西北工业大学矩阵论课件第二章例题 范数理论
西北工业大学《线性代数》课件-第二章 矩阵
y1 x1,
y2 x2,
yn xn
对应
1 0 0
0
1 0
0
0 1
单位阵
我们把这样的线性变换称之为恒等变换。
矩阵的基本运算
一、矩阵的相等
同型矩阵：两个矩阵行数和列数都相等
矩阵相等：设两个矩阵 Amn 和 Bmn是同型矩阵， 且对应元素相等，即 aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵A和B相等，记做 A B。
例如：
x 0
1 y
48
3 0
1 2
z 4
可得
x 3 y 2 z 8
判断正误：零矩阵相等。 （ ）
二、矩阵的线性运算
⒈ 矩阵的加法
设有两个同型矩阵 A aij mn , B bij mn ,那末矩阵A
与B的和记作A B，规定为
A B (aij bij )mn
y Bz
则 z 到 x 变换为
x Ay A(Bz) ( AB)z
求出AB即可。
四、方阵的幂
设A为n阶方阵，则规k 定A的k次方为 Ak A A A
可以看出：只有方阵才有幂运算。
规定：
A0 E
A1 A
Ak1 Ak A
(k 1,2,)
运算规律： Ak Al Akl
( Ak )l Akl
k，l为任意正整数
注意：当 AB BA时，某些关于数字幂运算的规律 不再成立，例如
( AB)k Ak Bk
( AB)k (AB)(AB)( AB) ( AB AB)( AB)( AB) k ( A2B2 )( AB)( AB)
所以
( AB)k Ak Bk
⒉ 线性变换
矩阵论同步学习辅导 张凯院 西北工业大学出版社
矩阵论同步学习辅导(习题与试题精解)张凯院徐仲编西北工业大学出版社图书在版编目(CIP) 数据矩阵论同步学习辅导/ 张凯院,徐仲编. —西安: 西北工业大学出版社,2002. 8ISBN7-5612-1542-8Ⅰ. 矩⋯Ⅱ. ①张⋯②徐⋯Ⅲ. 矩阵-理论-高等学校-教学参考资料Ⅳ. 0151. 21中国版本图书馆CIP数据核字( 2002 )第062114 号出版发行: 西北工业大学出版社通信地址: 西安市友谊西路127 号邮编: 710072 电话: 029 - 8493844网址: ht tp: / / www. nwpup. com印刷者: 印刷厂开本: 850×1 168mm1/32印张:字数:版次: 2002 年8 月第1 版2002 年8 月第1 次印刷印数: 1～定价: 元【内容简介】本书由两部分内容组成。
第一部分按照程云鹏等编的研究生教材《矩阵论》(第2 版)的自然章节,对矩阵论课程的基本概念、主要结论和常用方法做了简明扼要的分类总结, 对各章节的课后习题做了详细的解答; 第二部分收编了近年来研究生矩阵论课程的考试试题12 套和博士入学考试试题3 套,并做了详细的解答。
本书叙述简明,概括性强。
可作为理、工科研究生和本科高年级学生学习矩阵论课程的辅导书,也可供从事矩阵论教学工作的教师和有关科技工作者参考。
—Ⅳ—前言矩阵论是高等学校和研究院、所面向研究生开设的一门数学基础课。
作为数学的一个重要分支,矩阵理论具有极为丰富的内容;作为一种基本工具,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应用。
因此,学习和掌握矩阵的基本理论与方法, 对于研究生来说是必不可少的。
矩阵论课程的理论性强,概念比较抽象,而且有独特的思维方式和解题技巧。
读者在学习矩阵论课程时,往往感到概念多、结论多、算法多, 对教学内容的全面理解也感到困难。
为了配合课堂教学, 使研究生更好地掌握该门课程的教学内容,我们编写了这本同步学习辅导书。
矩阵论-第二章 -程云鹏版
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
2
1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： 当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
14
定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设 都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩 同的，即若 阵。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
15
2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数 ，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
矩阵论简介及线性代数复习PPT课件
的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为
A = (aij)m×n 或 A = (aij) ,
m×n 矩阵 A 也记作 Am×n .
-
16
2) 方阵 列矩阵 行矩阵
对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.
n
cij aikbkj
k 1
( i = 1,2, … , s ; j = 1, 2, … , m),
AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij)
则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.
-
22
矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算
yy21 aa1211xx11 aa1222xx22 aa1233xx33
是成立的, 即
|AB| = |A||B | = |B||A| = |BA| .
-
34
3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗? 答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律.
例如
A 1 00 0 ,B 0 01 0 ,C 0 00 0 ,
则 AB = AC , 但 B C.
A11 A21
A*
A12
A22
A1n
A2n
An1
An2
,
Ann
叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
-
32
思考
1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘 运算吗?
答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.
