人教A版高中必修二试题第四章：圆与方程(基础训练)题
高中数学人教A版必修二：第四章《圆与方程》单元试卷(2)(Word版,含解析)
第四章圆与方程单元检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线y ＝x ＋10与曲线x 2＋y 2＝1的位置关系是( )． A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．不能确定2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )． A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝13．点P (x ，y ，z )2=，则点P 在( )．A ．以点(1,1，－1)为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)为球心，2为半径的球面上D ．无法确定4．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则l 的方程是( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0 D ．x －y ＋2＝0 5．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且只有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )．A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对7．过点P (2,3)向圆x 2＋y 2＝1作两条切线P A 、PB ，则弦AB 所在直线的方程为( )． A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0 D ．3x －2y －1＝08．与圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．39．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为( )．A ．36πB ．12πC ．D ．4π10．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x －y －1＝0(x ≠1) C ．x －2y －1＝0(x ≠1) D ．x －2y －1＝0 11．若过定点M (－1,0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )．A ．0k <<B ．0k <<C ．0k <<D ．0＜k ＜512．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥k的取值范围是( )．A ．3[,0] 4- B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞)C ．[33-D ．2[,0]3-二、填空题(本题共4小题，，每小题4分，共16分)13．过直线l ：y ＝2x 上一点P 作圆C ：(x －8)2＋(y －1)2＝2的切线l 1，l 2，若l 1，l 2关于直线l 对称，则点P 到圆心C 的距离为__________．14．点P为圆x2＋y2＝1上的动点，则点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为__________．15．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．16．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为l垂直的直线的方程为________．三、解答题(本题共6小题，共74分)17．(12分)一圆和直线l：x＋2y－3＝0切于点P(1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．18．(12分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为的弦所在的直线方程．19．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．20．(12分)圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B.(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求线段AB的长．21．(12分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线和圆恒相交于两点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．22．(14分)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．答案与解析1.答案：B解析：1=>.2.答案：A解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，1=，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.方法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C.3.答案：C解析：根据两点间距离公式的几何意义，动点(x，y，z)满足到定点(1,1，－1)的距离恒等于2.4.答案：D解析：∵两圆圆心分别为(0,0)和(－2,2)，∴中点为(－1,1)，两圆圆心连线斜率为－1.∴l的斜率为1，且过点(－1,1)．∴l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.5.答案：B解析：⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，124C C=<，∴只有2条公切线．∴应选B.6.答案：C解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，1=-，解得a＝±3.7.答案：B解析：圆x2＋y2＝1的圆心为坐标原点O，以OP为直径的圆的方程为2231324(1)()x y－＋－＝.显然这两个圆是相交的，由22221313124x yx y⎧+=⎪⎨(-)+(-)=⎪⎩得2x＋3y－1＝0，这就是弦AB所在直线的方程．8.答案：C解析：两圆的圆心分别为(,1)2aA，B(2,0)，则AB的中点1(1,)42a+在直线x－y－1＝0上，即111042a+--=，解得a＝2，故选择C.9.答案：B解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝2＝12π.10.答案：C解析：圆心为(2m＋1，m)，r＝|m|(m≠0)．不妨设圆心坐标为(x，y)，则x＝2m＋1，y＝m，所以x－2y－1＝0.又因为m≠0，所以x≠1.因此选择C.11.答案：A解析：圆x2＋4x＋y2－5＝0可变形为(x＋2)2＋y2＝9，如图所示．当x＝0时，y±＝，结合图形可得A，∵AMk=∴(0k∈．12.答案：A解析：圆心(3,2)到直线y＝kx＋3的距离d，MN≥＝∴34k-≤≤.13.答案：解析：圆心C的坐标为(8,1)，由题意，得PC⊥l，∴PC的长是圆心C到直线l的距离．即PC=14.答案：1解析：∵圆心到直线的距离为1025d=＝，∴点P到直线3x－4y－10＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1.15.答案：(x－2)2＋y2＝10解析：由题意，线段AB中点M(3,2)，12ABk＝－12ABk＝－，∴线段AB中垂线所在直线方程为y－2＝2(x－3)．由223y xy-=(-)⎧⎨=⎩得圆心(2,0)．则圆C的半径r=故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.16.答案：x＋y－3＝0解析：设圆心(a,0)，∴222|1|a+＝－,∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x＋y－3＝0.17.