高中数学椭圆练习题
高中数学椭圆基础题型
高中数学椭圆基础题型一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知椭圆方程为x2+ky2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=()A. 59B. 97C. 1D. 532.设点P为椭圆C：x2a2+y24=1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为()A. 4√3B. 2√3C. 4√33D. 2√333.设定点M1(0,−3),M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+9a(其中a是正常数)，则点P的轨迹是()A. 椭圆B. 线段C. 椭圆或线段D. 不存在4.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=15.在平面直角坐际系xOy中，P是椭圆y24+x23=1上的一个动点，点A(1,1)，B(0,−1)，则|PA|+|PB|的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 56.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4√3，则椭圆C的方程为()A. x23+y2=1 B. x23+y22=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=17.k>3是方程x2k−3+y24−k=1表示椭圆的()条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知方程x29−k +y2k−4=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A. 4<k<9B. 4<k<132C. 132<k<9 D. 4<k<9且k≠1329. 过椭圆x 225+y 29=1的左焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2为椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长为( )A. 32B. 20C. 16D. 12二、多选题（本大题共5小题，共25.0分） 10. 以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( )A. 设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA |−|PB |=k ，则动点P 的轨迹是双曲线；B. 方程2x 2−5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；C. 双曲线x 225−y 29=1与椭圆x235+y 2=1有相同的焦点； D. 以过抛物线的焦点的一条弦PQ 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切11. 已知曲线C ：x 24+m+y 21+m =1(m ≠−1，且m ≠−4)，则下列结论正确的是( ) A. 若曲线C 为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为(±√3,0) B. 若曲线C 是椭圆，则m >−1C. 若m <−1且m ≠−4，则曲线C 是双曲线D. 直线kx −y −k =0(k ∈R )与曲线C 恒有两个交点12. 已知F 为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，A ，B 为该椭圆的两个顶点，若|AF|=3，|BF|=5，则满足条件的椭圆方程为( )A.x 24+y 23=1B.x 29+y 25=1C. x 216+y 215=1D. x 225+y 221=113. 已知方程mx 2+ny 2=1，其中m 2+n 2≠0，则( )A. mn >0时，方程表示椭圆B. mn <0时，方程表示双曲线C. n =0时，方程表示抛物线D. n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆14. 已知A 1，A 2是椭圆C:x 24+y 23=1长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，点Q 与点P 关于x 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )A. 直线PA 1与PA 2的斜率之积为定值−43 B. PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0C. △PA 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36D. 直线PA 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上三、单空题（本大题共6小题，共30.0分）15.设A，B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120∘，则m的取值范围是．16.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0,−4),C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是17.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．18.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点为F，椭圆C上的两点P，Q关于原点对称，焦距为2√5，|PF|−|QF|=a，且PF⊥QF，则椭圆C的方程为．19.已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是．20.椭圆x225+y29=1上一点P到焦点F1的距离是6，那么P到焦点F2的距离答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题． 把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ． 【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4， ∴k =59，故选：A ．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题． 依题意，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，|F 1P|+|PF 2|=2a ，求出|F 1F 2|=2√a 2−4，利用余弦定理可求得|F 1P|⋅|PF 2|的值，从而可求得△PF 1F 2的面积． 【解答】 解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1(a >2)，∴b =2，c =√a 2−4，又∵P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=60°，F 1、F 2为左右焦点， ∴|F 1P|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2√a 2−4，∴|F 1F 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|F 1P||PF 2|−2|F 1P|⋅|PF 2|cos60°， =4a 2−3|F 1P|⋅|PF 2|，即4(a 2−4)=4a 2−3|F 1P|⋅|PF 2|， ∴|F 1P|⋅|PF 2|=163，∴S△PF1F2=12|F1P|⋅|PF2|sin60°，=12×163×√32=4√33．故答案选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义，考查了基本不等式的应用，属于基础题．根据基本不等式求得a+9a的最小值，利用椭圆的定义进行判断可得答案．【解答】解：∵a是正常数，∴a+9a≥2√9=6，当且仅当a=3时取等号当|PM1|+|PM2|=6时，点P的轨迹是线段M1M2；当|PM1|+|PM2|>6时，点P的轨迹是椭圆，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系及余弦定理，考查推理能力和计算能力，属于中档题．由椭圆定义可得|AF2|=a，|BF1|=32a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，解得a2= 3，b2=2．