椭圆常考题型汇总及练习进步
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分:复习运用的知识
(一)椭圆几何性质
椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数
()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
()c 2. 椭圆的几何性质:以
()0122
22>>=+b a b
y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122
22≤≤b
y a x ,即
b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用
于求最值、轨迹检验等问题.
2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。
3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--
4. 长轴、短轴:
21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长.
5. 离心率
(1)椭圆焦距与长轴的比a
c
e =,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ?,
2
22
22
22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且
22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.
(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -=
越小,
椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而2
2c a b -=越大,椭圆越接近圆。
6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦),a
b 2
2.
7.设21F F 、为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,当21F F P 、、三点不在同一直线上时,
21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知:
c F F a PF PF 2,22121==+.
(二)运用的知识点及公式
1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-;两条直线垂直,则直线所在
的向量120v v =r r
g
2、韦达定理:若一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则
1212,b c x x x x a a
+=-=。
3、中点坐标公式:1212
,y 22
x x y y x ++==,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 4、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上,
则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
AB =
或者
AB =
第二部分:椭圆常考题型解题方法典例
一、椭圆定义相关题目
例1、已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由??
?
??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< ∴满足条件的k 的取值范围是53< 说明:本题易出现如下错解:由?? ?<-<-, 03, 05k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时,并不表示椭圆. 例2、已知1cos sin 2 2 =-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在 y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 解:方程可化为1cos 1sin 12 2=+α αy x . 因为焦点在 y 轴上,所以0sin 1 cos 1>>- α α. 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3 ,2(ππα∈. 说明:(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α,0cos 1 >-α,这是容易忽视的地方. (2)由焦点在y 轴上,知αcos 12-=a ,α sin 12 =b . (3)求α的取值范围时,应注意题目中的条件πα<≤0. 例3、 以椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须用点直线对称就可解决. 解:如图所示,焦点为()031,-F ,()032,F .F 的坐标为(-9,6),直线2FF 的方程为 032=-+y x . 解方程组?? ?=+-=-+0 90 32y x y x 得交点M 的坐标为(-5,4). 所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a , ∴53=a ,又3=c , ∴() 3635322 2 2 2 =-=-=c a b . 因此,所求椭圆的方程为 136 452 2=+y x . 二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆142 2 =+y x 及直线 m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为5 10 2,求直线的方程. 解:(1)把直线方程 m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()142 2=++m x x , 即01252 2 =-++m mx x . ()() 020********* ≥+-=-??-=?m m m ,解得2 5 25≤ ≤- m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,2x , 由(1)得5 221m x x -=+,51221-=m x x . 根据弦长公式得 :5102514521122 2 =-?-?? ? ??-?+m m . 解得0=m .方程为x y =. 说明:对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法?. 这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式?;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 例5、 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3 π 的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 解:(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解. 13 48]4))[(1(1212212212= -++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为 19 362 2=+y x , 设 m AF =1,n BF =1,则m AF -=122,n BF -=122. 在21F AF ?中,3 cos 22112 212 12 2π F F AF F F AF AF -+=, 即2 1 362336)12(22 ???-?+=-m m m ; 所以3 46 -= m . 同理在21F BF ?中, 用余弦定理得3 46 += n , 所以13 48= +=n m AB . (法3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程0836372132 =?++x x 求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是 A , B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=, 从而求出 11BF AF AB +=. 三、轨迹方程相关题目 例6、 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内切,求动 圆圆心P 的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点, 即定点()03, -A 和定圆圆心()03,B 距离之和恰好等于定圆半径, 即 8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点, 半长轴为4,半短轴长为7342 2 =-=b 的椭圆的方程: 17162 2=+y x . 例7、 已知椭圆12 22 =+y x , (1)求过点?? ? ??2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过()12, A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足2 1 -=?OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为()11y x M ,,()22y x N ,,线段MN 的中点()y x R ,,则 (1)将21= x ,21=y 代入⑤,得2 12121-=--x x y y , (2)故所求直线方程为: 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程222 2 =+y x 得04 1 662 =- -y y , 04 1 6436>? ?-=?符合题意,0342=-+y x 为所求. (2)将 22 12 1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为:04=+y x . (椭圆内部分) (3)将 2 1 2121--= --x y x x y y 代入⑤ 得所求轨迹方程为: 02222 2 =--+y x y x .