(完整)高一数学平面向量计算题
高一数学必修四-平面向量计算题2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.下列各量中不是向量的是 【 】A .浮力B .风速C .位移D .密度2.下列说法中错误．．的是【 】 A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是【 】A .一条线段B .一段圆弧C .圆上一群孤立点D .一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是【 】A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则【 】A . AB 与AC 共线 B . DE 与CB 共线C . AD 与AE 相等 D . AD 与BD 相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 .9.已知|AB |=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= . 10.在四边形ABCD 中， AB =DC ，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD是 .2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是【 】A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是【 】A ．a ＋aB ．b +bC ．0D ．a ＋b3.若a +b +c =0，则a 、b 、c 【 】A .一定可以构成一个三角形；B .一定不可能构成一个三角形；C .都是非零向量时能构成一个三角形；D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】A <B >C ≤D ≥5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则【 】Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ.22<+b a b6.一艘船从A 点出发以m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，求水流的速度7.一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速8.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和2v 9.一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于【 】A .a +bB .-a +(-b )C .a -bD .b -a 2.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是 【 】A .2B .3C .4D .5 3.下列等式中一定能成立的是【 】A . AB +AC =BC B . AB -AC =BC C .AB +AC =CB D .AB -AC =CB 4.化简OP -QP +PS +SP 的结果等于【 】A . QPB . OQC . SPD . SQ5.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .6.一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 .7.若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立，则a 与b 的关系为 .8.在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .9.已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件 .10.在五边形ABCDE 中，设AB =a ， AE =b ， BC =c ， ED =d ，用a 、b 、c 、d 表示CD .2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．下列命题中正确的是【 】A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2．下列命题正确的是【 】A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列 关系一定成立是【 】A . 0=λB . 02=eC .1e ∥2eD .1e ∥2e 或0=λ4.对于向量,,a b c 和实数λ ，下列命题中真命题是 【 】A .若 0 =⋅b a ，则0a =或0b =B .若0a λ=，则0λ=或0a =C .若22a b =，则a b =或a b =- D .若 c a b a ⋅=⋅，则b c =5.下列命题中，正确的命题是【 】A .a b a +≥且.a b b +≥B .a b a +≥或.a b b +≥C .若,a b c >>则c b b a +>+D .若a 与 b 不平行，则a b a b +>+6.已知ABCD 是平行四边形，O 为平面上任意一点，设,,,OA a OB b OC c OD d ====，则有【 】A .0 =+++d c b aB .0 =-+-d c b aC .0 =--+d c b aD .0 =+--d c b a7.向量a 与 b 都不是零向量，则下列说法中不正确的是【 】A .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与a 的方向相同B .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与b 的方向相同C .向量a 与 b 反向，且,b a >则向量a + b 与a 同向D .向量a 与 b 反向，且,b a <则向量a + b 与a 同向8.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有【 】A .a ∥b 且a 、b 方向相同B .a =bC .a =－bD .以上都不对9.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于【 】 A .AC B .BD C .AD D .AC2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于【 】A .12b a +B .12b a -C .12a b +D . 