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，所以点A为椭圆短轴端点，∴在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3．b2=a2−c2=3−1=2．∴椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点B的距离和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B(0,−1)和B′(0,1).因此连接PB′、AB′，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+(2a−|PB′|)=4+(|PA|−|PB′|).再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB′延长线上时，|PA|+|PB|=4+|AB′|=5达到最大值，从而得到本题答案．【解答】解：∵椭圆方程为y24+x23=1，∴焦点坐标为B(0,−1)和B′(0,1)，连接PB′、AB′，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB′|=2a=4，可得|PB|=4−|PB′|，因此|PA|+|PB|=|PA|+(4−|PB′|)=4+(|PA|−|PB′|)，∵|PA|−|PB′|≤|AB′|，∴|PA|+|PB|≤2a+|AB′|=4+1=5，当且仅当点P在AB′延长线上时，等号成立，综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为5．故答案选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为4√3，求出a=√3，根据离心率为√33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4√3，∵△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4√3，∴a=√3，∵离心率为√33，∴ca =√33，c=1，∴b=√a2−c2=√2，即椭圆C的方程为x23+y22=1．故选B．7.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及椭圆的方程，属于中档题．利用充分条件和必要条件的定义和椭圆方程判断即可．【解答】解：若方程x2k−3+y24−k=1表示椭圆，则{k−3>0 4−k>0k−3≠4−k,即3<k<4且k≠3.5，所以“k>3”是“方程x2k−3+y24−k=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程，属于基础题．根据椭圆的标准方程，建立关于k的不等式组，解之即得实数k的取值范围．【解答】解：∵方程x29−k +y2k−4=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴{9−k>0k−4>09−k<k−4，解得132<k<9．实数k的取值范围是(132,9)故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．由椭圆方程可得2a =10，再由椭圆的定义可得△ABF 2的周长4a ，即可得出答案． 【解答】解：由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a =10，∴ △ABF 2的周长为：|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=20． 故选B ．10.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，双曲线、椭圆的几何性质，抛物线的定义和性质． 根据椭圆，双曲线，抛物线的定义和性质逐个选项判断正误即可． 【解答】解：A 不正确，若动点P 的轨迹为双曲线，则|k|要小于A 、B 两个定点间的距离，当|k|大于A 、B 两个定点间的距离时，动点P 的轨迹不是双曲线；B 正确，方程2x 2−5x +2=0的两根分别为12和2，12和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率， C 正确，双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点，焦点在x 轴上，焦点坐标为(±√34,0)，D 正确，不妨设抛物线为：y 2=2px(p >0)，即抛物线位于y 轴的右侧，以x 轴为对称轴，设过焦点F 的弦为PQ ，PQ 的中点是M ，M 到准线的距离是d ，而P 到准线的距离d 1=|PF|，Q 到准线的距离d 2=|QF|，又M 到准线的距离d 是梯形的中位线，故有d =|PF|+|QF|2，则|PF|+|QF|2=|PQ|2=半径，所以圆心M 到准线的距离等于半径，所以圆与准线是相切． 故选BCD ．11.【答案】AB【解析】 【分析】本题考查椭圆、双曲线标准方程，属于中档题．逐个根据双曲线的标准方程以及椭圆的标准方程判断可得结论． 【解答】解：对于A ，若曲线C 为椭圆，c 2=a 2−b 2=(4+m)−(1+m)=3，则其焦点坐标为(±√3,0)； 若曲线C 为双曲线，即x 24+m −y 2−1−m=1，所以c 2=a 2+b 2=(4+m)−(1+m)=3，则其焦点坐标为(±√3,0)，故A 正确；对于B ，若曲线C 是椭圆，则{4+m >01+m >0，则m >−1，故B 正确；对于C ，若m =−5，则曲线C 不是双曲线，故C 错误；对于D ，直线kx −y −k =0(k ∈R )，即直线y =k(x −1)，过定点(1,0)，若曲线C 为椭圆时恒有两个交点，若曲线C 为双曲线时不一定有两个交点，故D 错误． 故选AB ．12.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查椭圆的概念及方程，椭圆的性质，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 首先需要对A ，B 两个顶点的位置分类讨论，根据椭圆的概念及性质，得到有关a 与c 的方程，结合a >0，c >0，若方程有解，再利用b 2=a 2−c 2，求得b ，即可确定椭圆方程；若方程有解，即可舍去． 【解答】解：由题意，对A ，B 两个顶点的位置分类讨论： (1)若A ，B 为左右顶点时，F 为椭圆的一个焦点，|AF|=3，|BF|=5， 可得{a +c =5a −c =3，解得{a =4c =1, 又b 2=a 2−c 2=15，故椭圆E 的方程为x 216+y 215=1；故C 正确；(2)当B 为短轴顶点，A 为左顶点时， F 为椭圆的一个焦点，|AF|=3，|BF|=5， 可得{a =5a −c =3，解得{a =5c =2, 又b 2=a 2−c 2=21， 故椭圆E 的方程为x 225+y 221=1，故D 正确；(3)若A 为短轴顶点，B 右顶点时，F 为椭圆的一个焦点，|AF|=3，|BF|=5， 可得{a =3a +c =5，解得{a =3c =2, 又b 2=a 2−c 2=5， 故椭圆E 的方程为x 29+y 25=1，故B 正确；综上所述：F 的方程为x 29+y 25=1或x 216+y 215=1或x 225+y 221=1．故选BCD ．13.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查圆锥曲线的标准方程，属于基础题．依据m 、n 的取值，结合圆锥曲线的方程逐一分析选项即可得解． 【解答】解：若m <0,n <0，则mx 2+ny 2=1不表示椭圆，故A 错误； 若m >0,n <0，则x 21m−y 2−1n=1表示焦点在x 轴上的双曲线，若m <0,n >0，则y 21n−x 2−1m=1表示焦点在y 轴上的双曲线，故B 正确；当n =0时，则由题意 m ≠0，则方程表示两条垂直于x 轴的直线，故C 错误； n >m >0时，0<1n <1m ，x 21m+y 21n=1表示焦点在x 轴上的椭圆，D 正确．故选：BD ．14.【答案】BCD【解析】 【分析】本题考查椭圆的相关知识，向量的数量积，圆的相关知识，斜率的计算，双曲线的标准方程，考查推理和计算能力，属于综合题． 由A 1、A 2是椭圆C:x 24+y 23=1长轴上的两个顶点.