解：设圆心坐标为C(a，b)，圆的方程即为(x－a)2＋(y－b)2＝25.∵点P(1,1)在圆上，则(1－a)2＋(1－b)2＝25.①又l为圆C的切线，则CP⊥l，∴121ba-=-.②联立①②解得11ab⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或112ab⎧=-⎪⎨=-⎪⎩即所求圆的方程为(x－12＋(y－1－2＝25或(x－12＋(y－1＋2＝25.18.解：设弦所在的直线方程为x＋y＋c＝0.①则圆心(0,0)到此直线的距离为||2dc=.因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以2220+＝.由此解得c＝±2，代入①得弦的方程为x＋y＋2＝0或x－y－2＝0.19.解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为半径的圆．20.解：(1)两圆方程相减，得4x －4y ＋1＝0，即为AB 的方程．两圆圆心连线即为AB 的垂直平分线，所以AB 的垂直平分线的方程过两圆圆心，且与AB 垂直． 则AB 的垂直平分线的斜率为－1.又圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心为(1,0)，所以AB 的垂直平分线的方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.(2)圆x 2＋y 2－2x －5＝0的半径、圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心到AB 的距离、AB 长的一半三者构成一个直角三角形的三条边，圆x 2＋y 2－2x －5＝0可化为(x －1)2＋y 2＝6，所以圆心(1,0)，半径，弦心距8=，由勾股定理得222||()(28AB +=，解得2AB ＝.21.解：(1)由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0.则27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩∴直线l 恒过定点A (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，∴(3,1)在圆C 的内部，故l 与C 恒有两个公共点．(2)当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，有l ⊥AC ，由12AC k ＝－，得l 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0.22.解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3+，(3-．故可设C 的圆心为(3，t )，则有22223(1)t t +＋－＝，解得t ＝1.则圆C 3=所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：22319.x y a x y -+=⎧⎨(-)+(-)=⎩ 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.因此1,2(82)4a x -±＝，从而x 1＋x 2＝4－a ，212212a x x a -+＝.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.。
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
人教A版高中数学必修二第4章《圆与方程》单元测试题(1)(含解析)
圆与方程一、选择题 1 圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点， 则AB 地垂直平分线地方程是（ ）A. 30x y ++= B 250x y --= C 390x y --= D 4370x y -+=2 方程211(1)x y -=--表示地曲线是（ ）A 一个圆B 两个半圆C 两个圆D 半圆3 已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ， 当直线l 被C 截得地弦长为32时，则a =（ ） A 2 B 22-C 12-D 12+4 圆1)1(22=+-y x 地圆心到直线x y 33=地距离是（ ）A 21 B 23 C 1 D 35 直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得地劣弧所对地圆心角为（ ）A 030B 045 C 060 D 090 6 圆122=+y x 上地点到直线02543=-+y x 地距离地最小值是（ ）A 6B 4C 5D 17 两圆229x y +=和228690x y x y +-++=地位置关系是（ ）A 相离B 相交C 内切D 外切二、填空题 1 若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 地坐标为 2 若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 地取值范围是___________；若有一个交点，则b 地取值范围是________；若有两个交点，则b 地取值范围是_______； ３ 把圆地参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________ ４ 已知圆C 地方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -地直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 地方程是________________ ５ 如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么x y 地最大值是________6 过圆22(2)4x y +-=外一点(2,2)A -，引圆地两条切线，切点为12,T T ， 则直线12T T 地方程为________ 三、解答题1 求由曲线22x y x y +=+围成地图形地面积2 设10,x y -+=求229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d 地最小值3 求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上地圆地方程4 平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，点P 在圆周()()44322=-+-y x 上，求使22BP AP +取最小值时点P 地坐标数学2（必修） 第四章 圆和方程参考答案一、选择题 1 C 由平面几何知识知AB 地垂直平分线就是连心线2 B 对x 分类讨论得两种情况3 C 231,212a d a -+===4 A 3111332d =+=5 C 直线地倾斜角为0120，得等边三角形6 B 514d r -=-=7 B 43543-<<+二、填空题1 (0,0,3) 设(0,0,),,P z PA PB =则2214(1)44(2),3z z z ++-=++-=2 [1,2]-；[){}1,12-U ；)1,2⎡⎣ 曲线21x y -=代表半圆 3 22(1)(3)4x y -++= 4 30x y -+= 当AB CP ⊥时，AB 最小，1,1,21CP l k k y x =-=-=+5 3 设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x ==-+=+-+=，2164(1)0,33k k ∆=-+≥-≤≤另可考虑斜率地几何意义来做 6 220x y -+= 设切点为1122(,),(,)x y x y ，则1AT 地方程为11(2)(2)4x x y y +--=2AT 地方程为22(2)(2)4x x y y +--=，则1124(2)4,x y --=2224(2)4x y --=24(2)4,220x y x y ∴--=-+=三、解答题1. 解：当0,0x y ≥≥时，22111()()222x y -+-=，表示地图形占整个图形地14而22111()()222x y -+-=，表示地图形为一个等腰直角三角形和一个半圆 1114(11)2222S ππ∴=⨯⨯+⨯⨯=+ 2. 解：229304341062222+--+++-++=y x y x y x y x d=可看作点(3,5)A -和(2,15)B到直线10,x y -+=上地点地距离之和，作(3,5)A -关于直线10,x y -+=对称地点'(4,2)A -，则'min d A B == 3 解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 地垂直平分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y ∴-+-= 4 解：在ΔABP 中有22221(4)2AP BP OP AB +=+，即当OP 最小时，22BP AP +取最小值，而min 523OP =-=，394129123,3,(,)555555x y P P P =⨯==⨯=。