(椭圆内部分) (4)由①+②得: () 22 2 2212 221=+++y y x x , ⑦, 将③④平方并整理得 2122 22124x x x x x -=+, ⑧, 2122 22124y y y y y -=+, ⑨ 将⑧⑨代入⑦得: () 2244 242122 12=-+-y y y x x x , ⑩ 再将 21212 1 x x y y -=代入⑩式得: 221242212 212 =?? ? ??- -+-x x y x x x , 即 12 12 2 =+y x . 例8、 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹. 解:1422=+y x . 说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,具体做法:首先设动点的坐标为),(y x , 设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ,y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和 0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ,y 的方程, 化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握. 例9、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆 19 362 2=+y x 所截得的线段的中点,求直线l 的方程. 分析:“设而不求”法 解:方法一:设所求直线方程为)4(2-=-x k y .代入椭圆方程, 整理 036)24(4)24(8)14(2 2 2 =--+--+k x k k x k ① 设直线与椭圆的交点为),(11y x A ,),(22y x B ,则1x 、2x 是①的两根, ∴1 4) 24(82 2 1+-= +k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点, ∴1 4)24(424221+-=+= k k k x x ,21-=k . ∴所求直线方程为082=-+y x . 方法二:(点差法)设直线与椭圆交点),(11y x A ,),(22y x B . ∵)2,4(P 为AB 中点,∴821=+x x ,421=+y y . 又∵A ,B 在椭圆上,∴3642 12 1 =+y x ,3642 22 2=+y x 两式相减得 0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x , 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x . ∴ 2 1 )(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y . ∴直线方程为082=-+y x . 方法三:(数形结合)设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ,另一个交点)4,8(y x B --. ∵A 、B 在椭圆上,∴3642 2 =+y x ①。 36)4(4)8(2 2 =-+-y x ② 从而A ,B 在方程①-②的图形082=-+y x 上,而过A 、B 的直线只有一条,∴直线方程为082=-+y x . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法. 四、探索问题及其他 例10、 已知椭圆13 42 2=+ y x C :,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4:,椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上 A , B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上. 利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称, 直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k , ∴设直线AB 的方程为 n x y +-=4 1 . 由方程组???????=++-=,134 ,412 2y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。 ∴13 82 1n x x = +. 于是1342210n x x x =+=,13 124100n n x y =+-=, 即点M 的坐标为)13 12,134( n n . ∵点M 在直线m x y +=4上, ∴m n n +? =1344. 解得m n 4 13 -=. ② 将式②代入式①得048169261322 =-++m mx x ③ ∵A ,B 是椭圆上的两点, ∴0)48169(134)26(2 2 >-?-=?m m . 解得13 13 213132< <- m . (法2)同解法1得出m n 413- =,∴m m x -=-=)4 13 (1340, m m m m x y 34 13 )(414134100-=--?-=--=,即M 点坐标为)3,(m m --. ∵A ,B 为椭圆上的两点, ∴M 点在椭圆的内部, ∴ 13 )3(4)(22<-+-m m . 解得13 13 213132< <- m . (法3)设),(11y x A ,),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点,直线AB 与l 的交点M 的坐标为 ),(00y x . ∵A ,B 在椭圆上,∴1342121=+y x ,13 42 222=+y x .两式相减得 0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x , 即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x . ∴ )(43210 0212 1x x y x x x y y ≠-=--. 又∵直线l AB ⊥,∴1-=?l AB k k , ∴14430 -=?- y x ,即003x y = ①。 又M 点在直线l 上, ∴m x y +=004 ②。 由①,②得M 点的坐标为)3,(m m --.以下同解法2. 说明:涉及椭圆上两点A ,B 关于直线l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式: (1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元后得到的一元二次方程的判别式0>?,建立参数方程. (2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部,满足12 020<+b y a x ,将0x ,0y 利用参数表示, 建立参数不等式. 例11 在面积为1的PMN ?中,2 1 tan = M ,2tan -=N ,建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程. 解:以MN 的中点为原点,MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系,设),(y x P . 则???? ?????==+-=-.1,21,2cy c x y c x y ∴???????===2 33435c c y c x 且 即)3 2, 3 25( P ∴??? ????=-=+, 43,134********b a b a 得?????==.3, 41522b a ∴所求椭圆方程为13 15422=+y x 例12、 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的 轨迹和顶点A 的轨迹. 分析:(1)由已知可得 20=+GB GC ,再用椭圆定义求解.由G 的轨迹方程G 、A 坐标的 关系,利用代入法求A 的轨迹方程. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系. 设G 点坐标为()y x ,,由 20=+GB GC , 知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点. 因10=a ,8=c ,有6=b , 故其方程为 ()0136 10022≠=+y y x . (2)设()y x A ,,()y x G '',,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有?????? ? ='='33y y x x ,代入①, 得A 的轨迹方程为()01324 9002 2≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点). 第三部分:椭圆常考题型解题方法针对性习题 1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2 y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0), 使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。 2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3 ,且在x 轴上的顶点分别为 A 1(-2,0),A 2(2,0)。 (I )求椭圆的方程; (II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于 点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论 椭圆常考题型解题方法针对性习题答案 1、解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理,得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理,得:212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为:2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 21122x k = -,则211 (,0)22 E k - ABE ?Q 为正三角形, ∴2 11 ( ,0)22 E k -到直线AB 的距离d 为。 