设P(x 0,y 0)在椭圆上，A 1(−2,0)，A 2(2,0)， 直接求解直线PA 1与PA 2的斜率之积，可得定值;再根据向量坐标的运算即可判断PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0;设点P 的坐标为(2cosθ,√3sinθ)，求出半径r 与θ的关系，可得△PA 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36;设出Q ，求解直线PA 1与QA 2的交点M ，满足双曲线x 24−y 23=1，从而可以判断; 【解答】解：对于A ，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x 024+y 023=1，解得y 02=3(4−x 02)4，∵A 1(−2,0)，A 2(2,0)， ∴k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=−34，故A 错误；对于B ，由A 可得PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x 0,−y 0)，PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x 0,−y 0)，∴PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02−4+y 02=x 02−4+3(4−x 02)4=x 02−44，∵−2<x 0<2，∴x 02−4<0，故PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，故B 正确；对于C ，设点P 的坐标为(2cosθ,√3sinθ)，△PA 1A 2的外接圆的圆心为(0,n)，半径为r ， 则r =√4+n 2=√4cos 2θ+(√3sinθ−n)2，化简得n 2=sin 2 θ12，∴r =√4+sin 2θ12≤√4+112=7√36，当且仅当sinθ=±1时取等号，即△PA 1A 2的外接圆半径的最大值为7√36，故C 正确;对于D ，由A 得，PA 1的方程为y =yx 0+2(x +2)，因为点Q 与点P 关于x 轴对称，设Q(x 0,−y 0)，则QA 2的方程为y =−yx 0−2(x −2)， 两式相乘得y 2=−y 02x 02−4(x 2−4)， ∵y 02=3(4−x 02)4代入化简得x 24−y 23=1，即直线PA 1与QA 2的交点M 在双曲线x 24−y 23=1上，故D 正确．故选BCD ．15.【答案】(0,1]∪[9,+∞)【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与性质，属于中档题．方法一：对焦点位置分类讨论，当焦点在x 轴上，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，根据tan∠AMB =tan(∠AMN +∠BMN)=tan120∘且点M 在椭圆C 上，即可解得m 的取值范围，同理可得焦点在y 轴上的m 的取值范围； 方法二：对m 分类讨论，当0<m <3时，则ab =√3√m≥tan60∘，当m >3时，则ab=√m √3≥tan60∘，即可求得m 的取值范围． 【解答】解：方法一：当椭圆焦点在x 轴上时，则0<m <3，点M(x,y)， 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N(x,0)， 故tan∠AMB =tan(∠AMN +∠BMN)=√3+x |y |+√3−x|y|1−√3+x |y |·√3−x|y |=2√3|y|x 2+y 2−3． 又tan∠AMB =tan120∘=−√3， 且由x 23+y 2m =1，可得x 2=3−3y 2m，则2√3|y|3−3y 2m+y 2−3=2√3|y|(1−3m)y 2=−√3．解得|y|=2m3−m ．又0<|y|≤√m ，即0<2m3−m ≤√m ， 结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).方法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上，，要使C 上存在点M 满足∠AMB =120∘，则ab ≥tan60∘=√3，即√3√m≥√3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB =120∘，则ab ≥tan60∘=√3，即√m√3≥√3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 故答案为(0,1]∪[9,+∞).16.【答案】x 220+y 236=1(x ≠0)【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程，属于基础题．由题意可得顶点A 的轨迹是椭圆，得到椭圆焦点所在的坐标轴及a ，b ，c 的值，可得答案． 【解答】解：由题意可得|AB|+|AC|=20−|BC|=20−8=12>|BC|， 所以点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，2a =12的椭圆， 则a =6，b =√a 2−c 2=√36−16=2√5， 故顶点A 的轨迹方程是x 220+y 236=1(x ≠0)． 故答案为x 220+y 236=1(x ≠0)．17.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题． 利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解． 【解答】解：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，∵离心率为12，∴e=ca =√a2−b2a=12，∴b=√32a，令a=2，则b=√3，∴椭圆的标准方程为x24+y23=1．故答案为x24+y23=1(答案不唯一)．18.【答案】x28+y23=1【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程的求法，以及椭圆的性质，属于中档题．设椭圆C的左焦点为F′，由椭圆对称性可求得{|QF′|=3a2,|QF|=a2,根据勾股定理可求得a，b，c的值，椭圆方程即可求出．【解答】解：设椭圆C的左焦点为F′，则由椭圆的对称性可知，|PF|−|QF|=|QF′|−|QF|=a，又|QF′|+|QF|=2a，解得{|QF′|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF，得∠F′QF=90∘，由勾股定理可得|QF|2+|QF′|2=|FF′|2，即9a24+a24=20，解得a=2√2，∵2c=2√5，则c=√5，∴b=√a2−c2=√3，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 23=1．故答案为x 28+y 23=1．19.【答案】√15【解析】 【分析】本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，属于中档题．求得椭圆的a ，b ，c ，设椭圆的右焦点为F ′，连接PF ′，运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得△PFF ′各边长，利用余弦定理求∠PFF ′的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线PF 的斜率． 【解答】 解：椭圆x 29+y 25=1的a =3，b =√5，c =2，设椭圆的右焦点为F ′，连接PF ′，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆上， 连接AO ，可得|PF ′|=2|AO|=4，△PFF ′中，PF =6−PF ′=2，FF ′=4，PF ′=4， ∴由余弦定理得cos∠PFF ′=PF 2+FF′2−PF′22PF×FF′=42+22−422×2×4=14，∴sin∠PFF ′=√1−(14)2=√154，∴tan∠PFF′=√15，即直线PF的斜率为√15．故答案为√15．20.【答案】4【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程以及定义，注意由标准方程分析a的值，属于基础题．根据题意，由椭圆的方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10，结合|PF1|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆x225+y29=1中a=√25=5，则有|PF1|+|PF2|=2a=10，又由|PF1|=6，则|PF2|=10−6=4，即P到焦点F2的距离为4；故答案为：4。
高中二年级数学椭圆试题[有答案解析]
