椭圆练习题(经典归纳)
(完整版)椭圆的测试题及详细答案
椭圆的测试题及答案时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知点P 是椭圆2244x y +=上的任意一点，(4,0)A ，若M 为线段PA 中点,则点M 的轨迹方程是 （ ）A ．22(2)41x y -+=B ．22(4)41x y -+=C ．22(2)41x y ++=D ．22(4)41x y ++= 2（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 3．直线1y kx k =-+与椭圆 ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定41及以下3个函数：①f(x)＝x ；②f(x)＝sin x③f(x)＝cos x ．其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个5．已知P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上的一点，若21PF PF ⊥，且||2||21PF PF =，则此椭圆的离心率为（ ）A 6两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上任意一点，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[]1,3C ．[]2,1-D ．[]1,1-7 ） A.焦点 B.焦距 C.离心率 D.准线8．已知椭圆2239x y +=的左焦点为1F ，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．若点D 是线段1PF 的中点，则1F OD ∆的周长为（ ）．A9．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值（ ）A..1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡B.13,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．0432=++y xD ．082=-+y x11．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 相离,则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ） A. 至多一个 B. 2个 C. 1个 D. 0个12．若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于B A ,两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，则mn 的值为（ ）A ．22B ．2C ．23 D ．92二．填空题（共4小题，每小题5分）13．一个顶点是()0,2，且离心率为21的椭圆的标准方程是________________。
椭圆练习题大全
椭圆练习题大全一、选择题：1. 椭圆的离心率e与焦距F之间的关系是：A. e < FB. e = FC. e > FD. e = 12. 化简方程$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$的椭圆长轴和短轴的长度分别为：A. 2和3B. 3和2C. 4和9D. 9和43. 椭圆的离心率等于1时称为：A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆4. 椭圆的焦点与准线之间的距离称为：A. 焦距B. 长半轴C. 短半轴D. 直径5. 椭圆的离心率e的取值范围是：A. e > 1B. 0 < e < 1C. e = 0D. e = 1二、填空题：1. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为0.8，长轴长度为10，则短轴长度为\_\_\_\_\_。
2. 已知椭圆的长轴长度为10，焦距为6，则椭圆离心率为\_\_\_\_\_。
3. 椭圆的焦点到准线的垂直距离为4，离心率为0.5，则椭圆的长轴长度为\_\_\_\_\_。
4. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为0.6，焦点到准线的距离为2，则长轴和短轴的长度分别为\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_。
5. 椭圆的长轴长度为12，离心率为$\frac{1}{3}$，则焦距的长度为\_\_\_\_\_。
三、解答题：1. 椭圆的定义是什么？它与圆的区别是什么？2. 写出椭圆的标准方程，并说明其中各参数的含义。
3. 已知椭圆的焦点在y轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，焦点的坐标为$(0, \pm2)$，求椭圆长轴和短轴的长度。
4. 椭圆的参数方程为$x = 2\cos t，y = 3\sin t$，其中$t$为参数，求该椭圆的长轴和短轴的长度。
5. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$的焦点为$F_1$和$F_2$，准线为$x = -c$，其中$c^2 = a^2 - b^2$，证明焦点到准线的距离总是等于长轴的长度。
椭圆练习题大题含详细答案
高中椭圆练习题一、选择题：1.下列方程表示椭圆的是（）A.22199x y += B.2228x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4.椭圆222222222222211()x y x y a b k a b a k b k+=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线D ．有相同的焦点5.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）A.3B.2C.3D.66.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，则椭圆的焦距是（）B.4C.6D.2F CcD1F9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称10.方程22221x y ka kb+=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点； C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点.第11题二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）11.（6分）已知椭圆的方程为：22164100x y +=，则a=___，b=____，c=____， 焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦， （如图）则∆2F CD 的周长为________.12.（6分）椭圆221625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____， 焦点坐标为 四个顶点坐标分别为___ ， 离心率为 ；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆： （1）①229436x y += 与②2211216x y += ，哪一个更圆 （2）①221610x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；（2）两个焦点的坐标分别为（），,0），并且椭圆经过点2)3（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12P P 、16.（12分）已知点M 在椭圆2211625x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹及其轨迹方程17.（12分）设点A ，B 的坐标为(,0),(,0)(0)a a a ->，直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为(01)k k k ->≠且求点M 的轨迹方程，并讨论k 值与焦点的关系.18.（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？19.(14分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =过中心O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20， 求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程参考答案1.选择题：二.填空题：11 10,8，6，（0，6±），12，40 12 10，8，（3,0±），（-5,0）.（5,0）.（0，-4）.（0,4），35，253x =-13 ②，② 14 35三.