高中数学椭圆基础训练题
高中数学椭圆基础题型
高中数学椭圆基础题型一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知椭圆方程为x2+ky2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=()A. 59B. 97C. 1D. 532.设点P为椭圆C：x2a2+y24=1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为()A. 4√3B. 2√3C. 4√33D. 2√333.设定点M1(0,−3),M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+9a(其中a是正常数)，则点P的轨迹是()A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段D. 不存在4.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=15.在平面直角坐际系xOy中，P是椭圆y24+x23=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0,−1)，则|PA|+|PB|的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 56.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4√3，则椭圆C的方程为()A. x23+y2=1 B. x23+y22=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=17.k>3是方程x2k−3+y24−k=1表示椭圆的()条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知方程x29−k +y2k−4=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A. 4<k<9B. 4<k<132C. 132<k<9 D. 4<k<9且k≠1329. 过椭圆x 225+y 29=1的左焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2为椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长为( )A. 32B. 20C. 16D. 12二、多选题（本大题共5小题，共25.0分） 10. 以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( )A. 设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA |−|PB |=k ，则动点P 的轨迹是双曲线；B. 方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；C. 双曲线x 225−y 29=1与椭圆x235+y 2=1有相同的焦点； D. 以过抛物线的焦点的一条弦PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切11. 已知曲线C ：x 24+m+y 21+m =1(m ≠−1，且m ≠−4)，则下列结论正确的是( ) A. 若曲线C 为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为(±√3,0) B. 若曲线C 是椭圆，则m >−1C. 若m <−1且m ≠−4，则曲线C 是双曲线D. 直线kx −y −k =0(k ∈R )与曲线C 恒有两个交点12. 已知F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，A ，B 为该椭圆的两个顶点，若|AF|=3，|BF|=5，则满足条件的椭圆方程为( )A.x 24+y 23=1B.x 29+y 25=1C. x 216+y 215=1D. x 225+y 221=113. 已知方程mx 2+ny 2=1，其中m 2+n 2≠0，则( )A. mn >0时，方程表示椭圆B. mn <0时，方程表示双曲线C. n =0时，方程表示抛物线D. n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆14. 已知A 1，A 2是椭圆C:x 24+y 23=1长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，点Q 与点P 关于x 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A. 直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值−43 B. PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0C. △PA 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36D. 直线PA 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上三、单空题（本大题共6小题，共30.0分）15.设A，B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120∘，则m的取值范围是．16.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0,−4),C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是17.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．18.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F，椭圆C上的两点P，Q关于原点对称，焦距为2√5，|PF|−|QF|=a，且PF⊥QF，则椭圆C的方程为．19.已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．20.椭圆x225+y29=1上一点P到焦点F1的距离是6，那么P到焦点F2的距离答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题． 把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ． 