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高二数学椭圆试题一：选择题1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（）解：将椭圆的方程转化为标准形式为3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（）B C D=4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2，所以（x≠0）（x≠0）（x≠0）（x≠0）6．方程=10，化简的结果是（）表示点）的距离，表示所以椭圆的方程为：．7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（）sinθ+cosθ=，π），8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等轴上方，坐标为，即，即e=9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）+=，即====，e=10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）则有解得，，时，取得最大值11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=e=，故答案选12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（）的方程为=，=13．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（）[] [[，．故椭圆14．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）代入得，，故，即故该椭圆离心率的取值范围是15.已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．=16．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是4＜k＜7 ．+=117.已知椭圆的焦距为2，则实数t= 2，3，6 ．18.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则= ．=故答案为19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为．，故答案为20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是．即故答案为21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）求|PF1|•|PF2|的最大值；（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为，求b的值．22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．=S=⇔=40b=5（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．的方程为（，从而有的方程为．y=，4=t=±2，∉4]24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程，其中两点坐标满足方程组，得的离心率知，，从而的方程为．25.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若，求k的值．）根据椭圆方程为．=∵离心率为，∴=b=．；﹣=（﹣（）•（﹣）•（﹣．26.设椭圆E：，O为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．（，，解得的方程为解方程组，又，所以，，都满足与椭圆的两个交点为或存在圆心在原点的圆，且，所以，，当且仅当27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．的方程为（，由得（，则，从而得，当且仅当时等号成立．的长度取最小值，，可得同理可得：=不仿设的长度取最小值．的方程为，∴的面积等于的距离等于距离等于，则由，解得或，此时点。
高中数学 椭圆经典练习题 配答案
椭圆练习题一.选择题：１.已知椭圆上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ）A ．２B ．３C ．５D ．７２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ）A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B )A４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ）A. B.C.D.５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A.B.C.D.６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ）A.B .C .D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。
A ＋＝1B ＋＝1C ＋＝1D ＋＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C )(A)450 (B)600 (C)900 (D)120９．椭圆上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D .1162522=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=2214y x +=51858014520125201202522222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2255x ky -=(0,2)k 1-1512221(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=221254x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24y 2221259x y +=2310．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12二、填空题：11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围_____12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_13．设,,△的周长是，则的顶点的轨迹方程为14．如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，则该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：15.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
高中数学选修2-1同步练习题库：椭圆(选择题：较难)
椭圆（选择题：较难）1、点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当在第一象限时，点的纵坐标为（）A． B．3 C．2 D．2、已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3、点P是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是18，则的值等于（）A．7 B．9 C． D．4、设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5、已知椭圆：（）的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点到直线的距离等于，则椭圆的焦距长为（）A． B． C． D．6、已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．7、在中，，若一个椭圆通过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在线段上，则这个椭圆的离心率为( )A． B． C． D．8、设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9、如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B．C． D．10、已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，线段PF1与y 轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )A． B． C． D．11、已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（）A． B． C．2 D．312、已知椭圆，点为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点，使,则离心率的取值范围为A． B．C． D．