(新课标)高中数学 素质章节测试题 第四章 圆与方程 新人教A版必修2
新课标高中数学人教版必修2 素质章节测试题——第四章 圆与方程（时间：120分钟 总分值：150分）姓名 _______评价_______一、选择题（每题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1.（11四川）圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)2．（09重庆）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离3. (12山东)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）A. 内切B.相交C.外切D.相离4.（11安徽）假设直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心，那么a 的值为（ ） A.-1B. 1C. 3D. -35.（0830x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，那么实数m 等于（ ）A ．33-3B ．33-33C 3或3D ．3-336.（08广东）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A.10x y ++=B.10x y +-=C.10x y -+=D.10x y --= 7. (09重庆)圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=8．(08四川延考区)过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，那么AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．3D ．259. (09上海)点)2,4(-P 与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A.22(2)(1)1x y -++= B.22(2)(1)4x y -++= C.22(4)(2)4x y ++-= D.22(2)(1)1x y ++-=10. (09宁夏)已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，那么圆2C 的方程为（ ）A.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=111．(10湖北)假设直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A.[1-1+1，3] C.[-1，1+D.[1-3]12.（11全国Ⅰ）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），那么两圆心的距离12C C =（ ） A ．4B． C ．8D．二、填空题（每题5分，共20分. 将你认为正确的答案填写在空格上）13.（10新课标）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ．14. (09全国Ⅱ)已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），那么过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ．15.（07天津14）已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于A B ，两点，那么直线AB 的方程是 ．16.（09天津）设假设圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，那么=a ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.（此题总分值10分，05江苏19）如图, 已知⊙O 1和⊙O 2的半径都是1, O 1O 2 = 4, 过动点P 分别作⊙O 1和⊙O 2 的切线PM 、PN (M 、N 为切点), 使得PM =2PN, 试建立适当的直角坐标系, 求动点P 的轨迹方程.18.（此题总分值12分，07北京19）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （Ⅰ）求AD 边所在直线的方程； （Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（Ⅲ）假设动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．19.（此题总分值12分，11新课标20）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）假设圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．20.（此题总分值12分，11陕西理17）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且45MD PD =.（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度.21.（此题总分值12分，08宁夏文20）已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=.（Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？22.（此题总分值12分，08江苏18）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数()()22=++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．f x x x b x R（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.新课标高中数学人教版必修2 素质章节测试题——第四章 圆与方程（参考答案）一、选择题答题卡： 二、填空题13.222=+y x . 14. 425． 15.03=+y x ． 16. ____2___． 三、解答题17. 解：以O 1O 2所在直线为x 轴，线段O 1O 2的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，如下图. 那么).0,2()0,2(21O O ，-设动点P 的坐标为)(y x ，. 连结O 1P 、O 1M 、O 2P 、O 2N ，那么∠O 1M P=∠O 2N P=90º. 由PM =2PN 得.222PN PM =即).(222222121N O PO M O PO -=-所以[]1)2(21)2(2222-+-=-++y x y x . 整理得.031222=+-+x y x故动点P 的轨迹方程为.031222=+-+x y x18. 