解答题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>由焦点坐标可得3c =，短轴长为8，即28,4b b ==，所以22225a b c =+=∴椭圆的标准方程为2212516y x += （2）由题意，椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由焦点坐标可得c=2a ==6所以2b =22a c -=9-5=4，所以椭圆的标准方程为22194x y += (3)设椭圆的方程为221mx ny +=（0,0m n >>），因为椭圆过12P P 、61321m n m n +=+=⎧∴⎨⎩解得1913m n ==⎧⎨⎩所以椭圆的标准方程为：22193x y += 16.解：设p 点的坐标为(,)p x y ，m 点的坐标为00(,)x y ，由题意可知000022y y x x x x y y ====⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩ ① 因为点m 在椭圆221259x y +=上，所以有 22001259x y += ② ， 把①代入②得2212536x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为2212536x y +=的椭圆. 17.解：设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(,0)a -，所以，直线AM 的斜率()AM y k x a x a =≠-+，同理直线BM 的斜率()BM y k x a x a=≠-.由已知有(),y yk x a x a x a=-≠±+-化简得点M 的轨迹方程为22221()x y x a a ka +=≠± 当01k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当1k >时，表示焦点在y 轴上的椭圆.18.解：{22916144y x m x y =++=…… … … ①②①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=222(32)425(16144)57614400m m m ∆=-⨯-=-+当0,∆=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0∆>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0∆<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离. 19.解：（1）由已知c e a ==，a ==5c =， 所以222452520m b a c ==-=-=（2）根据题意21220ABF F F B SS==，设(,)B x y ，则121212F F BSF F y =，12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程2214520x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433y x y x ==-或。
(完整版)椭圆小题专项训练有详解答案
椭圆小题专项训练一、单项选择1、已知点1F ， 2F 分别是椭圆22121x y k k +=++（1k >-）的左、右焦点，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为（ ） A.12 B. 1415 D. 342、椭圆221164x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ， F 为它的右焦点，若AF BF ⊥，则AFB V 的面积是（ ）33、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）23 D.24、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2， N 是1MF 的中点，0为坐标原点，则ON 等于（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D.325、已知两点()()121,0,1,0F F -，若12F F 是21,PF PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是A. 22143x y +=B. 22184x y +=C. 2211615x y +=D. 221164x y += 6、直线l 与椭圆22:184x y C +=相交于A,B 两点，若直线l 的方程为210x y -+=，则线段AB 的中点坐标是 A. 11,32⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ()1,1 D. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭7、设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右焦点， P 为直线32x a =上一点， 12PF F ∆是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B. 23 C. 34 D. 458、已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D.9、设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是 A ．(0,1][9,)+∞UB ．(0,3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U10、在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆+=1上的一个动点，点A （1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211、中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点，090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 （ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 16,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D. 20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12、已知椭圆C ： 22221x y a b +=的左焦点为F ，若点F 关于直线12y x =-的对称点P 在椭圆C 上， 则椭圆C 的离心率为A.12B. 2C. 3D. 513、若椭圆2213616x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（ ）A. 36B. 16C. 20D. 2414、设F 1、F 2是椭圆＋＝1的焦点，P 是椭圆上的点，则△PF 1F 2的周长是( ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 不确定15、设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A. B. C. D. 16、已知椭圆的两个焦点为、，且，弦过点，则的周长为（ ） A. 10 B. 20 C. 2D.17、已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题18、已知椭圆221102x y m m-=--，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于为________.19、点(),P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为_______。
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为30,3⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题：教材P .37 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为33，则动点P 的轨迹方程是____练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x -=-； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t =+。
【反斜截式，1m k=】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程.附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ∆最大时的直线方程.椭 圆1、椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