13、已知分别为椭圆（）的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称，设直线的斜率分别为，若点到直线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．14、已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为A． B． C． D．15、已知椭圆，若直线经过，与椭圆交于两点，且，则直线的方程为A． B． C． D．16、设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为（）A．8 B．10 C．12 D．1517、曲线与直线交于两点，为中点，则（）A B C D18、如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线，围成一个平行四边形，则（）A．5 B． C．9 D．1419、已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，记椭圆的离心率为，则函数的大致图像是（）A． B．C． D．20、设椭圆的方程为右焦点为，方程的两实根分别为，则的取值范围是（）A． B． C． D．21、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )A． B． C． D．22、如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个23、已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．24、已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．25、已知在椭圆方程中，参数都通过随机程序在区间上随机选取，其中，则椭圆的离心率在之内的概率为（）A． B． C． D．26、中心为原点的椭圆焦点在轴上，为该椭圆右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．27、已知椭圆：（）的一个焦点为，离心率为，过点的动直线交于，两点，若轴上的点使得总成立（为坐标原点），则（）A． B．2 C． D．28、如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．29、如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（）A． B．C． D．30、已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为A． B． C． D．31、一光源在桌面的正上方，半径为的球与桌面相切，且与球相切，小球在光源的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是，其中，则该椭圆的短轴长为（）A． B． C． D．32、(理科)在平面直角坐标系中，是椭圆上的一个动点，点，则的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．233、已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．34、椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则的面积是（）A． B． C． D．35、设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．36、若是过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值是（）A． B． C． D．37、椭圆的左、右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点o的直线交椭圆于另一点Q，则△的周长为（）A．4 B．8 C． D．38、已知,分别是椭圆的左,右焦点, 椭圆上存在点使为钝角,则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．39、已知是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为（）A． B． C． D．40、设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的值为（）A． B． C． D．41、已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（）A． B．C． D．42、已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若，则等于（）A．8 B．6C．4 D．243、过椭圆：的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B．C． D．44、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，.这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形.若，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（）A． B．C． D．45、已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与离心率之积为，则的渐近线方程为（）A． B．C． D．46、设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（）A． B．C． D．47、已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝ (a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于( )A． B． C． D．48、设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(c，0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则P(x1，x2)( )A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2外C．必在圆x2＋y2＝1外D．必在圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间49、已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝( )A． B． C． D．250、已知椭圆C1：＋y2＝1，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则双曲线C2的离心率为( )A．4 B．C． D．51、已知双曲线＋＝1，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为12的两部分，则双曲线的离心率为( )A． B．C． D．52、设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得,则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．53、已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为( ) A．4 B．8 C．12 D．1654、椭圆上存在个不同的点，椭圆的右焦点为。
高中数学椭圆经典例题(学生+老师)
（教师版)椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0,２)求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程,由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值.解:方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上,所以62>m ,解得3>m . 又2=c ,所以2262=-m ,5=m 适合．故5=m .例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03，P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b )的值，即可求得椭圆的标准方程．解:当焦点在x 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a by a x .由椭圆过点()03，P ,知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx a y .由椭圆过点()03，P ,知10922=+ba .