矩阵论范数理论
第二章 范数理论在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。
虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。
本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。
§2.1 向量范数定义 2.1 若对任意n C x ∈都有一个实数x与之对应，且满足：（1） 非负性：当x 0 x0 x 0x 0 ?==时，；当，；（2） 齐次性：对任何C xx ll l ?，； （3） 三角不等式：对任意n x,y C Î，都有x y ,x y +?则称x为n C 上的向量x 的范数，简称向量范数。
定义中并未给出向量范数的计算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。
从范数定义可得范数的下列基本性质。
定理2.1 对任意，n C y x,∈有 （1）x -=x；（2）x .y xy -?只证（2）。
根据三角不等式，有x x y y x y y =-+?+ y y x x yx x=-+?+综合二式即得x y x y-?证毕例 2.1 设12n ().T n x C x x x = ，， 规定2x =第一章已表明2x是向量x 的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具有如下重要的性质，对任意n x C Î和任意n 阶酉矩阵U ，有22Ux .x =称之为向量2-范数的酉不变性。
例2.2 设12n x ().T n C x x x =，，规定11x nkk x ==å则1x 是向量x 的一种范数，称为向量1-范数。
证当111x 0x 0 x 0x 0x 0.nk k x =?>==å时，显然；当时，的每一分量都是，故对任意λ C , Î有n1111x nkk k k x l l xlx l =====邋又对任意12y (,,).T n n C h h h =有1111111()n nn nkk k k kk k k k k x y x y xh x h xm ====+=+?=+=+邋邋故1x是n C 上的一种向量范数。
第二章 向量与矩阵的范数 PPT课件
n i 1
bi q )
1
1
ab(
1 p
1 q
)
n i1
p ai
p n q i1 bi
q
Minkowski不等式：设
a1,a2,L ,an T , b1,b2,L ,bn T Cn
则对任何 p 1都有
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
1 1 1 pq
可得
i1
n
(
ai bi p ) 1 p ( n
ai p ) 1 p ( n
bi p ) 1 p
i 1
i 1
i 1
几种常用的范数
定义：设向量 a1, a2,L , an T ，对任
意的数 p 1 ，称 n
( p
ai p ) 1 p
i 1
为向量 的 p 范数。
2
F
2
例2 设 X 是向量的范数，则
AX A max
X 0 X
满足矩阵范数的定义，且 A 是与向量范
X 相容的矩阵范数。
证明 首先我们验证此定义满足范数的四 条性质。非负性，齐次性与三角不等式易 证。现在考虑矩阵范数的相容性。
由A
AX max
X 0 X
AX
A AX A X
n
n
1n
1
ai bi p ( ai p ) p ( ai bi p )q
i1
i1
i1
n
1n
1
( bi p ) p ( ai bi p )q
i1
i1
n
1
n
1n
1
[( bi p ) p ( bi p ) p ]( ai bi p )q
矩阵论——讲稿
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
例 3 K = R 时， R n —向量空间；
R m×n —矩阵空间
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
3
Pn[t]—多项式空间； C[a,b] —函数空间 K = C 时， Cn —复向量空间； Cm×n —复矩阵空间 例 4 集合 R + = {m m是正实数 } ，数域 R = {k k是实数 } ．
0
a 12
a
22
ai
j1
I
S 2
=
{A
=
a11
0
0
a
22
a 11
, a22
∈
R}
S 1
U
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a
22
aa 12 21
=
0,
ai
j
∈
R}
S 1
+
S 2
=
{A
=
a11 a21
a 12
a 22
ai j ∈ R}
2．数域：关于四则运算封闭的数的集合．
2．减法运算：线性空间V 中， x − y = x + (− y) ．
矩阵论课件
2、向量的长度—（—f (模x),或g(范x)数） f (k)g(k)
k 1
3、Cauchy-Schwarz不等式 （常见的要记住）
Hale Waihona Puke （| ，）|| | | |
n
n
n
| ai bi |
| ai |2
| bi |2
4、施密i特1 正交化方i法1
i 1
三、向量空间的正交性
向量正交：（，） 0 正交
（1） a111 a212 am1m （2） a121 a222 am2m ：
（m） a1m1 a2m2 ammm
(（1）,（2）,（m）） (1,2 ,m ) A a11 a12 a1m
称A为线性变换 在基1，2，m下的矩阵
A
a21 :am1
a22 a2m
am2 amm
（3）酉阵的行列式之模为1 （4）酉阵的特征值之模为1
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
6、基R与2 中维，数常的用几基何i解 释(1—,0—),直j 观 (解0,释1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
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lim sin k 不存在。
k
§2 方阵范数