12a b - 2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB = 4e 1，BC = 6e 2，则3e 2－2e 1等于 【 】A .AOB .BOC .COD .DO 3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为【 】A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD =【 】 A .2133+b c B .5233-c b C .2133-b c D .1233+b c 5. 如右图在平行四边形ABCD 中，a AB=，b AD =，NC AN 3=，M 为BC 的中点，则=MN 【 】 A .a b 2141- B .b a 2141- C .)(41a b - D .)(41b a - 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设AH b BC a AB 则,,==等于_____.7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________. 9．在ABCD 中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a ， b 表示AB ，BC10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知AB =21e +k 2e ， CB =1e +32e ， CD =21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值A CB D OM Nb B E C ADH F2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1. 若(2,4)AB =，(1,3)AC =， 则BC = 【 】A .(1，1)B .(－1，－1)C .(3，7)D .(-3，-7)2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是【 】Ａ.)5,0(),2,1(=-=b a Ｂ.)1,2(),2,1(==b aＣ.)4,3(),1,2(=-=b a Ｄ.)2,4(),1,2(-=-=b a3.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b 【 】 Ａ.(21)--， Ｂ.(21)-， Ｃ.(10)-， Ｄ.(12)-， 4.若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 【 】A .x =1，y =3B .x =3，y =1C .x =1，y = -5D .x =5，y = -15.点B 的坐标为(1，2)，AB 的坐标为(m ，n )，则点A 的坐标为 【 】A .()n m --2,1B .()2,1--n mC .()n m ++2,1D .()m n ++2,16.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = 【 】A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）7.已知向量)3,1(=a ，)0,2(-=b ，则b a +=_____________________.8.已知向量()1,2-=a ，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是 .9.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 .10．已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 的中点为C ，则OC 的坐标为 .2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝【 】A .(5,10)--B .(4,8)--C .(3,6)--D .(2,4)--2．已知向量()3,x a = ，()1,3-=b ， 且a 与b 共线，则x 等于【 】A . 1-B . 9C .9-D .13．已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a 2︱，若b 与a 反向，则b 等于【 】A .(-4，10)B .(4，-10)C .(-1 ， 25)D . (1， 25-) 4． 平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是【 】A .（2，1）B .（2，2）C . （1，2）D .（2，3） 5．与向量()5,12=d 不．平行的向量是【 】 A .()5,12-- B .⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 C .()5,12- D .()10,24 6.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)， 那么A ，B ，C 三点时λ，μ满足的条件是 【 】A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17.与向量)4,3(--=a 同方向的单位向量是_______.8.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ .9．已知A (-1，-2)，B (4，8)，C (5，x )，如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为 .10．已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，︱m ︱=4137求向量m 的坐标.2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是【 】 A 向量的数量积满足交换律 B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数2已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于【 】A 72B -72C 36D -363. 已知向量a =1，b =2，b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为【 】A .4πB .3π C .32π D .65π 4已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 【 】 A 60° B 30° C 135° D ４５°5.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=•=+-则该四边形一定是 【 】A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形6.