又b a 3=,联立解得812=a ,92=b ,故椭圆的方程为198122=+x y ．例３ ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解．(２)由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： (１）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ． (２)设()y x A ，,()y x G ''，,则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）. 例４ 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF .从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF , 可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b .∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ,2A ，焦点为1F ，2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，,由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限． 由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α.① 由椭圆定义知: a PF PF 221=+ ②,则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF . 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析:关键是根据题意，列出点P 满足的关系式.解：如图所示,设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点,即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点,半长轴为4,半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明:本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7 已知椭圆1222=+y x ， （1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程; （2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;（3）过()12，A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; （4)椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为()11y x M ，,()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ,故所求直线方程为： 0342=-+y x . ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ,0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求. （2)将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x ．（椭圆内部分）(３)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（４)由①+②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x . 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点? (2）若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程. 解：(1)把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x .()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ,解得2525≤≤-m . (2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ,由（1)得5221mx x -=+，51221-=m x x .根据弦长公式得 :51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m .解得0=m .方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程．例９ 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程．分析:椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决．解：如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为(-９，６)，直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（-5，4）.此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b .因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x .例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围. 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k ． 说明:本题易出现如下错解:由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件,当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围. 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解:方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明:（1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方． (２)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b . (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0.例１2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为122=+ny mx （0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段,求线段中点M 的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点）求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ,点P 的坐标为),(00y x ，则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ．将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x .说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ,然后根据题目要求,使x ，y 与0x ,0y 建立等式关系, 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程,就可以求出关于x ，y 的方程, 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握.例１4 已知长轴为12，短轴长为６，焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ,3=b ，所以33=c .因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ,左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x .设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB .(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1,则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ; 所以346-=m .