例1 椭圆的一个顶点为()02，A 分析：解：（1）当()02，A 椭圆的标准方程为：11422=+y x （2）当()02，A 为短轴端点时，b 椭圆的标准方程为：116422=+y x 说明：横竖的，因而要考虑两种情况．例2 解：31222⨯⨯=c a c ∴23c =∴3331-=e ． 说明：和c 的齐次方程，再化含e 例3 已知中心在原点，焦点在x 点，OM 的斜率为0.25解：由题意，设椭圆方程为22+ax ）直线与曲线的综合问题，经常要借)22y ，与焦点()04，F 的距离成等差数BT 的斜率k ．（2）因为线段AC 221=+-y y y 又∵点T 在x ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，(2x B ∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ (12221259x y y +-=-将此式代入①，并利用 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT例5 已知椭圆13422=+yx ，距离MN 是1MF 与2MF 解：假设M 存在，设M 2=a ，3=b ，∴=c ∵左准线l 的方程是=x ① ②．k ，利用条件求k ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x k ．代入椭圆方程，并整理∵P 是弦中点，∴121=+x x 所以所求直线方程为342-+y x 分析二：设弦两端坐标为(11y x ，率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y 所求直线方程为0342=-+y x 说明：（1迹；过定点的弦中点轨迹．（2（3线问题也适用．例7 （1）长轴长是短轴长的2（2）在x 12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，1=． ．182=a ．故所求方程为191822=+y x ．MF AM 2+为最小值M 到右准线的距离，从而得最小8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为AQ ，即M 为所求点，因此说明：是M 例9 求椭圆32x 分析：值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧距离为26sin cos 3=+-=θθd 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，d 说明：例10的点的最远距离是7分析：要注意讨论b 提高逻辑推理能力．0>>b a 待定．21<b 矛盾．⎪⎭⎫-21，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 2143112=-=-=e a b ，即a 设椭圆上的点()y x ，到点 ⎝⎛0P 22222cos 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θa y x d sin 3sin 34222--=θθb b b 421sin 3222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当由题设得()22237⎪⎭⎫⎝⎛+=b 于是当b21sin -=θ时2d 由题设知()34722+=b，∴∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧y x 由21sin -=θ，cos θ例11 设x ，R ∈y ，y x 63222=+分析：考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．0，0）点和（3，0）点． )1->．0，0）点时，半径最41=+m ，∴15=m ．a 、b 如何变化， 120≠∠APB ．（2分析：22222y ba a x -=解：（1 ⎩⎨⎧b x 2于是k AP=∵APB ∠∴tan ∠∵22c a >∴tan ∠故tan ∠（2）设∴tan ∠12-=k c ．由21=e ，得4=k ． k -1．8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 例14 已知椭圆142222=+by b x 分析：解法一：由142222=+by b x ，得由椭圆定义，a PF PF 221=+b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32解法二：∵e d PF =22，2d 为P ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为c a 22=⋅∴P 到左准线的距离为b 338说明：圆的第二定义．3π=∠POx ，求P 点坐标．3π， 552， )0>上的一点，P 到左焦点1F 和右焦．ca 20+，∴01ex a PQ e r +==说明：例17 已知椭圆15922=+y x 上一点．(1) 求1PF PA +(2) 求223PF PA +分析：即代数方法．二是数形结合，解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22AF PF PA -≥，∴1+PF PA 22AF PF PA -=时成立，此时P 、由22AF PF PA +≤，∴+PA 22AF PF PA +=时成立，此时P 、==45,02得两交点 ，P 点与2P 重合时，2PF PA +取Q 为垂足，由3=a ，2=c ，PQ PA PF PA +=+223，要使29=x ．1，代入椭圆得满足条件的A 向相应准线作垂线段．巧用(2)分析：解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S )sin 2,cos 3(θθ则2sin 12sin 2cos 34=⨯⨯=θθS 故椭圆内接矩形的最大面积为说明：问题，用参数方程形式较简便．例19 已知1F ，2F (1)(2)求证21F PF ∆分析：12222=+b y a x （0>>b a ）),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F 方程联立消去21x 得2312212-+cy b y c 出1y 可以求出21F PF ∆思路二：利用焦半径公式1PF =再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率a 2求解．),11y ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，(1)在21F PF ∆︒==60sin 2sin sin cn m βα∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα∴sin sin 60sin βα=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=(2)在21F PF ∆-+=2)2(222mn n m c mn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即∴60sin 2121mn S F PF ︒=∆即21F PF ∆说明：椭圆上的一点P 21PF PF +的结，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥，转化为P 点坐的一个不等式，转化为关于e 的不等222ba b -=θ， ，又222c a b -= P 使AP OP ⊥．如何证明？。
椭圆 经典题型练习 (精选题) 含答案
椭圆经典题型练习一．选择题（共13小题）1．设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（﹣∞，1）D．（3，+∞）3．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．6D．34．椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值是（）A．B．C．D．5．已知点M（﹣4，0），椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知椭圆的左焦点为F1，离心率为，P是椭圆C上的动点，若点Q（1，1）在椭圆C内部，且|PF1|+|PQ|的最小值为3，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F作x 轴的垂线，交C于点P，若=2，cos∠OPF=，则椭圆C的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1 9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A．2B．C．4D．10．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（）A．（2，4）B．C．（6，8）D．（8，12）11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（）A．1﹣B．2﹣C．D．﹣112．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．