例 对于 A (aij ) Cnn，规定
nn
A m1
aij
i1 j1
则 A m1是 Cnn上的矩阵范数，称之为 m1-范数。
证 前三条公理必成立，只证公理(4)。 设
B (bij )nn，则
i 1
i 1
i 1
n
n
n
或
xi yi
xi 2 yi 2 x 2 y 2
i 1
i 1
i 1
则有
n
n
x
y
2 2
xi yi 2 ( xi yi )2
i 1
i 1
n
n
n
xi 2 2 xi yi yi 2
i 1
i 1
i 1
x
2 2
2
x
2
y2
y
2 2
(
x
2
y 2)2
例2 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
xb
y
。
b
例如，取 • a为 Cn上的向量1-范数，又取n阶可逆
矩阵 A diag(1, 2, , n)，则
n
n
x b Ax 1 ixi i xi
i 1
i 1
x1 2 x2 n xn
这是一种新的向量范数。
例6 设A是n阶Hermite正定矩阵，规定
x A xH Ax (x Cn ) 则 x A 是Cn上的向量范数，称之为椭球范数。
i
max yi
i
x
y
例4 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
n
x p (
xi
p
)
1 p
(1 p )
i 1
则它是一种向量范数，称为向量 p-范数。
注 证明第三条公理时要用到Hölder不等式
1
1
n xi yi n xi p p n yi p p
i 1
i1 i1
n max xi
i
n x
于是向量的2-范数与-范数等价。结合诸不等式得
x 1 n x n x 2 n n x n n x1
即有
1 n
x1
x2
n x1
于是向量的2-范数与1-范数等价。
例 向量序列 x(k) (2 1 , (1 1)k , 2)T， kk
当 k 时，收敛于向量 x (2, e, 2)T；
n nn
n nn
AB m1 i1
aik bkj
j1 k 1
i1
( aik bkj )
j1 k 1
n nn
n
( aik bkj )
i1 j1 k 1 k 1
nn
nn
(
aik )(
bjk )
i1 k 1
j1k 1
A m1
B m1
例 对于 A (aij ) Cnn，规定
A F
p
)
1 p
(
n
xi
yi
(
p
1)q
)
1 q
i 1
i 1
( x p
n
y p )(
xi
yi
p
)
1 q
i 1
p
( x
p
y
p)
x
y
q
p
整理得
p p
x y p q x p y p
即
x y p x p y p
例5 设A是n阶可逆矩阵， • a是Cn上的向量范数
(不一定是 p-范数)。 规定 x b Ax a x Cn
证 由于A是Hermite正定矩阵，所以存在酉矩阵
U使得
U H AU diag(1,2, ,n ) (i 0，i 1,2, , n)
于是
A U diag(1,2, ,n )U H
U diag( 1, 2 , , n ) diag( 1, 2 , , n )U H PHP
其中 P diag( 1, 2 , , n )U H是可逆矩阵。
n
n
aij 2
[tr(
AH
1
A)]2
i1 j1
则
A
是
F
Cnn上的矩阵范数，称之为
Frobenius范数。
简称 F-范数。
证
n nn
2
AB F aikbkj
i1 j1 k 1
n nn
( aik bkj )2
i1 j1 k 1
n
nn
[(
n
aik 2 )(
bkj 2 )]
i1 j1 k 1
第二章 范数理论
§1 向量的范数
例1 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
n
x 2
xi 2 xH x
i 1
则它是一种向量范数，称为向量2-范数。
注 直接证明第三条公理时要用到Cauchy
-Schwarz不等式
n
n
n
( xi yi )2
xi 2
yi 2
x
2 2
y
2 2
n
x 1 xi
i 1
则它是一种向量范数，称为向量1-范数。
证 (1) 0 1 0；当 x 0 时， x 1 0；
n
n
(2) kx 1
kxi k
xi
k
x
பைடு நூலகம்
；
1
i 1
i 1
n
n
(3) x y 1 xi yi ( xi yi )
i 1
i 1
n
n
xi yi x 1 y 1
( p 1,q 1, 1 1 1) pq
则当 p 1 时，
x
y
p p
n
xi yi p
n
xi yi xi yi p1
i 1
i 1
n
n
xi xi yi p1 yi xi yi p1
i 1
i 1
n
(
xi
p
)
1 p
(
n
xi
yi
(
p
1)q
)
1 q
i 1
i 1
n
(
yi
证明 • b是 Cn上的向量范数。
证 (1) 若 x 0，则 0 b A0 a 0 a 0；
若x 0，则 Ax 0(否则，若 Ax 0，两边左乘A-1得
A1Ax A10，即 x 0，矛盾) 于是 x b Ax a 0
(2)
kx b
A(kx) a
k
Ax a k
x
；
b
(3) x y b A( x y) a Ax a Ay a
k 1
nn
aik 2
nn
2
b jk
i1 k 1
j1k 1
AF BF
例 对于 A (aij ) Cnn，规定
A m
n max aij
i, j
则 A m是 Cnn上的矩阵范数，称之为 m-范数。
i 1
i 1
例3 对 x (x1, x2, , xn )T Cn，规定
x
max
i
xi
则它是一种向量范数，称为向量-范数。
证 (1) 0 0； 当 x 0 时，必有分量不为0，
于是 x 0；
(2)
kx
max
i
kxi
k
max
i
xi
k
x
(3)
x
y
max
i
xi
yi
max
i
(
xi
yi )
max xi
从而
x A xH Ax xHPHPx (Px)H (Px) Px 2 由例5知， x A 是Cn上的向量范数。
例 证明向量的1-、2-、-范数等价。
证 因为
n
x
max
i
xi
xi
i 1
x
1
n
max
i
xi
n x
所以向量的1-范数与2-范数等价；又有
n
x
max
i
xi
xi 2 x 2
i 1