同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ,所以1348=+=n m AB .（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ,2x ，它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=,21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=．例1５ 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为２,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为A.４ B.2 Ｃ.８ Ｄ．23解:如图所示,设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ，又因为ON 为21F MF ∆的中位线,所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明:(1）椭圆定义:平面内与两定点的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.例１6 已知椭圆13422=+y x C ：,试确定m 的取值范围,使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥；(２）弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点.∵l 的斜率4=l k ,∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。
高中数学椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=12.(2013·重庆高二检测)椭圆+=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m的值为( )A.-16B.-4C.16D.43.(2013·珠海高二检测)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )A.2B.6C.4D.124.(2013·安阳高二检测)如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( )A.8B.2C.4D.5.设α∈(0,),方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )A.(0,)B.(0,]C.(,)D.[,)二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于.7.(2013·汕头高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|= .8.F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.10.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程.(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.11.(能力挑战题)已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点.(1)求|PF1|·|PF2|的最大值.(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.答案解析1.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,∴b2=a2-c2=36-16=20,∴其标准方程为+=1.2.【解析】选C.由条件知,椭圆焦点在x轴上且c=3.∴由25-m=32,得m=16.【举一反三】若题中焦点坐标由“(3,0)”改为“(0,3)”,结果如何?【解析】∵焦点坐标为(0,3),∴焦点在y轴上且c=3.由m-25=9,得m=34.3.【解析】选C.设椭圆的另一焦点为F,则|BA|+|BF|=2a=2,|CA|+|CF|=2a=2,由条件可得,△ABC的周长是|AB|+|AC|+|BC|=|BA|+|BF|+ |CA|+|CF|=4a=4.4.【解题指南】结合平面图形的性质可知ON为△MF1F2的中位线,所以首先由定义求出|MF2|,进而求得ON.【解析】选C.∵O为F1F2的中点,N为MF1的中点,∴ON∥MF2且|ON|=|MF2|.∵|MF1|+|MF2|=2a=10,∴|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,∴ON=4.5.【解析】选C.由题意可知<,∴sinα>cosα>0,又∵α∈(0,),解得<α<.【变式备选】(2013·邵阳高二检测)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.m>n>0⇔0<<⇔mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆,故选C. 6.【解析】由条件可知,2c=4,即c=2,∴(m-2)-(10-m)=c2=4,解得m=8.答案:87.【解题指南】由椭圆的定义可以求出△ABF2的周长,从而结合已知求出|AB|.【解析】由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,∴|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又∵|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=8.答案:88.【解析】设|OF2|=c,∴c2=,即c=2.∴a2=b2+4,又点P的坐标为(1,±),点P在椭圆上,∴+=1.解得b2=2.答案:2【误区警示】解题过程中,往往不能将a,b,c的意义与△POF2的边长联系起来,从而很难列出方程组求解.9.【解题指南】建立适当的坐标系,设出椭圆标准方程,而后求解椭圆中的a,b,c 即可.【解析】如图,设椭圆的方程为+=1(a>b>0),有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,两式相加,得8+4=4a,∴a=2+,|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.在直角三角形AMC中,∵|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,∴c2=6,b2=4.故所求椭圆的标准方程为+=1.10.【解题指南】(1)由条件“|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项”求出a,从而得b2后写出椭圆方程.(2)根据面积可以先确定出点P的纵坐标,再代入方程求横坐标.【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为+=1.(2)设P点坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2|·|y0|=2,∴|y0|=,y0=±,代入椭圆方程+=1得,x0=±2,∴P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).11.【解析】(1)∵椭圆方程为+y2=1,∴a=2,b=1,∴c=,即|F1F2|=2.又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF1|·|PF2|≤()2=()2=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,此时点P是短轴顶点,∴|PF1|·|PF2|的最大值为4.(2)∵|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|,∴2(|PF1|2+|PF2|2)≥|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,∴|PF1|2+|PF2|2≥(|PF1|+|PF2|)2=×16=8,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”.∴|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.【拓展提升】揭秘焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.(1)|MF1|+|MF2|=2a.(2)|MF1||MF2|≤=a2.(3)|MF1||MF2|=2a2-.(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中新课标数学选修(2-1)椭圆练习题