【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4， ∴k =59，故选：A ．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题． 依题意，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，|F 1P|+|PF 2|=2a ，求出|F 1F 2|=2√a 2−4，利用余弦定理可求得|F 1P|⋅|PF 2|的值，从而可求得△PF 1F 2的面积． 【解答】 解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1(a >2)，∴b =2，c =√a 2−4，又∵P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=60°，F 1、F 2为左右焦点， ∴|F 1P|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2√a 2−4，∴|F 1F 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|F 1P||PF 2|−2|F 1P|⋅|PF 2|cos60°， =4a 2−3|F 1P|⋅|PF 2|，即4(a 2−4)=4a 2−3|F 1P|⋅|PF 2|， ∴|F 1P|⋅|PF 2|=163，∴S△PF1F2=12|F1P|⋅|PF2|sin60°，=12×163×√32=4√33．故答案选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义，考查了基本不等式的应用，属于基础题．根据基本不等式求得a+9a的最小值，利用椭圆的定义进行判断可得答案．【解答】解：∵a是正常数，∴a+9a≥2√9=6，当且仅当a=3时取等号当|PM1|+|PM2|=6时，点P的轨迹是线段M1M2；当|PM1|+|PM2|>6时，点P的轨迹是椭圆，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系及余弦定理，考查推理能力和计算能力，属于中档题．由椭圆定义可得|AF2|=a，|BF1|=32a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，解得a2= 3，b2=2．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，所以点A为椭圆短轴端点，∴在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3．b2=a2−c2=3−1=2．∴椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点B的距离和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B(0,−1)和B′(0,1).因此连接PB′、AB′，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+(2a−|PB′|)=4+(|PA|−|PB′|).再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB′延长线上时，|PA|+|PB|=4+|AB′|=5达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为y24+x23=1，∴焦点坐标为B(0,−1)和B′(0,1)，连接PB′、AB′，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB′|=2a=4，可得|PB|=4−|PB′|，因此|PA|+|PB|=|PA|+(4−|PB′|)=4+(|PA|−|PB′|)，∵|PA|−|PB′|≤|AB′|，∴|PA|+|PB|≤2a+|AB′|=4+1=5，当且仅当点P在AB′延长线上时，等号成立，综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．故答案选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为4√3，求出a=√3，根据离心率为√33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4√3，∵△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4√3，∴a=√3，∵离心率为√33，∴ca =√33，c=1，∴b=√a2−c2=√2，即椭圆C的方程为x23+y22=1．故选B．7.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．【解答】解：若方程x2k−3+y24−k=1表示椭圆，则{k−3>0 4−k>0k−3≠4−k,即3<k<4且k≠3.5，所以“k>3”是“方程x2k−3+y24−k=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程，属于基础题．根据椭圆的标准方程，建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．【解答】解：∵方程x29−k +y2k−4=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴{9−k>0k−4>09−k<k−4，解得132<k<9．实数k的取值范围是(132,9)故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．由椭圆方程可得2a =10，再由椭圆的定义可得△ABF 2的周长4a ，即可得出答案． 【解答】解：由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a =10，∴ △ABF 2的周长为：|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=20． 故选B ．10.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，双曲线、椭圆的几何性质，抛物线的定义和性质． 根据椭圆，双曲线，抛物线的定义和性质逐个选项判断正误即可． 