和 g(x)是数域 F 上的多项式， 且 g(x) ≠0，则必存在多项式 q(x)和 r(x) ，使得
f ( x) q( x)g( x) r( x)
并且q(x)和 r(x)是唯一的， 其中deg r( x) deg g( x) 或 r( x) 0 若r(x)=0，则称 g(x)是 f(x)的因式， f(x)是 g(x)的倍式， 也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。
(4) 单位元？？:1f (x) f (x)
6
GEM
多项式乘法
f (x)g(x)
anbm xnm (anbm1 an1bm ) x nm1
mn
ai
bj
xk
k o i jk
(a1b0 a0b1 )x a0b0
其中k 次项的系数是
ak b0 ak1b1 a1bk1 a0bk
问题：存储空间有限，文件如何化简？
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GEM
将存储空间的0-1看成一个矩阵，进行矩阵的化简
矩阵化简的种类：
矩阵合同：对n阶方阵A和B，如果存在可逆矩 阵C满足B=CTAC，就称矩阵A和B 合同。
矩阵等价：对矩阵A和B，如果矩阵B可以经 过一系列初等变换化为A，就称矩阵A和B 合 等价 。
矩阵相似： n阶方阵A和B，如果存在可逆矩 阵C满足B=C-1AC，就称矩阵A和B相似。
若 an 0, 则称 an xn 为 f ( x) 的首项，an为首项系数， n 称为 f (x)的次数，记作 deg f (x) 或 f (x). 零多项式次数定义为 0.
3
GEM
多项式加法
为了方便起见，设 n m, bn bm1 0
f (x) g(x)
(an bn ) xn (an1 bn1 ) xn1
ai bj
i jk
deg( f ( x)g( x)) deg f ( x) deg g( x)
7
GEM
运算规律:
(1) 交换律：f (x)g(x) g(x) f (x) (2) 结合律: ( f (x)g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x))
(3) 分配律: f (x)(g(x)h(x)) f (x)g(x) f (x)h(x) (4) 消去律：若 f ( x)h( x) g( x)h( x), h( x) 0
4x4 10x3 8x2 8x3 14x2 5x 9 8x3 20x2 16x 6x2 11x 9
6x2 15x 12 4x 3
f ( x) q( x)g( x) r( x)
q( x) 2x2 4x 3 r( x) 3x 3
11
GEM
2.2 因式分解定理
定义. 设 f ( x) , g( x)，h( x) F[x] 若h(x)既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公因式。 若h(x)既是 f(x)的倍式，又是 g(x)的倍式， 则称h(x)为 f(x)与 g (x)的一个公倍式。
2
GEM
定义. 设 f (x) , g( x) F[x]
f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 g( x) bm xm bm1 xm1 b1 x b0 若其同次项的系数都相等，即 ai bi , i 0
则称 f(x)与 g(x)相等，记作 f(x)= g(x)。
12
GEM
设 f ( x) , g( x), d( x) F[x] ，并且满足: (1) d( x)是 f ( x)与 g( x)的公因式； (2) f ( x)与 g( x)的公因式都是d( x)的因式；
则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最大公因式。
设 f (x) , g( x), d(x) F[x] ，并且满足: (1) d( x)是 f ( x)与 g( x)的公倍式； (2) f ( x)与g( x)的公倍式都是d( x)的倍式；
则称 d(x)为 f(x)和 g(x) 的一个最小公倍式。
GEM
定理2.2.1 设 f ( x) , g( x) F[x], 则存在 d( x) F[x], 使得d(x)是 f(x)和 g(x)的一个最大公因式， 并且 d( x) u( x) f ( x) v( x)g( x), 其中 u( x), v( x) F[x].