AB =Q 2 k =d = 222k k =g 解得13k =± 满足②式, 此时05 3 x =。 2、解:(I )由已知椭圆C 的离心率c e a = =2a =,则得1c b ==。 从而椭圆的方程为2 214 x y += (II )设11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+,由122 (2)44 y k x x y =+?? +=?消y 整理得222 121(14)161640k x k x k +++-= 12x -Q 和是方程的两个根, 21121164214k x k -∴-=+ 则2 112 1 2814k x k -=+,1121414k y k =+, 即点M 的坐标为211 22 11 284(,)1414k k k k -++, 同理,设直线A 2N 的斜率为k 2,则得点N 的坐标为222 22 22 824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q 12122 k k k k t -∴ =-+, Q 直线MN 的方程为: 121 121 y y y y x x x x --=--, ∴令y=0,得211212x y x y x y y -= -,将点M 、N 的坐标代入,化简后得:4 x t = 又2t >Q ,∴4 02t < < Q 椭圆的焦点为 4 t ∴= 3t = 故当t = 时,MN 过椭圆的焦点。 椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一,也是高考的热点和重点,椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习,笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨,希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径,根据椭圆的定义,很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时,用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P (,)是椭圆上的任意一点, 分别是椭圆的左、右焦点,椭圆 ,求证,。证法1: 。 因为,所以 ∴ 又因为,所以 ∴, 证法2:设P 到左、右准线的距离分别为,由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ,又,所 以, 而 。 ∴,。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A ()、B ()、C ()到焦点F (4, 0)的距离成等差数列,则 12 x x + . 解:在已知椭圆中,右准线方程为 25 4x = ,设A 、B 、C 到右准线的距离为 , 则、、。 ∵ , , ,而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴,即,。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点,P 是椭圆上的动点,求 的最大值和最 小值。 解:设 ,则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上,022x ∴-≤≤,12PF PF ?的最大值为4,最小值为1. 变式练习1:. 求过椭圆的左焦点,倾斜角为的弦AB 的长度。 解:由已知 可得 ,所以直线AB 的方程 为 ,代入椭圆方程 得 设 ,则 ,从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点,求证:以2QF (或1QF )为 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程; 练习: 1.6=对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆,则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ; 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ,(1,0)A 是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为 ; 题型二. 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹; (二)分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程; (三)用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ,求椭圆的方程; 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程; 注:一般地,与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++; (四)定义法求轨迹方程; 例5.在ABC ?中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >> 椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形:通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -,2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中,12F PF α=∠,则当P 为短轴端点时α最大,且 ① 122PF PF a +=; ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-; ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?(b 短轴长) 2、直线与椭圆的位置关系:直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点,则12AB x =-=3、椭圆的中点弦:设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点, 00(,)M x y 是线段AB 的中点,可运用点差法可得直线AB 斜率,且20 20 AB b x k a y =-; 4、椭圆的离心率 范围:01e <<,e 越大,椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用:c a e = ,222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点,焦点 为1(,0)c F -,2(,0)c F ,则焦半径10PF a ex =+,10PF a ex =-; 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法:根据椭圆定义,确定2 a ,2 b 值,结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法:根据焦点位置设出相应标准方程,根据题中条件解出2 a ,2 b ,从而求出标准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=; 高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1) 椭圆题 1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、已知1 F 、2 F 是两个定点,且4 2 1=F F ,若动点P 满足4 2 1 =+PF PF 则动点P 的轨迹是( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、线段 3、已知1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1 F P 到Q ,使得2 PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、点 4、已知1 F 、2 F 是平面α内的定点,并且) 0(22 1>=c c F F ,M 是α 内的动点,且a MF MF 221 =+,判断动点M 的轨迹. 5、椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1 F 的距离为2,N 为1 MF 的中 点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 。 6、若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的范围. 7、 轴上的椭圆”的 表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 8、已知方程 11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 . 9、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 10、方程2 31y x -= 所表示的曲线是 . 11、如果方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数k 的取值范围。 12、已知椭圆0 6322 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(,求m 的值。 13、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; (2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6); (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点) 2,3(),1,6( 21 --P P ,求椭圆方程. 