解：（Ⅰ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．解法二：设直线AD 的方程为03=++λy x ，因为点(11)T -，在直线AD 上，所以.2,013==++-λλ从而 故AD 边所在直线的方程为320x y ++=．（Ⅱ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又=r AM == 从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=． （Ⅲ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径. 又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤．19. 解：（Ⅰ）曲线162+-=x x y 中，当0=x 时，1=y ；当0=y 时，0162=+-x x .曲线与y 轴的交点为（0，1）.设圆C 的方程为022=++++F Ey Dx y x ，那么01=++F E .………………① 当0=y 时，得02=++F Dx x ，它与0162=+-x x 是同一方程，.16-==∴F D ，代入①，得.2,011-=∴=++E E所以圆C 的方程为012622=+--+y x y x.（Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：⎩⎨⎧=+--+=+-.0126,022y x y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a 即.01442<-+a a212,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA⊥OB，可得0=⋅OB OA ，即,02121=+y y x x又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得0)4(1222=+-++-a a a a a ，即0122=++a a ，1-=∴a ，满足,0>∆故.1-=a20. 解：（Ⅰ）因为45MD PD =，所以.||45||MD PD = 设点M 的坐标为)(y x ，，点P 的坐标为)(p p y x ，.由已知得,45⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x p p∵点P 在圆2225x y +=上， ∴ 2254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即C 的方程为2212516x y +=. 故点M 的轨迹C 的方程为2212516x y +=. （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 设直线与C 的交点为()()1122,,,A x y B x y将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=.∴1233,22x x -+==. ∴ 线段AB 的长度为415AB ====.或设)()(2211y x B y x A ，，，，那么.832121-==+x x x x ，[]2122124)()1(||x x x x k AB -++=∴.5412541)329)(25161(2==++=21. 解：（Ⅰ）直线l 的斜率21mk m =+， 当0=m 时，0=k ；当0≠m 时，m m k 11+=； 当0>m 时，.210,211≤<∴≥+=k m m k当0<m 时，.021,2)1(1<≤-∴≥-+-=-k m m k综上，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（Ⅱ）不能．由2(1)4mx m y m -+=得0)1()4(2=+--y m x m ， 当4=x 时，0=y ，所以不管m 为何值直线l 恒经过点)0,4(. 设l 的方程为(4)y k x =-，即04=--k y kx ，其中12k ≤． 由2284160x y x y +-++=得.4)2()4(22=++-y x 所以圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l 的距离d =．l由12k ≤，得1d >，即2rd >．从而，假设l 与圆C 相交，那么圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π． 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．22. 解：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且044>-=∆b ，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=，它与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得02=++F Ey y ，此方程有一个根为b ，代入得出1--=b E ． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）由222(1)0x y x b y b ++-++=得0)1(222=-+-++b y y x y x .当1=y 时，得022=+x x ，.02=-=∴x x ，或所以，不管b 为何值，圆C 必过定点)1,0()12(和，-．。
高中数学第四章圆与方程检测试题含解析新人教A版必修2
第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。
人教A版高中数学必修2第四章第1节《圆与圆的方程》专题训练(含解析)
圆与圆的方程同步训练一．选择题.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程022=++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是 A ．21>k B ． 21≤k C ． 210<<k D ． 21<k 2. 已知圆02222=++++k y kx y x ，当圆的面积最大时，圆心的坐标是 A ．)1,1(- B ．)1,1(- C ．)0,1(- D ．)1,0(-3. 已知点)2,1(P 和圆C ： 02222=++++k y kx y x ，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是 A ．)332,(-∞ B ．)332,332(- C ．R D ． )0,332-( 4. 已知点()()2,0,0,2B A -，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最大值是A ．6B ．8C ．23-D ．23+5. 若P 是圆C ：1)3()3(22=-++y x 上任一点，则点P 到直线1-=kx y 距离的最大值A ．4B ．6C ．123+D ．101+ 6. 当点P 在圆122=+y x 上运动时，连接它与定点)0,3(Q ，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是A ．1)3(22=++y x B ．1)3(22=+-y x C ．14)32(22=+-y x D ．14)32(22=++y x7. 若圆C ：0104422=---+y x y x 上至少有三个不同点到直线l ：0=+-m y x 的距离为22，则m 的取值范围是A ．]22,22[-B ．)22,22(-C ．]2,2[-D ．)2,2(- 8. 直线1+=kx y 与圆4)1()2(22=-+-y x 相交于P 、Q 两点.若22≥PQ ，则k 的取值范围是 A ． ]0,43[-B ．]1,1[-C ． ]33,33[-D ．]3,3[- 9. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是 A ． 2-=b B ．11≤≤-b C ．211-=≤<-b b 或 D ．22≤≤-b10. 