复系数多项式的因式分解定理：
次数不小于1的复系数多项式在复数域上 可唯一地分解成一次因式的乘积。
复系数多项式 f ( x) an xn an1 xn1 a0 的 标准分解式为
f ( x) an ( x r1 )n1 ( x r2 )n2 ( x rk )ns 其中 n是i 正整数，且 n1 n2 ns n
(2) 第 i 行 (列)乘以非零数 k , 记作 ri k (ci k)
(3) 第 i 行(列)加上第 j 行(列)的 k(l ) 倍,
记作 ri k(l )rj (ci k(l )c j ) 其中 k(l )为 l 的多项式。
26
GEM
l 矩阵的等价
定义: 若l 矩阵 A(l) 经过若干次初等变换变为B(l)， 则称 A(l)与B(l) 等价，记作 A(l) ~ B(l)
其中 ci , i 1, 2为, 非, 零s 常数。
16
GEM
分解式
f
(
x)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x)
p rs s
(
x
)
称为标准分解式。 其中a 是 f(x)的首项系数， pi ( x) 是首项系数为１的 不可约多项式，而 ri是正整数 (i 1, 2, , s)
17
GEM
因式分解定理
GEM
2.3 矩阵化简
文件在计算机中存储方式：二进制代码
特别地：图像在电脑中存储方式（除了文件头等） 黑白：0-1矩阵，如分辨率为1024*980的一张黑白 照片，占用空间为1024*980*1/8= 122.5kb 。
彩色：三基色（红、绿、蓝）理论，每一种颜色
分级为0-255，一个像素占用1*3个字节，全为0 表示黑色，全为255表示白色； 如分辨率为1024*980的一张彩色照片，占用空间 为1024*980*8*3/8= 2940 kb。
9
GEM
例2.1.1设 f(x)和 g(x) 是有理数域 F上的两个多项式 f ( x) 4x4 2x3 6x2 5x 9, g(x) 2x2 5x 4
求满足等式 f ( x) q( x)g( x) r( x) 的多项式 q( x), r( x)
10
GEM
2x2 4x 3 2x2 5x 4 4x4 2x3 6x2 5x 9
2 矩阵的标准型
目录
2.1 一元多项式 2.2 因式分解定理 2.3 矩阵化简
2.4 l 阵的标准形
2.5 矩阵相似的条件 2.6 矩阵的若当标准形 2.7 矩阵的最小多项式
1
GEM
2.1 一元多项式
定义.设 n 是一个非负整数，表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0 称为数域 F上的一元多项式， 其中 a0，a1，, an F 特别地，0 称为零多项式. F[x] { f ( x) | f ( x)是数域 F上的一元多项式}
22
GEM
矩阵的相似是利用最多的一种方式
一个矩阵相似于对角矩阵的充要条件是矩阵有n （原矩阵阶数）个线性无关的特征向量。
不是所有的矩阵相似于对角矩阵，如
A
1 0
1 1
问题：不能相似于对角矩阵的方阵相似最简 单情况是什么？
GEM
2.4 l 阵的标准形
定义. 元素是 l 的多项式的矩阵称为l 矩阵，记作A(l )
n
(ai bi )xi i0
(a1 b1 )x (a0 b0 )
deg( f ( x) g( x)) max{deg f ( x),deg g( x)}
4
GEM
运算规律:
(1) 交换律：f (x) g(x) g(x) f (x) (2) 结合律: ( f (x) g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x)) (3) 零元素：f ( x) 0 f ( x) (4) 负元素: f (x)( f (x))0
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GEM
实系数多项式的因式分解定理：
次数不小于1的实系数多项式在实数域上
可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。
实系数多项式 f ( x) an xn an1 xn1 标准分解式为
a0 的
f ( x) an ( x r1 )n1 ( x rs )ns ( x2 p1 x q1 )m1 ( x2 pt x qt )mt
A(l)B(l) B(l)A(l) E
称 A(l )为可逆的l 矩阵，且B(l )为A(l )的逆。
显然， A(l )可逆 | A(l ) | 为非零常数。
说明： l 矩阵可逆与数字矩阵可逆的区别与联系
（向下兼容性）。
GEM
定义. l 矩阵的初等变换
(1) 对调 i, j 两行(列)，记作 ri rj (ci c j )
5
GEM
数乘多项式
kf ( x) kan xn kan1 xn1
n
kai xi i0
运算规律:
ka1 x ka0
(1) 结合律：(l) f (x)l( f (x))
(2) 分配律: (l ) f (x)lf (x) f (x)
(3) 分配律：l( f ( x) g( x)) l f ( x) l g( x)