15、以)0,2(1 -F 和)0,2(2 F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点,则该椭 圆的方程为 。 16、如果椭圆:k y x =+22 4上两点间的最大距离为8,则k 的 值为 。 17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆 36 94:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭圆C 椭圆的基本知识 1.椭圆的定义:把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 12 2=+b a (a > b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0) 不必考虑焦点位置,求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x =x 0, y = 2 0y 得x 0=x , y 0=2y. ∵x 02 +y 02 =4, 得 x 2 +(2y )2 =4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2,y 2≤b 2 ,∴|x|≤a ,|y|≤b . 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里. 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 6.顶点 只须令x =0,得y =±b ,点B 1(0,-b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点;令y =0,得x =±a ,点A 1(-a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长. |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2 , 即c 2=a 2-b 2 . 7.椭圆的几何性质: 椭圆常考题型汇总及练习 第一部分:复习运用的知识 (一)椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点;两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ,即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴: 21A A 叫椭圆的长轴,a a A A ,221=是长半轴长; 21B B 叫椭圆的短轴,b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比a c e =,()10,0<<∴>>e c a Θ (2)22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=,即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形,并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时,c 越接近于a ,从而22c a b -= 越小, 椭圆越扁;当e 接近于0时,c 越接近于0,从而2 2c a b -=越大,椭圆越接近圆。 椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形: 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) , F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ; 人任孑),B(X 2, y 2)两点,贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦: 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点,可运用 点差法可得直线 AB 斜率,且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用: e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中,F 1PF 2 ,则当P 为短轴端点时 最大,且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系: 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ; ~2~ ; a y 。 范围:0 e 1, e 越大,椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点,焦点 为 F i ( c,0) , F 2C O ),则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ; 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法:根据椭圆定义,确定 a 2, b 2值,结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法:根据焦点位置设出相应标准方程,根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1; 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A (1,0),Q 为椭圆 y 2 1上的动点,贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是( ) 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A (1,0)的距离之比为-.3,则动点P 的轨迹方 2 2 a , b ,从而求出标 1、点P 到定点F (4,0)的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2,则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2(0, 5)、F 2(0,5)的距离之和为 10,则M 的轨迹为( A 椭圆 B 圆 4、经过点(2, 3)且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 ( ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1,从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ,则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1 (一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的 焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下: 高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识: 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =-;两条直线垂直,则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理:若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式:1212,y 22 x x y y x ++= =,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 4、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上, 则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点,求m 的取值范围 解: 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2 y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理,得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理,得:212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为:2 21112()22k y x k k k --=-- 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解:(1)当()02, A 为长轴端点时,2=a ,1=b , 椭圆的标准方程为:11 42 2=+y x ; (2)当()02, A 为短轴端点时,2=b ,4=a , 椭圆的标准方程为:116 42 2=+y x ; 说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 例2已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 分析:分两种情况进行讨论. 解:当椭圆的焦点在x 轴上时,82+=k a ,92=b ,得12-=k c .由2 1= e ,得4=k . 当椭圆的焦点在y 轴上时,92=a ,82+=k b ,得k c -=12. 由21= e ,得4191=-k ,即4 5-=k . ∴满足条件的4=k 或45-=k . 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为8+k 与9的大小关系不定,所以椭圆的焦点可能在x 轴上,也可能在y 轴上.故必须进行讨论. 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 122 22=+b x a y (a >b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形, 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置,求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里.