【解答】解：A 不正确，若动点P 的轨迹为双曲线，则|k|要小于A 、B 两个定点间的距离，当|k|大于A 、B 两个定点间的距离时，动点P 的轨迹不是双曲线；B 正确，方程2x 2−5x +2=0的两根分别为12和2，12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率， C 正确，双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点，焦点在x 轴上，焦点坐标为(±√34,0)，D 正确，不妨设抛物线为：y 2=2px(p >0)，即抛物线位于y 轴的右侧，以x 轴为对称轴，设过焦点F 的弦为PQ ，PQ 的中点是M ，M 到准线的距离是d ，而P 到准线的距离d 1=|PF|，Q 到准线的距离d 2=|QF|，又M 到准线的距离d 是梯形的中位线，故有d =|PF|+|QF|2，则|PF|+|QF|2=|PQ|2=半径，所以圆心M 到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切． 故选BCD ．11.【答案】AB【解析】 【分析】本题考查椭圆、双曲线标准方程，属于中档题．逐个根据双曲线的标准方程以及椭圆的标准方程判断可得结论． 【解答】解：对于A ，若曲线C 为椭圆，c 2=a 2−b 2=(4+m)−(1+m)=3，则其焦点坐标为(±√3,0)； 若曲线C 为双曲线，即x 24+m −y 2−1−m=1，所以c 2=a 2+b 2=(4+m)−(1+m)=3，则其焦点坐标为(±√3,0)，故A 正确；对于B ，若曲线C 是椭圆，则{4+m >01+m >0，则m >−1，故B 正确；对于C ，若m =−5，则曲线C 不是双曲线，故C 错误；对于D ，直线kx −y −k =0(k ∈R )，即直线y =k(x −1)，过定点(1,0)，若曲线C 为椭圆时恒有两个交点，若曲线C 为双曲线时不一定有两个交点，故D 错误． 故选AB ．12.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查椭圆的概念及方程，椭圆的性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 首先需要对A ，B 两个顶点的位置分类讨论，根据椭圆的概念及性质，得到有关a 与c 的方程，结合a >0，c >0，若方程有解，再利用b 2=a 2−c 2，求得b ，即可确定椭圆方程；若方程有解，即可舍去． 【解答】解：由题意，对A ，B 两个顶点的位置分类讨论： (1)若A ，B 为左右顶点时，F 为椭圆的一个焦点，|AF|=3，|BF|=5， 可得{a +c =5a −c =3，解得{a =4c =1, 又b 2=a 2−c 2=15，故椭圆E 的方程为x 216+y 215=1；故C 正确；(2)当B 为短轴顶点，A 为左顶点时， F 为椭圆的一个焦点，|AF|=3，|BF|=5， 可得{a =5a −c =3，解得{a =5c =2, 又b 2=a 2−c 2=21， 故椭圆E 的方程为x 225+y 221=1，故D 正确；(3)若A 为短轴顶点，B 右顶点时，F 为椭圆的一个焦点，|AF|=3，|BF|=5， 可得{a =3a +c =5，解得{a =3c =2, 又b 2=a 2−c 2=5， 故椭圆E 的方程为x 29+y 25=1，故B 正确；综上所述：F 的方程为x 29+y 25=1或x 216+y 215=1或x 225+y 221=1．故选BCD ．13.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查圆锥曲线的标准方程，属于基础题．依据m 、n 的取值，结合圆锥曲线的方程逐一分析选项即可得解． 【解答】解：若m <0,n <0，则mx 2+ny 2=1不表示椭圆，故A 错误； 若m >0,n <0，则x 21m−y 2−1n=1表示焦点在x 轴上的双曲线，若m <0,n >0，则y 21n−x 2−1m=1表示焦点在y 轴上的双曲线，故B 正确；当n =0时，则由题意 m ≠0，则方程表示两条垂直于x 轴的直线，故C 错误； n >m >0时，0<1n <1m ，x 21m+y 21n=1表示焦点在x 轴上的椭圆，D 正确．故选：BD ．14.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查椭圆的相关知识，向量的数量积，圆的相关知识，斜率的计算，双曲线的标准方程，考查推理和计算能力，属于综合题． 由A 1、A 2是椭圆C:x 24+y 23=1长轴上的两个顶点.设P(x 0,y 0)在椭圆上，A 1(−2,0)，A 2(2,0)， 直接求解直线PA 1与PA 2的斜率之积，可得定值;再根据向量坐标的运算即可判断PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0;设点P 的坐标为(2cosθ,√3sinθ)，求出半径r 与θ的关系，可得△PA 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36;设出Q ，求解直线PA 1与QA 2的交点M ，满足双曲线x 24−y 23=1，从而可以判断; 【解答】解：对于A ，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x 024+y 023=1，解得y 02=3(4−x 02)4，∵A 1(−2,0)，A 2(2,0)， ∴k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=−34，故A 错误；对于B ，由A 可得PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x 0,−y 0)，PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x 0,−y 0)，∴PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02−4+y 02=x 02−4+3(4−x 02)4=x 02−44，∵−2<x 0<2，∴x 02−4<0，故PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，故B 正确；对于C ，设点P 的坐标为(2cosθ,√3sinθ)，△PA 1A 2的外接圆的圆心为(0,n)，半径为r ， 则r =√4+n 2=√4cos 2θ+(√3sinθ−n)2，化简得n 2=sin 2 θ12，∴r =√4+sin 2θ12≤√4+112=7√36，当且仅当sinθ=±1时取等号，即△PA 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36，故C 正确;对于D ，由A 得，PA 1的方程为y =yx 0+2(x +2)，因为点Q 与点P 关于x 轴对称，设Q(x 0,−y 0)，则QA 2的方程为y =−yx 0−2(x −2)， 两式相乘得y 2=−y 02x 02−4(x 2−4)， ∵y 02=3(4−x 02)4代入化简得x 24−y 23=1，即直线PA 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上，故D 正确．