13．已知点A（0，0），B（2，0）．若椭圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）14．已知点P圆C：（x﹣4）2+y2=4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为．15．已知点A在椭圆+y2=1上，且O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为16．直线y=kx+k与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，则实数m的取值范围是．17．过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则此椭圆的离心率为18．椭圆右焦点为F，存在直线y=t与椭圆C交于A，B 两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=．19．已知F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为．20．已知点P（x，y）在椭圆上运动，则最小值是三．解答题（共10小题）1．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．2．已知p：实数m使得椭圆的离心率．（1）求实数m的取值范围；（2）若q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O 到直线AB的距离为定值，并求出该定值．4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．5．已知椭圆的离心率为且经过点．（1）求椭圆方程；（2）直线y=kx+m交椭圆于不同两点A，B，若，△OAB（O是坐标原点）的面积等于，求直线AB的方程．6．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．7．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．8．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k（k＜0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，l，OQ 的斜率成等比数列，求k值．9．已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．椭圆练习参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆x2+y2=c2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，可得：，即a2﹣c2=ac，因为e=∈（0，1），所以e=．故选：C．2．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y 轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．3．【解答】解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn=6即102﹣3mn=64，解得mn=12．∴△F1PF2的面积S=mnsin60°==3．故选：B．4．【解答】解：由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．如图所示，设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．则==•|F1F2|，∴4a=|y2﹣y1|×2c，∴|y2﹣y1|==．故选：D．5．【解答】解：设F（﹣c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得（b2+4k2）x2+8ck2x+4k2c2﹣4b2=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，由直线MF恰好平分∠AMB，可得k AM+k BM=0，即有+=0，可得k（x1+c）（x2+4）+k（x2+c）（x1+4）=0，化为2x1x2+（c+4）（x1+x2）+8c=0，可得2•+（c+4）•（﹣）+8c=0，化简可得c=1，则椭圆的离心率e==，故选：C．6．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），另一个焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF|+|PF'|，即|PF'|=2a﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|=8﹣2a，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|=1，可得﹣1≤8﹣2a≤1，解得≤a≤，又c=2，可得e=∈[，]，故选：A．7．【解答】解：如图所示，设右焦点为F2．|PF1|+|PQ|=2a﹣（|PF2|﹣|PQ|）≥2a﹣|QF2|=3，∴2a﹣=3，=a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的标准方程为=1．故选：A．8．【解答】解：∵|OF|=c，PF⊥x轴，cos∠OPF=，∴sin∠OPF=，∴cos∠OPF=，|OP|===c，∵=2，∴|OP|•c•cos∠OPF=|OP|•c•=c•c•=2，解得c2=2，即c=∴|OP|=，∴|PF|=×=1，∴P（，1），∴+=1∵a2﹣b2=c2=2，∴a2=4，b2=2，∴+=1故选：B．9．【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．10．【解答】解：∵椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB周长的取值范围是（6，8）．故选：C．11．【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故选：D．12．【解答】解：由椭圆的定义可得2（a+c）=6，所以a+c=3①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=，c=1，椭圆方程为+=1，故选：A．13．【解答】解：过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，解得m=6，所以椭圆的离心率为：=．故选：C．二．填空题（共7小题）14．【解答】解：∵点Q在椭圆上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），由圆C：（x﹣4）2+y2=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．∴|CQ|===≤5，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．∴|PQ|的最大值=5+r=7．故答案为：7．15．【解答】解：∵O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，∴|OA|•|OP|=24，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y）在第一象限，B为点A 在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为|OP|cosθ==24×=24×=24×≤24×=8．当且仅当x=时等号成立．则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为8．故答案为：8．16．【解答】解：直线y=kx+k恒过（﹣1，0），直线与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，可得：解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．17．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q （﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|==6 ，当且仅当Q，P，F2共线，即，即=﹣时，上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，离心率为：e==．故答案为：．18．【解答】解：要使△ABF为等腰直角三角形，则B（c，2c）．，又a2=b2+c2，∴b2=2ac，⇒c2+2ac﹣a2=0，⇒e2+2e﹣1=0，且0＜e＜1，∴e=﹣1．故答案为：﹣1．19．【解答】解：F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，a=2，b2+c2=4，P是椭圆上一点，△PF1F2面积的最大值时，P在椭圆的短轴的端点，此时三角形的面积最大，S=bc≤=2，当且仅当b=c时，三角形的面积最大．