若向量a →=(cos sin )αα，，b →=(cos sin )ββ，，则a →与b →一定满足 【 】A .a →与b →的夹角等于αβ-B .a b →⊥→C .a b →→//D .()()a b a b →+→⊥→-→7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是【 】A ．BC AC AB =- B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅AB8设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝9已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .10已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______11已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角 12设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b 【 】A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向2.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４b a ⋅＝【 】A .23B .57C .63D .833.已知a (1，2)，b (2，3)，c (-2，5)，则△a b c 为【 】A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不等边三角形4.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于【 】A .)54,53(或)53,54(B .)54,53(或)54,53(-- C .)54,53(-或)53,54(- D .)54,53(-或)54,53(- 5.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b 方向上的投影为【 】A .13B .513C .565D .656.已知|a |=10，b =(1，2)且a ∥b ，则a 的坐标为 .7.已知a =(1，2)，b (1，1)，c =b -k a ，若c ⊥a ，则c ＝ .8.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .9.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 10.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ，b =CA ，则a 与b 的夹角为 .11.已知a =(3，-1)，b =(1，2)，求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
(完整)高一数学平面向量计算题
高一数学必修四-平面向量计算题1.1 平面向量的实际背景及基本概念3 .把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是【】A.一条线段B. 一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆4 .下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若 a 巾，则 冏拘|.其中正确命题的个数是【】A. 1B. 2C. 3D. 45 .下列命题中，正确的是【】.r. r r rr r r rA.若 i a 1b， 贝U a bB.若 a b ,贝U a//bC .若 ab,贝u a b D .若 a i,贝u a i6 .在AABC 中，AB=AC, D 、E 分别是AB 、AC 的中点，贝U 【 ]A. AB 与AC 共线B. DE 与CB 共线C. AD 与AE 相等D. AD 与BD 相等7 .已知非零向量 a// b, 若非零向量 c/1 a,贝Uc 与 b 必定 _______ . 8 .已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定.9 .已知 |AB |=1, | AC |=2,若/BAC=60°, M|BC |=.10 .在四边形 ABCD 中， AB = DC ,且|A B |=|AD |,则四边形 ABCD 是.2.2.1向量的加法运算及其几何意义1 .下列各量中不是向量的是A.浮力B.风速2 .下列说法中钺误的是【A.零向量是没有方向的C.零向量与任一向量平C.位移D.密度B.零向量的长度为0 D.零向量的方向是任意的、-ur ur __ _ r r1.设a0,b0分别是与a,b向的单包向量，则下列结论中正确的是【】ur ur 山山ur uu ur uuA. a。
b oB. a0b0 1C. |a°| |b。
| 2D. |a。
b。
高一平面向量试题及答案
高一平面向量试题及答案一、选择题1. 若向量a和向量b不共线，则向量a+向量b与向量a-向量b也一定不共线。
（）A. 正确B. 错误答案：B解析：向量a和向量b不共线，说明它们之间的角度不为0°或180°。
然而，向量a+向量b与向量a-向量b之间的角度可能为0°或180°，因此它们可能共线。
2. 若向量a=（3，-4），向量b=（x，y），且向量a·向量b=-5，则x+y的值为（）。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：A解析：根据向量的数量积公式，向量a·向量b=3x-4y=-5。
由于向量a和向量b不共线，我们可以得出x=1，y=-2，因此x+y=1。
3. 若向量a=（1，2），向量b=（-2，4），则向量a+向量b的坐标为（）。
A. （-1，6）B. （3，6）C. （-1，2）D. （3，2）答案：A解析：向量a+向量b的坐标可以通过对应分量相加得到，即（1-2，2+4）=（-1，6）。
二、填空题4. 若向量a=（2，3），向量b=（-1，λ），且向量a与向量b 垂直，则λ的值为______。
答案：-3解析：向量a与向量b垂直，说明它们的数量积为0，即2*(-1)+3*λ=0，解得λ=-3。
5. 若向量a=（x，y），向量b=（1，2），且|向量a|=|向量b|，则x和y的值分别为______。
答案：1，2 或 -1，-2解析：由于|向量a|=|向量b|，我们有√(x²+y²)=√(1²+2²)，即x²+y²=5。
这个方程有两个解：x=1，y=2 或 x=-1，y=-2。
三、解答题6. 已知向量a=（3，-4），向量b=（6，8），求向量a和向量b的夹角θ。
答案：首先，计算向量a和向量b的数量积：向量a·向量b=3*6+(-4)*8=18-32=-14。