故选BCD ．15.【答案】(0,1]∪[9,+∞)【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与性质，属于中档题．方法一：对焦点位置分类讨论，当焦点在x 轴上，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，根据tan∠AMB =tan(∠AMN +∠BMN)=tan120∘且点M 在椭圆C 上，即可解得m 的取值范围，同理可得焦点在y 轴上的m 的取值范围； 方法二：对m 分类讨论，当0<m <3时，则ab =√3√m≥tan60∘，当m >3时，则ab=√m √3≥tan60∘，即可求得m 的取值范围． 【解答】解：方法一：当椭圆焦点在x 轴上时，则0<m <3，点M(x,y)， 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N(x,0)， 故tan∠AMB =tan(∠AMN +∠BMN)=√3+x |y |+√3−x|y|1−√3+x |y |·√3−x|y |=2√3|y|x 2+y 2−3． 又tan∠AMB =tan120∘=−√3， 且由x 23+y 2m =1，可得x 2=3−3y 2m，则2√3|y|3−3y 2m+y 2−3=2√3|y|(1−3m)y 2=−√3．解得|y|=2m3−m ．又0<|y|≤√m ，即0<2m3−m ≤√m ， 结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).方法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上，，要使C 上存在点M 满足∠AMB =120∘，则ab ≥tan60∘=√3，即√3√m≥√3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB =120∘，则ab ≥tan60∘=√3，即√m√3≥√3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 故答案为(0,1]∪[9,+∞).16.【答案】x 220+y 236=1(x ≠0)【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程，属于基础题．由题意可得顶点A 的轨迹是椭圆，得到椭圆焦点所在的坐标轴及a ，b ，c 的值，可得答案． 【解答】解：由题意可得|AB|+|AC|=20−|BC|=20−8=12>|BC|， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，2a =12的椭圆， 则a =6，b =√a 2−c 2=√36−16=2√5， 故顶点A 的轨迹方程是x 220+y 236=1(x ≠0)． 故答案为x 220+y 236=1(x ≠0)．17.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题． 利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解． 【解答】解：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，∵离心率为12，∴e=ca =√a2−b2a=12，∴b=√32a，令a=2，则b=√3，∴椭圆的标准方程为x24+y23=1．故答案为x24+y23=1(答案不唯一)．18.【答案】x28+y23=1【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程的求法，以及椭圆的性质，属于中档题．设椭圆C的左焦点为F′，由椭圆对称性可求得{|QF′|=3a2,|QF|=a2,根据勾股定理可求得a，b，c的值，椭圆方程即可求出．【解答】解：设椭圆C的左焦点为F′，则由椭圆的对称性可知，|PF|−|QF|=|QF′|−|QF|=a，又|QF′|+|QF|=2a，解得{|QF′|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF，得∠F′QF=90∘，由勾股定理可得|QF|2+|QF′|2=|FF′|2，即9a24+a24=20，解得a=2√2，∵2c=2√5，则c=√5，∴b=√a2−c2=√3，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 23=1．故答案为x 28+y 23=1．19.【答案】√15【解析】 【分析】本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，属于中档题．求得椭圆的a ，b ，c ，设椭圆的右焦点为F ′，连接PF ′，运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得△PFF ′各边长，利用余弦定理求∠PFF ′的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线PF 的斜率． 【解答】 解：椭圆x 29+y 25=1的a =3，b =√5，c =2，设椭圆的右焦点为F ′，连接PF ′，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆上， 连接AO ，可得|PF ′|=2|AO|=4，△PFF ′中，PF =6−PF ′=2，FF ′=4，PF ′=4， ∴由余弦定理得cos∠PFF ′=PF 2+FF′2−PF′22PF×FF′=42+22−422×2×4=14，∴sin∠PFF ′=√1−(14)2=√154，∴tan∠PFF′=√15，即直线PF的斜率为√15．故答案为√15．20.【答案】4【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程以及定义，注意由标准方程分析a的值，属于基础题．根据题意，由椭圆的方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，结合|PF1|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆x225+y29=1中a=√25=5，则有|PF1|+|PF2|=2a=10，又由|PF1|=6，则|PF2|=10−6=4，即P到焦点F2的距离为4；故答案为：4。
椭圆基础练习题
椭圆基础练习题一、选择题1. 椭圆的长轴和短轴长度分别为2a和2b，其中a和b的关系是（）。
A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于（）。