故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，点P（x，y）在椭圆上运动，则有，变形可得：+=，变形可得x2+2（y2+1）=5，则=[x2+2（y2+1）]（）=×[1+4++]=×[5++]≥（5+2×2）=；即最小值是，故答案为：三．解答题（共10小题）1．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（3分）（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…（5分）∵AF2⊥BF2，∴•=0，∴•=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4=﹣2m×+4==0∴m2=7．…（10分）∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．2．【解答】解：（1）当0＜m＜2时，∵，又，∴，∴，当m＞2时，∵，又，∴解得4＜m＜8．综上所述实数m的取值范围：或4＜m＜8．（2）∵q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，∴⊆[t，t+9]，∴，解得．3．【解答】解：（1）由题意知，e==，a==2，又a2=b2+c2，所以a=2，c=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1；（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；此时，原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km（﹣）+m2=，由OA⊥OB得k OA k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，所以=0，即m2=（1+k2），所以原点O到直线AB的距离为d==，综上，原点O到直线AB的距离为定值．4．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．5．【解答】解：（1）椭圆的离心率为且经过点，可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）直线y=kx+m与椭圆x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，可得|AB|=•==•=，①由△OAB（O是坐标原点）的面积等于，设O到AB的距离为d，可得|AB|d=，即d=，即有=，即3m2=2+2k2②联立①②解得m=1，k=±；m=﹣1，k=±，则直线AB的方程为y=±x+1或y=±x﹣1．6．【解答】解：（1）如图所示，椭圆C：=1的离心率为，∴=，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，∴a=4，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程+=1；（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），则，两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4=0．7．【解答】解：（1）根据及题设知，5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），故C的离心率为；………………………………………………（4分）（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，即b2=6a①………………………………………………（7分）由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）则，即代入C的方程，得②……………………………………………（10分）将①及代入②得解得故8．【解答】解：（1）由题意可得，解得，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），由，消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∵直线l与椭圆交于两点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（m2﹣1）=4（4k2﹣m2+1）＞0，设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，，∴y1+y2=（kx1+m）（kx2+m）=，∵直线OP、l、OQ的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又m≠0，所以，，结合图象可得，故直线l的斜率为定值．9．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．10．【解答】解：（1）由已知c=1，，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，AB=，得S1•S2=6．当l斜率存在时，设为直线为y=kx+m，由l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得m2+2km=1…（*）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．|AB|=．Q到直线的距离，S1•S2==．将（*）式代入得S1•S2=，令t=m2+1∈（1，+∞）．∴S1•S2==．综上，S1•S2的最大值为6．。
椭圆的五种基本题型
椭圆专题训练(一)题型1、给出曲线方程，求相应量的值1、求椭圆400251622=+y x 的长轴长为 、短半轴长为 、离心率为 、焦点坐标为 、顶点坐标为 。
2、（练习）求下列各椭圆的长轴和短轴的长，离心率、焦点坐标、顶点坐标、准线方程： ①=+3610022y x 1 ②8222=+y x方法提练：①转化为相应的标准方程；②直接求出a 、b 、c 。
③判断焦点在哪一坐标轴上④将a 、b 、c 的值代入相应量公式（接第2题）③16422=+y x ④81922=+y x3、椭圆)0(022<<=++n m mn ny mx 的焦点为 。
4、曲线=+92522y x 1与=+--ky kx 925221（k<0）有相同的（ ）A 、长轴长；B 、离心率；C 、准线；D 、焦点题型2、给出相应量的值，求曲线方程1、焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点P （3，-62）的椭圆方程为： 。
解：依题设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x2、准线方程为x=±4,离心率为1/2的椭圆方程为： 3、两焦点为（±3，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和为10，椭圆方程为：3、两焦点为（±2，0）且过点（2325,-）的椭圆方程为： 方法提练：①判断焦点在哪一坐标轴上；②设出相应的椭圆方程③联立方程组求出a 、b 、c 。
（注意别忘记隐藏的公式）④将a 、b 、c 的值代入相应量公式4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ①a=4,b=1,焦点在x 轴上。
②a=4,c=15,焦点在y 轴上③a+b=10 c=25.④a=6,c=1/3, 焦点在x 轴上。
⑤过点（-22，0）（0，5）⑥长轴是短轴的3倍，且过点（3，0）⑦离心率e=0.8，焦距为8的椭圆⑧若椭圆的焦点在x 轴上，焦点到短轴顶点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的方程为：椭圆专题训练(二)题型3、给出某曲线方程，表达的是椭圆求所给方程中含的字母的范围。
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椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12⎛ ⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为0,⎛⎝⎭,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程例题：教材 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是____练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()yy k x x ；（2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为x my t 。