接着，计算向量a和向量b的模：|向量a|=√(3²+(-4)²)=5，|向量b|=√(6²+8²)=10。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
(完整版)高一数学平面向量期末练习题及答案
平面向量一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分。
1、以下向量组中能作为表示它们所在平面内全部向量的基底的是（）A．a(0,0)b(1,2)B．a(1,2)b( 2,4)C．a(3,5)b( 6,10)D．a(2, 3)b(6,9)2、若 ABCD是正方形， E 是 CD 的中点，且AB a ， AD b ，则 BE =()A．b 1B．b1Ｃ． a11ba a bＤ． a2222r r r r r rr r rr r3 、若向量(a a)ba 与b 不共线， a b0 ，且c a r r，则向量 a 与 c 的夹角为a b（）A．πB．πC．πD． 02634 、设i，j是相互垂直的单位向量，向量a(m1)i 3 j ， b i(m 1) j ，(a b) ( a b),则实数m为（）A． -2B． 2Ｃ．1Ｄ．不存在25、在四边形 ABCD中，AB a 2b ，BC4a b ，CD5a3b ，则四边形ABCD的形状是（）A．长方形B．平行四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形6、下列说法正确的个数为（）（( a) b(a b) a ( b)| a b | | a | | b |( a b) c a c b c 1）；（ 2）；（ 3）（4）( a b) c a (b c)5a, b,c为同一平面内三个向量，且 c 为非零向量，；（）设a, b不共线，则 (b c)a (c a)b 与c垂直。
A． 2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为 1 的等边三角形ABC 中，设，，，则a b b c c aBC a CA b AB c的值为（3B．3Ｃ． 0Ｄ． 3A．228、向量a =（ -1，1），且a与a +2 b方向同样，则a b 的范围是（）A．（ 1， +∞）B．（ -1，1）Ｃ．（ -1，+∞）Ｄ．（ -∞， 1）9、在△ OAB 中，OA =（ 2cosα， 2sinα），OB =（5cosβ， 5sinβ），若OA OB =-5，则 S△OAB=（）A．3B．3353Ｃ． 5Ｄ．2 210、若非零向量a、b知足| a b | | b |，则（）A. | 2b | | a2b |B. | 2b | | a 2b |C.| 2a | | 2a b |D. | 2a | | 2a b |二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
高一数学平面向量坐标运算试题
高一数学平面向量坐标运算试题1.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】B【解析】由已知,且∥得：，故选Ｂ．【考点】向量平行的充要条件．2.已知为锐角的三个内角，向量与共线．（1）求角的大小；（2）求角的取值范围（3）求函数的值域．【答案】（1）；（2）；（3）（，2]【解析】（1）由向量平行的坐标形式及可列出关于角Ａ的正弦的方程，求出,结合A为锐角，求出Ａ角；（2）由（1）知Ａ的值，从而求出B+C的值，将C用B表示出来，结合Ｂ、Ｃ都是锐角，列出关于B的不等式组，从而求出B的范围；（3）将函数式中C用B表示出来，化为B的函数，用降幂公式及辅助角公式化为一个角的三角函数，按照复合函数求值域的方法，结合（2）中B角的范围，求出内函数的值域，作为中间函数的定义域，利用三角函数图像求出中间函数的值域，作为外函数的定义域，再利用外函数的性质求出外函数的值域即为所求函数的值域．试题解析：（1）由题设知：得即由△ABC是锐角三角形知： 4分（2）由（1）及题设知：即得∴ 8分（3）由（1）及题设知：， 10分由（2）知：∴ 12分∴因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2] 14分（其他写法参照给分）【考点】向量平行的充要条件；已知函数值求角；不等式性质；三角变换；三角函数在某个区间上的值域3.已知平面向量，，且与平行，则（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】,即．【考点】平面向量平行的坐标表示．4.已知向量，且，则．【答案】.【解析】∵，∴，，又∵，∴.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量共线的坐标表示.5.已知,且∥,则（）A．－3B．C．0D．【答案】【解析】根据∥有,可知,得．【考点】向量共线．6.若∥，则x＝．【答案】2或3【解析】因为，所以2或3.【考点】向量平行坐标表示7.若，点的坐标为，则点的坐标为.【答案】【解析】设，则有，所以，解得，所以.【考点】平面向量的坐标运算.8.已知向量若共线,则实数的值为（）A．B．C．或D．或【答案】D.【解析】∵，共线,∴根据向量共线的充要条件知1×x2-1×(x+2)=0，∴x=-1或2,选D.【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．9.已知向量（）A．（8，1）B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算点评：若，10.设向量满足及，（Ⅰ）求夹角的大小；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)设与夹角为，，而，∴，即又，∴所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【考点】向量的夹角向量的模点评：本题是一个考查数量积的应用问题，在解题时注意启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，把握向量的几何表示，注意数量积性质的相关问题11.已知向量，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，向量，且，所以，（－3，1）·（3，）=－3×3+=－9=0，所以，=9，故选D。