|x|≤a ,|y|≤b . 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 5.顶点 椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ). 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2,即c 2=a 2-b 2. 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2 OM AB b k k a ?=-,即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 椭圆与双曲线常见题型总结(附答案) 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一:弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2 y x =交于A 、B 两点, 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0 x ;若不存在,请说明理由。 分析:过点T(-1,0)的直线和曲线N :2 y x =相交A 、B 两点, 则直线的斜率存在且不等于0,可以设直线的方程,联立方程组,消元,分析类一元二次方程,看判别式,运用韦达定理,得弦的中点坐标,再由垂直和中点,写出垂直平分线的方程,得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。设直线:(1)l y k x =+, k ≠,1 1 (,)A x y ,2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理,得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理,得: 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为:2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -,则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形,∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律:直线过定点设直线的斜率k ,利用韦达定理法,将弦的中点用k 表示出来,再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来,求出了横截距的坐标;再利用正三角形的性质:高是边长的 3倍,将k 确定,进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ,O 为坐标原点。 (Ⅰ)求过点O 、F ,并且与2x =-相切的圆的方程; (Ⅱ)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围。 解析几何——椭圆精炼专题 一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆6322 2 =+y x 的焦距是( ) A .2 B .)23(2- C .52 D .)23(2+ 2.F 1、F 2是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则点M 的轨迹是( ) A .椭圆 B .直线 C .线段 D .圆 3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点)2 3,25(-,则椭圆方程是 ( ) A .14 8 2 2=+x y B .16102 2=+x y C .18 42 2=+x y D .16 102 2=+y x 4.方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取值范围是( ) A .),0(+∞ B .(0,2) C .(1,+∞) D .(0,1) 5. 过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点,则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ?,那么2 ABF ?的周长是( ) A . 22 B . 2 C . 2 D . 1 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 3 1 ,长轴长为12,则椭圆方程为( ) A . 112814422=+y x 或114412822=+y x B . 14 62 2=+y x C . 1323622=+y x 或1363222=+y x D . 16422=+y x 或1462 2=+y x 7. 已知k <4,则曲线 14 92 2=+y x 和14922=-+-k y k x 有( ) A . 相同的短轴 B . 相同的焦点 C . 相同的离心率 D . 相同的长轴 8.椭圆 19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ,P 为椭圆上的一点,已知21PF PF ⊥,则△21PF F 的面积为( ) A .9 B .12 C .10 D .8 9.椭圆13 122 2=+y x 的焦点为1F 和2F ,点P 在椭圆上,若线段1PF 的中点在y 轴上,那么1PF 是2PF 的( ) A .4倍 B .5倍 C .7倍 D .3倍 10.椭圆144942 2 =+y x 内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点,那么这弦所在直线的方程为( ) A .01223=-+y x B .01232=-+y x C .014494=-+y x D . 014449=-+y x 11.椭圆14 162 2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 ( ) A .3 B .11 C .22 D .10 12.过点M (-2,0)的直线M 与椭圆12 22 =+y x 交于P 1,P 2,线段P 1P 2的中点为P ,设直线M 的斜率为k 1(01≠k ) ,直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A .2 B .-2 C . 21 D .-2 1 二、 填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.) 13.椭圆 2214x y m +=的离心率为1 2 ,则m = . 14.设P 是椭圆2 214 x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF 的最大值为 ;最小值为 . 15.直线y =x -2 1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 . 16.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2 2及点=++为圆上一点,AQ 的垂直平分线交CQ 于M ,则点M 的轨迹方程 为 . 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之 2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( D ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 4. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹 是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 4 。 6. 选做:F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A (1,1),求||||1PF PA +的最小值。 解:26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围,使方程13 52 2=-+-k y k x 表示圆,椭圆,双曲线。 (略) 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆,α所在的象限是( A ) A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程222 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; 1144 1692 2=+x y (2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6); 137 148,113522 222=+=+y x x y 或 (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点) 2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 1 3 9 2 2=+ y x 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ,求k 的值. 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值围. 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值围. 例5 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的部与其相切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422=+y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示). 3.第二定义应用 例1 椭圆112162 2=+y x 的右焦点为F ,过点() 31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标. 例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距离. 