【反斜截式，1mk】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ∆最大时的直线方程.椭 圆1、椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=.注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程椭圆方程为122222=-+c a y a x ，设22c a b -=，则化为()012222>>=+b a by a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=.类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．椭圆标准方程：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：（1）以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；（2）要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小，“谁大焦点在谁上”一、求解椭圆方程1已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为__________.2.椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4.过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （ ）A.2211510x y += B.221510x y += C.2211015x y += D.2212510x y += 5.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是. ( ) A. 16x 2＋9y 2＝1 B. 16x 2＋12y 2＝1 C. 4x 2＋3y 2＝1 D. 3x 2＋4y 2＝1二、椭圆定义的应用1.椭圆1162522=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．72．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段3．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ）A ． 22B ． 2C ． 2D ． 14．椭圆221259x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为 （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D .235．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍三、求椭圆轨迹方程1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆2.设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程 3.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹方程为 A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、120922=+y x D 、53622y x +=15.动圆与圆O ：122=+y x 外切，与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A.抛物线B.圆C.椭 圆D.双曲线一支 6.设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．四、焦点三角形1．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．82．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为 A ．7 B ．47 C ．27D ．2573．若点P 在椭圆1222=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是A. 2B. 1C.23 D. 214.若P 为椭圆22143x y +=上的一点，12,F F 为左右焦点，若123F PF π∠=，求点P 到x 轴的距离 . 5．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 . 6. 若P 在椭圆2221(50)25x y b b +=>>上的一点，12,F F 为左右焦点，若12F PF ∠的最大值为2π，则椭圆的方程为 .7. P 为椭圆22194x y +=上一点, 12,F F 为焦点，满足1290F PF ︒∠=的点的个数为 .五、椭圆的简单几何性质①范围；②对称；③顶点； ④离心率：（10<<e ），刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦距与长轴的比c e a =()10<<e 叫椭圆的离心率。
2222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-===a b a b a a c a c e1. 椭圆10025422=+y x 的长轴长等于____________,短半轴长等于____________,焦距_________,左焦点坐标____________,离心率________，顶点坐标_________.求离心率（构造a c ，的齐次式，解出e ）1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x2.已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =m = ． 3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e ．5.已知)0.0(121>>=+n m nm 则当mn 取得最小值时，椭圆12222=+n y m x 的离心率为=e ．6.椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两顶点为A （a,0）B(0,b),若右焦点F 到直线AB 的距离等于21∣AF∣，则椭圆的离心率为=e ．7.以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率为=e ．8.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为=e ．9.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．10.设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．六、直线与椭圆的位置关系联立直线与椭圆方程，消参数，得关于x 或y 的一个一元二次方程； （1）相交：0∆>，直线与椭圆有两个交点； （2）相切：0∆=，直线与椭圆有一个交点；（3）相离：0∆<，直线与椭圆无交点；弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,P Q 两点，求弦长||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：222222,,y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：20Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，240B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=-12,C x x A= 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而||PQ ====【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：20Ay By C ，则||PQ ==1.已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB=____________. 2.设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m =___________.3.椭圆方程为1222=+y x ,通径=__________. 4.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．10点差法1．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为 ．2.过椭圆M :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21. 求M 的方程 ． 综合问题1.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为ca x 2±=)间的距离为4（1）求椭圆的方程；（2）直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.2.已知椭圆G ：2214x y +=，过点（m ，0）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。