在矩形ABCD 中，21==AD AB ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AD AB AP μλ+=，则μλ+的最大值为A ． 3B ． 22C ．5 D ． 2二．填空题.11. 设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则直线l 的斜率是_______． 12. 两圆04422=-++y x y x 和08222=-++x y x 相交于两点N M ，，则线段MN 的长为 ．13. 直线l 过点)2,0(，被圆C ： 096422=+--+y x y x 截得的弦长为32，则直线l的方程是 .三．解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知圆心为C 的圆经过三个点）（0,0O 、)4,2(-A 、)1,1(B ． （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 的斜率为34-，在y 轴上的截距为1-，且与圆C 相交于Q P ,两点，求OPQ ∆的面积．15．已知圆C 经过)3,1(-P ， )2,2(-Q ，圆心C 在直线01=-+y x 上，过点)1,0(A ，且斜率为k 的直线l 交圆C 于M 、N 两点． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，且12=⋅OM ，求直线l 的方程．16．已知过点)4,0(A ，且斜率为k 的直线与圆C ： 1)3()2(22=-+-y x ，相交于不同两点M 、N .（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求证： →→⋅AN AM 为定值；（Ⅲ）若O 为坐标原点，问是否存在以MN 为直径的圆恰过点O ，若存在则求k 的值，若不存在，说明理由.17．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线0103=--y x 与圆O ：)0(222>=+r r y x 相切．（Ⅰ）直线l 过点)1,2(且截圆O 所得的弦长为62，求直线l 的方程；（Ⅱ）已知直线3=y 与圆O 交于B A ,两点，P 是圆上异于B A ,的任意一点，且直线BP AP ,与y 轴相交于N M ,点．判断点N M ,的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.圆与圆的方程专题训练参考答案11．33±12．5512 13．2234=+=y x y 或 1．D 【解析】方程022=++++k y x y x 表示一个圆，需满足0411>-+k ，∴21<k .. 2．D 【解析】当圆的半径最大时，圆的面积最大，已知圆的一般方程02222=++++k y kx y x ，其圆心为)1,2--k（ ，半径为2342k r -=， 可知当0=k 时，r 取最大值，即圆的面积最大时，圆心的坐标为)1,0(-.3．B 【解析】由于过P 可以做圆的两条切线，故P 点在圆外.将P 点的坐标代入圆的方程得， 04412>++++k k ，即092>++k k ，由于其判别式为负数，故恒成立. 另外二元二次方程是圆的方程，要满足0422>-+F E D ，即042222>-+k k ，即342<k ，解得 ⎝⎛⎪⎪⎭⎫-∈332,332k . 4．D 【解析】因为AB 为定值，所以当C 到直线AB 距离最大时，ABC ∆面积取最大值，因为点C 是圆0222=-+x y x ，即1)1(22=+-y x 上任意一点，所以C 到直线AB 距离最大为圆心)0,1(到直线AB ： 02=+-y x 距离加半径1，即122312201+=++-，所以max )(ABC S ∆=2322)1223(21+=⨯+. 5．B 【解析】由题得直线过定点)1,0(-，所以圆心)3,3(-到定点的距离为5)13()03(22=++--， 所以点P 到直线1-=kx y 距离的最大值为615=+.6．C 【解析】设动点),(00y x P ，PQ 的中点为),(y x M ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=22300y y x x ，解得⎩⎨⎧=-=yy x x 23200，∵点),(00y x P 在圆122=+y x 上运动,∴1)2()32(22=+-y x ，化简得14)32(22=+-y x . ∴所求动点M 的轨迹方程是14)32(22=+-y x .7．C 【解析】圆C 化为标准方程得18)2()2(22=-+-y x ， 因为圆C 上至少有三个不同点到直线l ：0=+-m y x 的距离为22，所以圆心到直线距离不大于22223=-，即2222≤+-m，所以22≤≤-m ．8．B 【解析】若2≥PQ ， 则圆心)1,2(到直线1+=kx y 的距离2)222(42=-≤d , 即2122≤+kk ， 解得]1,1[-∈k .9．C 【解析】因为曲线方程表示一个在y 轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为)0,0(，半径1=r ，画出相应的图形，如图所示：∵当直线b x y +=过)1,0(-时，把)1,0(-代入直线方程得1-=b ， 当直线b x y +=过)1,0(时，把)1,0(代入直线方程得：1=b ，∴当11≤<-b 时，直线b x y +=与半圆只有一个交点，又直线b x y +=与半圆相切时，圆心到直线的距离r d =，即12=b ，解得： 2=b （舍去）或2-=b ，综上，直线与曲线只有一个交点时， b 的取值范围为211-=≤<-b b 或． 10．A 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设)1,0(A ，)0,0(B ，)0,2(C ，)1,2(D ，),(y x P ,易得圆的半径52=r ，即圆C 的方程是54)2(22=+-y x ， )1,(-=y x ，),1,0(-=）0,2(=，若满足μλ+=， 则⎩⎨⎧-=-=λμ12y x ，2x =μ，y -=1λ，所以12+-=+y xμλ，设12+-=y x z ，即012=-+-z y x ，点),(y x p 在圆54)2(22=+-y x 上， 所以圆心)0,2(到直线012=-+-z y x的距离r d ≤，即521412≤+-z ，解得31≤≤z ，所以z 的最大值是3，即μλ+的最大值是3.11．33±【解析】由圆的方程知圆心为)0,0(，半径为1，由已知得直线的斜率存在， 故设直线方程: )2(0+=-x k y ,即02=+-k y kx∵直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切， ∴圆心到直线的距离112)1(2222=+=-+=k k k k d ，解得33±=k ． 12．5512【解析】∵两圆为04422=-++y x y x ①，08222=-++x y x ②， ①﹣②可得：042=+-y x ， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是042=+-y x ， ∵04422=-++y x y x 的圆心坐标为）（2,2-，半径为22， 则圆心到公共弦的距离为5522144222=++--=d ， 公共弦长为5512)552()22(222=-. 13．2234=+=y x y 或【解析】因为直线l 被圆C ：096422=+--+y x y x ， 即4)3()2(22=-+-y x 截得的弦长为32，所以圆心到直线距离为1)3(42=-，设直线l 的方程为2+=kx y ，（斜率不存在时不满足题意），则112322=++-kk ，解得 0=k 或34=k ，即直线l 的方程是234+=x y 或2=y . 14．【解析】（Ⅰ）设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++-+=0110421640F E D F E D F ，解得2=D ，4-=E ， 0=F ． 所以圆C 的方程为04222=-++y x y x ；（Ⅱ）圆04222=-++y x y x 的圆心坐标为)2,1(-C ，半径为5．直线l 的方程为134--=x y ，即0334=++y x ．