例3 已知椭圆15 92 2=+y x 有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点. (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求22 3PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 椭圆各类题型分类汇总 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02, A ,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程. 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ,求k 的值. 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 例5 已知动圆P 过定点()03, -A ,且在定圆()64322 =+-y x B :的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+ y x ,1F 、2F 为两焦点,问能否在椭圆上找一点M ,使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴 端点为 1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点, θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示). 3.第二定义应用 例1 椭圆112 162 2=+ y x 的右焦点为F ,过点() 31,A ,点M 在椭圆上,当MF AM 2+为最小值时,求点M 的坐标. 例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ,求P 到左准线的距 离. 例3 已知椭圆15 92 2=+ y x 内有一点)1,1(A ,1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点,点P 是椭圆上一点. (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标; (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标. 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值. 例2 (1)写出椭圆1492 2=+ y x 的参数方程;(2)求椭圆内接矩形的最大面积. 例3 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ,若这个椭圆上总存在点P ,使 AP OP ⊥(O 为坐标原点),求其离心率e 的取值范围. 5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2,求直线的方程. 例2 已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长. 6.相交情况下—点差法的应用 考点11 椭圆 1.(2010·广东高考文科·T7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A . 45 B .35 C .25 D .15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出a 、b 、c 的关系,再转化为a 、c 间的关系,从而求出e . 【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+, ∴ 224()b a c =+,即: 22242b a ac c =++,又 222a b c =+, ∴ 224()a c -=222a ac c ++,即 223250a ac c --=,()(35)0a c a c +-=,∴ 0a c +=(舍去)或 350a c -=,∴ 3 5 c e a = =,故选B . 2.(2010·福建高考文科·T11)若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点,设P 为动点,依题意写出OP FP ?u u u r u u u r 的表达式,进而转化 为求解条件最值的问题,利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C ,设()00P x ,y ,则2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即,又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴?=?++u u u r u u r 2001x x 34=++()2 01x 224 =++,又[]0x 2,2∈-, () []OP FP 2,6∴?∈u u u r u u r ,所以 ()max 6OP FP ?=u u u r u u u r . 3.(2010·海南高考理科·T20)设12,F F 分别是椭圆E:22 221x y a b +=(a>b>0)的左、右焦 点,过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点,且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. (Ⅰ)求E 的离心率; (Ⅱ)设点P (0,-1)满足PA PB =,求E 的方程. 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得 2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点,并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点,且a MF MF 221=+,判断动点M 的轨迹. 5. 椭圆19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 。 (二) 标准方程求参数范围 1. 若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的范围.(3,4)U (4,5) 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 已知方程11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是 . 4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 . 6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数k 的取值范围。 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(,求m 的值。 8. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26; (2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6); (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求 椭圆方程. 2. 以)0,2(1-F 和)0,2(2F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点,则该椭圆的方程 为 。 3. 如果椭圆:k y x =+224上两点间的最大距离为8,则k 的值为 。 4. 已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆3694:222=+y x C 的两个焦点一个正方 形的四个顶点,且椭圆C 过点A (2,-3),求椭圆C 的方程。 5. 已知P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离为 354和3 52,过点P 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆方程。 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 椭圆大题题型汇总例 题+练习 椭圆大题题型 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是: (1)直线的斜率不存在,直线的斜率存,(2)联立直线和曲线的方程组; (3)讨论类一元二次方程(4)一元二次方程的判别式(5)韦达定理,同类坐标变换 (6)同点纵横坐标变换(7)x,y ,k(斜率)的取值范围 (8)目标:弦长,中点,垂直,角度,向量,面积,范围等等 运用的知识: 1、中点坐标公式:1212,y 22 x x y y x ++= =,其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ,的中点坐标。 2、弦长公式:若点1122(,)(,)A x y B x y ,在直线(0)y kx b k =+≠上, 则1122y kx b y kx b =+=+,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一, AB === = 或者AB === = 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直:则121k k =- 两条直线垂直,则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理:若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ,则 1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二:弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ?是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。椭圆的常见题型及解法(一).
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