矩阵范数理论及其应用

第四章 矩阵范数理论及其应用

知识要点：

1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数p

x 和∞范数x

∞

，p

p lim x

x ∞→∞

=，a

P a x

Px =，2H H P

x

Px x P Px ==，有限维赋范

空间的范数是等价的）

2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，F

E

n =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）

3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）

4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）

§4.1 向量范数及其性质

一、范数与赋范线性空间

定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：

(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。 (2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。 (3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。

则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。

易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。若0n x x -→，则称n

x 收敛于x ，记为n x x →。

例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()b

a

f t f t dt =

⎰

，

()

max ()

a t b

f t f t ∞

≤≤=，1

()

()b

p

p

p

a f t f t dt ⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

⎰，1p ≤<∞。分别称之为1-范数，∞-

范数，p -范数。

注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。

性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。

证明：由000()()f x f x x x x x -=-≤-可知，0x x →时，0()()f x f x →。 因此，()f x 为V 上的连续函数。

性质2：设P 为n 阶可逆矩阵，对于n 维向量n x C ∈，1

x 为n C 中的一个范数，令

21x Px =，则2x 也为n C 中x 的范数。

证明：(1)非负性：0x ≠时，0Px ≠，2

10x Px =>；0x =时, 2100x ==。

(2)齐次性：2

112()ax

a Px a Px a x ===，a K ∈，x V ∈。

(3)三角不等式：2

11122x y

Px Py Px Py x y +=+≤+=+，,x y V ∈。

因此，2x 为n

C 中x 的范数。

注：内积空间是赋范线性空间，但赋范线性空间不一定构成内积空间。

二、n 维向量的p -范数(1)p ≤≤∞

定义2：对于n 维向量12(,,

,)T n n x C ξξξ=∈，

11

n

i i x ξ==∑，称为x 的1-范数，记为1x ，由此诱导出的距离称为街区距离。

1

2221

()n

i i x ξ==∑，称为x 的2-范数，记为2x ，由此诱导出的距离称为欧氏距离。

1i i n

x

max ξ∞

≤≤=，称为x 的∞-范数，记为x ∞，由此诱导出的距离称为棋盘距离（也

称契比雪夫距离）。

1

1

()n

p

p i p

i x

ξ==∑，称为x 的p -范数，记为p x 。

2H H P

x

Px x P Px ==，称之为加权范数或椭圆范数，其中P 为可逆矩阵。

定理1：对于n 维向量n

x C ∈，p

p lim x

x ∞→∞

=。

注：几何意义上，向量PQ 的2-范数、 ∞-范数和1-范数分别是斜边PQ 长度、直角边PR 长度以及两直角边PR 和RQ 的长度之和。

三、范数的等价性

定义3：对任意x V ∈，满足不等式12C x

x

C x β

α

β≤≤的两种范数称为是等价的。

定理2：对于n 维向量n

x C ∈，总成立着2

12x

x n x ≤≤，2x x n x ∞

∞≤≤，

1x

x n x ∞

∞≤≤，p

p

x

x

n x ∞

∞≤≤。

定理3：设12,,

,n ααα是n 维赋范线性空间E 的一组基，则存在正数,A B ，使得对一切

1

n

k k k x E ξα==∈∑，成立着12

21n

k k A x B x ξ=⎛⎫

≤≤ ⎪⎝⎭∑。