圆心到直线l 的距离1343324122=++⨯+⨯-=d ，41)5(22=-=PQ ，O 到直线l 的距离5334322=+=d ， OPQ ∆∴的面积5645321=⨯⨯=S ． 15．【解析】（Ⅰ）设圆M 的方程为222)()(r b y a x =-+-，则依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+01)2()-2-)3()-1-222222b a r b a r b a （（， 解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=132r b a ， 所以圆M 的方程为1)3()2(22=-++y x ； （Ⅱ）依题意可知，直线l 的方程为1+=kx y ，设),(11y x M ， ),(22y x N ，将1+=kx y 代入1)3()2(22=-++y x 并整理得：07)1(4)1(22=+-++x k x k ，所以2211)1(4k k x x +-=+，22117k x x +=⋅， 所以1281)1(41)()1(2212122121=++-=++++=+=⋅kk k x x k x x k y y x x ， 即41)1(42=+-kk k ，解得1-=k ； 又当1-=k 时0>∆，满足题意； 所以1-=k ，直线l 的方程为1+-=x y .16．【解析】（Ⅰ）（法一）设直线方程为4+=kx y ，即04=+-y kx ，点)3,2(C 到直线的距离为1112143222<++=++-=k k k k d ,解得034<<-k . （法二）设直线方程为4+=kx y ，联立圆C 的方程得04)24-)1(22=+-+x k x k （,此方程有两个不同的实根,所以0)1(44)2-422>+⨯-=∆k k （，解得034<<-k ；（Ⅱ）设直线方程为4+=kx y ，联立圆C 的方程得04)24-)1(22=+-+x k x k （, 设),(11y x M ，),(22y x N ,则221124k k x x +-=+，22114k x x +=⋅， 则4)1(),(),()4,)4,(21222112211=+=⋅=-⋅-=⋅→→x x k kx x kx x y x y x AN AM （； （Ⅲ）假设存在满足条件的直线，则002121=+⇒=⋅⇒⊥→→y y x x NO MO NO MO ，16)(4)4)(4(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ，得016)(4)1(21212=++++x x k x x k ，从而得05432=++k k ,因为06016<-=∆，此方程无实根，所以不存在以MN 为直径的圆过原点. 17．【解析】（Ⅰ）∵直线0103=--y x 与圆O ： )0(222>=+r r y x 相切， ∴圆心O 到直线0103=--y x 的距离为109110=+=r ．记圆心到直线l 的距离为d ，∴2610=-=d当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2=x ，满足题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程)2(1-=-x k y ，即0)21(=-+-k y kx ． ∴21212=+-=k kd ，解得43-=k ，此时直线l 的方程为01043=-+y x ．综上，直线l 的方程为2=x 或01043=-+y x ； （Ⅱ）点N M ,的纵坐标之积为定值10．设),(11y x P ，∵直线3=y 与圆O 交于B A ,两点，不妨取）（3,1A ，)3,1(-B ，∴直线PB PA ,的方程分别为)1(13311---=-x x y y ，)1(13311++-=-x x y y ．— (圆与圆的方程) — 令0=x ，得)13,0(111--x y x M ，)13,0(111++x y x N ， 则1-91313212121111111-=++⋅--=⋅x y x x y x x y x y y N M （*）． ∵点),(11y x P 在圆C 上，∴ 102121=+y x ，即212110x y -=，代入（*）式，得101)x -(10-9212121=-=⋅x x y y N M 为定值．。
【人教A版】高中数学必修2第四章《圆与方程》单元测试题
高中数学必修2第四章《圆与方程》单元测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线y＝x与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．点(1，1)不在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．－1<a<1B．0<a<1C．a≤－1或a≥1 D．a＝±13．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m>－12B．m<－12C．m≤－12D．m≥－124．空间直角坐标系中，已知A(2，3，5)，B(3，1，4)，则A，B两点间的距离为()A．6 B. 6C.30D.425．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1 B．2C. 2 D．2 26．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于() A．4 B．2 3C．3 2 D．4 27．与圆(x＋2)2＋y2＝2相切，且在x轴与y轴上的截距相等的直线条数是()A ．1B ．2C ．3D ．48．直线l 过点(－2，0)，l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 9．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－3410．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相内切，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．011．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或412．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )A ．0＜k ＜ 5B ．－5＜k ＜0C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．14．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数是________．15．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．16．已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为42的圆的方程．18．(本小题满分12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心在C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求MN的最大值．19．(本小题满分12分)过原点O作圆C：x2＋y2＋6x＝0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|＝|AN|，求点N的轨迹方程．20．(本小题满分12分)求与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程．21．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x－2ay＋a2－24＝0(a∈R)的圆心在直线2x－y＝0上．(1)求实数a的值；(2)求圆C与直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)相交弦长的最小值．22．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为原点O，且与直线x＋y＋42＝0相切．