椭圆及其标准方程基础卷1．椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)2．在方程22110064x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是（A ）2214x y += （B ）2214y x += （C ）22116x y += （D ）22116y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是（A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）2211636x y += 5．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）146．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 .10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆 习题课测试卷(含解析)
3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
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椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆0632
2=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，
P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．
例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3
52，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
例5 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．
例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内
切，求动圆圆心P 的轨迹方程
例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
5
102，求直线的方程．
例9 以椭圆13
122
2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
已知方程1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范
例10 已知1cos sin 2
2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．
12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．
例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为
3
π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
例15 椭圆19
252
2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．2
3 例15 已知椭圆13
42
2=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
例17 在面积为1的PMN ∆中，2
1tan =
M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．
例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19
362
2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．
高中数学椭圆经典试题练习
1．在椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ）
A ．123,,r r r 成等差数列
B ．
123112r r r += C ．123,,r r r 成等比数列 D ．以上结论全不对
2．曲线22 1 4x y m
+=的离心率e 满足方程22520x x -+=，则m 的所有可能值的积为（ ） A ．36 B ．-36 C ．-192 D ．-198
3．椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x ，过右焦点F 作弦AB ，则以AB 为直径的圆与椭圆右准线l 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
4．设点P 是椭圆)0( 122
22>>=+b a b
y a x 上异于顶点的任意点，作12PF F ∆的旁切圆，与x 轴的切点为D ，则点D （ ）
A ．在椭圆内
B ．在椭圆外
C ．在椭圆上
D ．以上都有可能
5． 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( )
A 3
B 23
C 3
3 D 以上都不对 6. 椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为4
1-,则22OQ OP + 为 ( )
A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定
7. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为ο
60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ．
32 B. 22 C. 21 D. 3
2 8.过原点的直线l 与曲线C:13
22
=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 4
34παπ≤≤ 9. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( )
A 213-
B 215-
C 2
15- D 23
10.椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为( )
A 10<<a B
122<<a C 122<≤a D.2
20<<a . 11.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2
(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )
A )53,55(
B )55,52(
C )53,52(
D )5
5,0( 12.已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2,1( D ]2,1(
13．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点组成一个
正三角形，焦点到椭圆的最短距离为3，则该椭圆的方程为
14．M 是椭圆22
1 94
x y +=不在坐标轴上的点，12,F F 是它的两个焦点，I 是12MF F ∆的内心，MI 的延长线交12F F 于N ，则MI NI
= 15．12,F F 是椭圆22
22: 1 (0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点，直线l 与椭圆C 交于12,P P ，已知椭圆中心O 关于直线l 的对称点恰好落在椭圆C 的左准线上，且2211109
P F PF a -=
，则椭圆C 的方程为 16. (2000全国高考) 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是
18.已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为
19.如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为
20.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,直线4=y 是椭圆的一条准线.
① 求椭圆的方程;
② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求21PF F ∠.余弦值
22．求中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程.。