A. 2aB. 2bC. a + bD. a - b3. 如果椭圆的方程是 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a和b是常数，那么a和b的单位是什么？A. 米B. 秒C. 无单位D. 角度4. 椭圆的离心率e的取值范围是（）。
A. 0 ≤ e < 1B. 0 ≤ e ≤ 1C. 0 < e < 1D. 1 < e ≤ 25. 椭圆的面积公式是（）。
A. πabB. π(a + b)C. π(a - b)D. π(a^2 + b^2)二、填空题6. 椭圆的中心点坐标是（____,____）。
7. 椭圆的离心率e定义为____，其中c是焦点到中心的距离。
8. 如果一个椭圆的长轴是10，短轴是6，那么它的面积是____。
9. 椭圆的焦点坐标可以表示为（____,0）和（____,0）。
10. 椭圆的方程 \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) 中，a 和b的值分别是____和____。
三、简答题11. 描述椭圆的基本性质，并给出一个实际生活中椭圆的应用例子。
12. 解释为什么椭圆的离心率总是小于1。
13. 如果一个椭圆的长轴是20，短轴是10，求出它的焦点坐标。
四、计算题14. 给定一个椭圆的方程 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \)，求出它的离心率e。
15. 已知一个椭圆的长轴是26，短轴是15，求出它的面积和离心率。
五、证明题16. 证明椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数。
17. 证明椭圆的中心点到长轴和短轴的距离相等。
高中数学 椭圆经典练习题 配答案
椭圆练习题一.选择题：１.已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ）A ．２B ．３C ．５D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ）A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )A４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ）A. B.C.D.５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A.B.C.D.６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）A.B .C .D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。
A ＋＝1B ＋＝1C ＋＝1D ＋＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C )(A)450 (B)600 (C)900 (D)120９．椭圆上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D .1162522=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=2214y x +=51858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2255x ky -=(0,2)k 1-1512221(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=221254x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24y 2221259x y +=2310．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12二、填空题：11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围_____12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13．设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为14．如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，则该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
(完整版)椭圆基础训练题及答案
椭圆基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．—16〈m 〈25B ．—16〈m 〈29 C ．29〈m<25 D ．m>292 ．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．73 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）A B ．1C D ．24 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是（ ）A ．焦点坐标是()40±，B ．长轴长是5C ．准线方程是425±=yD ．离心率是54 5 ．椭圆2212x y +=的焦距是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)2,0(C ．),1(+∞D ．)1,0(7 ．若椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．5B ．1C ．15D ．88 ．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （ ) A ．4B ．5C ．8D ．109 ．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于 ( ） A ．100 B ．50C ．20D ．1010．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是( ）A ．x=±1B ．x=±21 C ．y=±1 D ．y=±21 11．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于学科网( ）A ．12B ．22C ．2D ．32学科网 13．椭圆2216x y m +=的焦距为2，则m 的取值是 ( )A ．7B ．5C ．5或7D ．1014．