(1)求圆C的方程；(2)点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线P A，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．高中数学必修2第四章《圆与方程》单元测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线y＝x与圆x2＋y2＝1的位置关系为()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：圆心(0，0)在直线y＝x上，故选C.答案：C2．点(1，1)不在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．－1<a<1B．0<a<1C．a≤－1或a≥1 D．a＝±1解析：因为点(1，1)不在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2≥4，所以a≤－1或a≥1.答案：C3．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m>－12B．m<－12C．m≤－12D．m≥－12解析：由题意得1＋1＋4m>0，解得m>－1 2.答案：A4．空间直角坐标系中，已知A(2，3，5)，B(3，1，4)，则A，B两点间的距离为()A．6 B. 6C.30D.42解析：|AB|＝（3－2）2＋（1－3）2＋（4－5）2＝ 6.答案：B5．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为() A．1 B．2C. 2 D．2 2解析：圆心(－1，0)，直线x－y＋3＝0.所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案：C6．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于()A．4 B．2 3C．3 2 D．4 2解析：公共弦方程为x－2y＋6＝0，圆x2＋y2＋2x－12＝0的圆心(－1，0)，半径r＝13，d＝ 5.所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D7．与圆(x＋2)2＋y2＝2相切，且在x轴与y轴上的截距相等的直线条数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为xa＋ya＝1，即x＋y－a＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a＝－4，即此时切线为x＋y＋4＝0，故共有3条．答案：C8．直线l过点(－2，0)，l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，斜率k的取值范围是()A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18 解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，圆x 2＋y 2＝2x 化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到直线的距离小于半径，即|3k |k 2＋1＜1，解得－24＜k ＜24.答案：C9．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由于反射光线经过点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)，故设反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，由直线与圆相切的条件可得|5k ＋5|1＋k2＝1，解得k ＝－43或－34.答案：D10．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0相内切，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0解析：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0的圆心为(a ，0)，半径为1，两圆内切，故（a －0）2＋（0－0）2＝|2－1|，所以a ＝±1. 答案：C11．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4解析：圆的半径r ＝2，圆心(a ，0)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|a －2|2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＋(2)2＝22，得a ＝0或a ＝4. 答案：D12．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )A ．0＜k ＜ 5B ．－5＜k ＜0C ．0＜k ＜13D ．0＜k ＜5解析：定点M (－1，0)在圆内，而圆与y 轴的正半轴交于(0，5)，所以0＜k ＜ 5.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149，故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，14914．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数是________．解析：圆C 1的圆心为C 1(－1，－1)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，1)，半径r 2＝2，圆心距|C 1C 2|＝32＋22＝13，|r 1－r 2|<13<r 1＋r 2，所以两圆相交．所以有两条公切线．答案：215．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝（2－1）2＋（－1）2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝216．已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________．解析：取AB的中点E，连接OE，过点C作BD的垂线，垂足为F，圆心到直线的距离d＝|3m－3|m2＋1，所以在Rt△OBE中，BE2＝OB2－d2＝3，所以d＝|3m－3|m2＋1＝3，得m＝－33，又在△CDF中，∠FCD＝30°，所以CD＝CFcos 30°＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为42的圆的方程．解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，|a |＝r ，b 2＋8＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r ＝3.所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.18．(本小题满分12分)点M 在圆心为C 1的方程x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上，点N 在圆心在C 2的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0上，求MN 的最大值．解：把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9及(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4.如图，C 1的坐标是(－3，1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以|C 1C 2|＝（－3＋1）2＋（1＋2）2＝13，因此，MN 的最大值是13＋5.19．(本小题满分12分)过原点O 作圆C ：x 2＋y 2＋6x ＝0的弦OA .