椭圆161522=+y x 的两条准线方程是 （ )A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ，2175=x C ．y=－5,y=5 D ．x=－5,x=5 15．椭圆2214x y +=的长轴长为 （ )A ．16B ．2C ．8D ．416．若椭圆x a 22＋y b22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为 ( ）A ．3B ．33C ．63D ．以上均不对17．若椭圆x y b222161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ）A ．23B ．25C ．43D ．4518．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,21它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径,则椭圆的标准方程为 （ ）A ．13422=+y xB ．1121622=+y xC ．1422=+y x D ．141622=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21。
椭圆的五种基本题型
椭圆专题训练(一)题型1、给出曲线方程，求相应量的值1、求椭圆400251622=+y x 的长轴长为 、短半轴长为 、离心率为 、焦点坐标为 、顶点坐标为 。
2、（练习）求下列各椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线方程： ①=+3610022y x 1 ②8222=+y x方法提练：①转化为相应的标准方程；②直接求出a 、b 、c 。
③判断焦点在哪一坐标轴上④将a 、b 、c 的值代入相应量公式（接第2题）③16422=+y x ④81922=+y x3、椭圆)0(022<<=++n m mn ny mx 的焦点为 。
4、曲线=+92522y x 1与=+--ky kx 925221（k<0）有相同的（ ）A 、长轴长；B 、离心率；C 、准线；D 、焦点题型2、给出相应量的值，求曲线方程1、焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P （3，-62）的椭圆方程为： 。
解：依题设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x2、准线方程为x=±4,离心率为1/2的椭圆方程为： 3、两焦点为（±3，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和为10，椭圆方程为：3、两焦点为（±2，0）且过点（2325,-）的椭圆方程为： 方法提练：①判断焦点在哪一坐标轴上；②设出相应的椭圆方程③联立方程组求出a 、b 、c 。
（注意别忘记隐藏的公式）④将a 、b 、c 的值代入相应量公式4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ①a=4,b=1,焦点在x 轴上。
②a=4,c=15,焦点在y 轴上③a+b=10 c=25.④a=6,c=1/3, 焦点在x 轴上。
⑤过点（-22，0）（0，5）⑥长轴是短轴的3倍，且过点（3，0）⑦离心率e=0.8，焦距为8的椭圆⑧若椭圆的焦点在x 轴上，焦点到短轴顶点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的方程为：椭圆专题训练(二)题型3、给出某曲线方程，表达的是椭圆求所给方程中含的字母的范围。
(完整版)椭圆基础训练题(含答案提示),推荐文档
提示：4c=d1＋d2=2a,
∴e=
1 2
试卷
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题目：16. 曲线 x 2 ＋ y2 =1 与曲线 x 2 ＋ y2 =1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。
25 9
25－ k 9 k
（A）有相等的长、短轴
a2
题目：12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率 e= 2 ，长轴长为 6，那么椭圆的方程是（ ）。
3
（A） x 2 + y2 =1
36 20
（C） x 2 + y2 =1
95
（B） x 2 + y2 =1 或 x 2 + y2 =1
36 20
20 36
（D） x 2 + y2 =1 或 x 2 + y2 =1
95
59
答案：D
题目：13. 椭圆 25x2＋16y2=1 的焦点坐标是（ ）。
（A）(±3, 0) （B）(± 1 , 0) （C）(± 3 , 0) （D）(0, ± 3 )
3
20
20
答案：D
题目：14. 椭圆 4x2＋y2=4 的准线方程是（ ）。
（A）y= 4 3 x （B）x= 4 3 y （C）y= 4 3
16 9
16 9
题目：19. 已知椭圆的准线为 x=4，对应的焦点坐标为(2, 0)，离心率为 1 , 那么这个椭圆的方
2
程为（ ）。
（A） x 2 ＋ y2 =1
84
（B）3x2＋4y2－8x=0
（C）3x2－y2－28x＋60=0
（D）2x2＋2y2－7x＋4=0
椭圆基础练习题及其完整答案
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
椭圆最基础大题训练25道
y2 y2 x2 2 22. 已知椭圆 C : + = 1 a > 0 , b > 0 的焦距为 4, 且与椭圆 x + = 1 有相同的离心率,斜率 a2 b 2 2
椭圆基础大题训练 25 道
为 k 的直线 l 经过点 M(0,1),与椭圆 C 交于不同两点 A,B. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)当椭圆 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆内时,求 k 的取值范围. y2 x2 1 23. 已知椭圆 C: + , 右焦点到直线 l1 : 3 x + 4 y = 0 的距离为 2 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的离心率为 2 a b 3 . 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y = kx + m ( km ≠ 0 ) 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线 l1 上,求△ OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点).