(1)求弦OA 的中点M 的轨迹方程；(2)延长OA 到N ，使|OA |＝|AN |，求点N 的轨迹方程．解：(1)圆C ：x 2＋y 2＋6x ＝0可化为(x ＋3)2＋y 2＝9.如图①所示，连接CM ，则CM ⊥OA ，所以点M 的轨迹是以OC 为直径的圆，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，半径为32，所以弦OA 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝94，即x2＋y2＋3x＝0.图①图②(2)设点D为圆C与x轴的另一个交点，连接ND，AC，如图②所示，因为A，C分别为NO，DO的中点，所以|ND|＝2|AC|＝6，所以点N的轨迹是以D(－6，0)为圆心，6为半径的圆，其轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36，即x2＋y2＋12x＝0.20．(本小题满分12分)求与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程．解：如图所示，将圆方程配方是(x－6)2＋(y－6)2＝18，所以圆心为(6，6)，半径为3 2.圆心(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离d＝|6＋6－2|2＝5 2.设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则r＝52－322＝2，圆心(a，b)在直线y＝x上，且(a，b)到直线x＋y－2＝0的距离为 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋b －2|2＝2，a ＝b ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2ay ＋a 2－24＝0(a ∈R)的圆心在直线2x －y ＝0上．(1)求实数a 的值；(2)求圆C 与直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)相交弦长的最小值．解：(1)圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －a )2＝25，将圆心坐标(1，a )代入直线方程2x －y ＝0中，得a ＝2.(2)因为直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R)，所以l 恒过点M (3，1)． 由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短，又|CM |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，所以弦长为l ＝2r 2－|CM |2＝225－5＝4 5. 22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线x ＋y ＋42＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)点P 在直线x ＝8上，过点P 引圆C 的两条切线P A ，PB ，切点为A ，B ，求证：直线AB 恒过定点．解：(1)依题意得：圆C 的半径r ＝421＋1＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为P A ，PB 是圆C 的两条切线，所以OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，所以A ，B 在以OP 为直径的圆上，设点P 的坐标为(8，b )，b ∈R ，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，b 2，所以以OP 为直径的圆的方程为(x －4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 22＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ∈R ，化简得：x 2＋y 2－8x －by ＝0，b ∈R ，因为AB 为两圆的公共弦，所以直线AB 的方程为8x ＋by ＝16，b ∈R ，所以直线AB 恒过定点(2，0)．。
人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于圆心 到该直线的距离为 ，
故 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，即 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
18．解：（1）因为直线 的方程可化为 ，
所以 过直线 与 的交点 .
又因为点 到圆心 的距离 ，
所以点 在圆内，所以过点 的直线 与圆 恒交于两点．
参考答案
1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．A8．B9．D10．D11．A12．A
13． .
14．
15．
16．
17．解：（1）设圆 的方程为 ，
因为圆 过 三点，
所以有 ，解得 ， ，
∴ 外接圆 的方程为 ，
即 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 ，
得 或 ，此时弦长为 ，满足题意；
（2）由（1）可知：过点 的所有弦中，弦心距 ，
因为弦心距、半弦长和半径 构成直角三角形，
所以当 时，半弦长的平方的最小值为 ，
所以弦长的最小值为 .
此时， .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以当 时，得到最短弦长为 .
19．解：将方程 化为标准方程为 ，
此方程表示以 为圆心，2为半径的圆．
（1） 表示圆上的点 与定点 连线的斜率，
A． B．
C． D．
6．在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为（）
A． B． C． D．
7．圆 的圆心到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．2
8．已知直线l：y＝x＋m与曲线 有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A．［－1, )B．(－ ，－1］C．[1， )D．(－ ，1］
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资料名称: 新课标高中数学（必修2） 第四章圆与方程
（基础训练）测试题
一、选择题
１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A ．22(2)5x y -+=
B ．22(2)5x y +-=
C ．22(2)(2)5x y +++=
D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）
A. 03=--y x
B. 032=-+y x
C. 01=-+y x
D. 052=--y x
3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．2
21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与
圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）
A ．37-或
B ．2-或8
C ．0或10
D ．1或11
5．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B
距离为2的直线共有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x
二、填空题
1．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.
2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。