椭圆基础大题训练 25 道
M, N 两点． （1） 若直线 l 的方程为 y = x - 4 ， 求弦 MN 的长； （2） 如果△ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ， 求直线 l 方程的一般式． 1 3 18. 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上， 离心率为 ， 对称轴为坐标轴， 且经过点( 1, )． 2 2 （I） 求椭圆 E 的方程； （II） 直线 y = kx - 2 与椭圆 E 相交于 A , B 两点，O 为原点， 在 OA , OB 上分别存在异于 O 点的点 M,N ， 使得 O 在以 MN 为直径的圆外， 求直线斜率 k 的取值范围． 6 y2 x2 19. 设椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )过点 M ( 1, 1 ),离心率 e = ,O 为坐标原点. 3 a b (I)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ) 若直线 l 是圆 O : x2 + y2 = 1 的任意一条切线, 且直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 求证: OA ⋅ OB 为定值. y2 x2 20. 已知椭圆 + = 1 a > 0, b > 0 的左右焦点分别为 F 1和 F 2,由 4 个点 M(-a,b),N(a,b),F 2 a2 b2 和 F1组成了一个高为 3,面积为 33 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1的直线和椭圆交于两点 A,B,求△ F2 AB 面积的最大值. 2 y2 x2 21. 已知椭圆 C: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的离心率为 ,其中左焦点 F -2, 0 . 2 a b (Ⅰ)求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 y = x + m 与曲线 C 交于不同的 A,B 两点,且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 + y2 = 1 上,求 m 的值.
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椭圆基础训练题
一、选择题
1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ）
A ．椭圆
B ．直线
C ．线段
D ．圆
2．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a
a PF PF ，则点P 的轨迹
是 （ ）
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段 3.椭圆116
252
2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．２ B ．３ C ．５ D ．７
4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是
（ ）
A ．),0(+∞
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1） 5．若方程x 2a 2 —y 2a
=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a<0 B 、-1<a<0 C 、a<1 D 、以上皆非
6、椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于 （ ）
A ．－1 B.1 C.5 D. －5
7．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （ ） A.2211510x y += B.221510x y += C.22
11015
x y += D.2212510x y += 8. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一
焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C. 2 D. 1
9．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外
一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )
A .2 3 B.6 C.4 3 D.12
10．椭圆12222=+b
y a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长、短轴
11．椭圆22
1259
x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为 （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D .
2
3
12．椭圆13
1222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）
A ．4倍 B.5倍 C.7倍 D.3倍
13．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中
项，则该椭圆方程是. ( )
A. 16x 2＋9y 2＝1
B. 16x 2＋12y 2＝1
C. 4x 2＋3y 2＝1
D. 3x 2＋4
y 2＝1 14．21,F F 是椭圆17
922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为 （ ）
A ．7
B ．47
C ．2
7 D ．257 15．若点P 在椭圆12
22=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）
A. 2
B. 1
C. 23
D. 2
1 二、、填空题：
1．方程22
1||12
x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是_________. 2．过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点的椭圆的标准方程为_______________.
3. 若点()y ,4是椭圆180
1442
2=+y x 上的点，则它到左焦点的距离为 . 4．点P 在椭圆252x +92
y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标
是
5．设P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 。
6.椭圆14
92
2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 。
7．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点
M 的轨迹方程为 。
三、解答题
1．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．
2．已知12,F F 为椭圆22
21(010)100x y b b
+=<<的左、右焦点,P 是椭圆上一点. （1）求12||||PF PF ⋅的最大值；
（2）若1260F PF ∠=且12F PF ∆的面积为3
，求b 的值.
3．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值
为12，求此椭圆的方程。
4.已知点(
A 和圆1O ：()16322=++y x ，点M 在圆1O 上运动，点P 在半径M O 1上，且PA PM =，求动点P 的轨迹方程.。