高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.已知为平行四边形，若向量，，则向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的减法2.（1）化简（2）如图，平行四边形中，分别是的中点，为与的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．【答案】（1）；（2），，．【解析】（1）根据向量加法的三角形法则，可得到；在中，可得，在中，可得，在中，由条件可得为其重心，因此．（1） 3分；（2） 6分9分是的重心， 12分．【考点】1．向量加法的三角形法则；2．向量的减法运算．3.化简得（）A．B．C．D．【答案】【解析】【考点】向量的三角形法则.4.如图BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为,同理可得所以,根提题意知,所以.【考点】三角形法则的应用.5.已知平行四边形，是的中点，若，则向量= （用向量表示）．【答案】【解析】在三角形中,将所求向量表示成已知向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键.【考点】向量三角形法则,6.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点,若，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，，解得，，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。
【考点】平面向量的加减法7.已知向量，若，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，即，所以，，所以【考点】向量共线数量积公式，向量加减法坐标公式8.化简下列式子：其结果为零向量的个数是（）①；②；③；④A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】对于①成立，对于②,对于③=,对于成立，故答案为D.【考点】向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法法则运用，属于基础题。
9.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示( )A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km，故选A．【考点】向量的加法几何意义点评：本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．10.如图.点M是的重心,则为（）A．B．4C．4D．4【答案】D【解析】点M是的重心，所以有点是中点，【考点】向量的加减法点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量11.D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵D、F分别是三边BC、AB中点，∴，∴，故选A【考点】本题考查了向量的运算点评：熟练掌握向量的概念及运算是求解此类问题的关键，属基础题12.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和【答案】B【解析】∵=-2（），∴（）∥（），故与不能作为基底，故选B【考点】本题考查了基底的概念点评：熟练掌握基底的概念及共线向量的判定是求解此类问题的关键，属基础题13.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量的运算法则可知：式子①，正确；②，正确，式子③，∴正确的由2个，故选C【考点】本题考查了向量的运算法则点评：熟练掌握数乘向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题14.已知||=3,||=4,向量+与－的位置关系为（）A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直【答案】B【解析】因为||=3,||=4,所以（+）·（－）==0，即向量+与－的位置关系为垂直，选B。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为()A．4a－5b＝3B．5a－4b＝3C．4a＋5b＝14D．5a＋4b＝14【答案】A【解析】据投影定义知，＝⇒·－·＝0⇒·＝0，⇒4(a－2)＋5(1－b)＝0⇒4a－5b＝3.2. (08·浙江)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C．D．【答案】C【解析】由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.3. (2010·金华十校)△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．【答案】3【解析】∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.4.已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，⊥.(1)求x、y的值；(2)求四边形ABCD的面积．＝||·||＝×4×8＝16.【答案】（1）x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3（2）S四边形ABCD【解析】(1)＝＋＋＝(4＋x，y－2)，∴＝(－4－x,2－y)，由∥得，x(2－y)＋y(4＋x)＝0①＝＋＝(6＋x，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，由⊥得，(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0②由①②解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.(2)当x＝2，y＝－1时，＝(8,0)，＝(0,4)，∴S＝||·||＝×8×4＝16；四边形ABCD当x＝－6，y＝3时，＝(0,4)，＝(－8,0)，∴S＝||·||＝×4×8＝16.四边形ABCD5.已知a＝(，－1)，b＝.(1)求证：a⊥b；(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k ＝f(t)；(3)求函数k＝f(t)的最小值．【答案】（1）见解析（2）k＝t(t－3)．（3）－.【解析】(1)由a·b＝－＝0，得a⊥b.(2)由x⊥y得，x·y＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.－ka2＋t(t－3)b2＝0.∴k＝t(t－3)．(3)k＝t(t－3)＝－，所以当t＝时，k取最小值－.6.已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝()A．B．3C．3D．【答案】B【解析】∵·＝m||2＋n·＝m，·＝m·＋n·||2＝3n，∴＝S＝1，∴＝3.7.已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________.【答案】-2【解析】∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB＝120°.∴·＝||·||·cos120°＝－2.8.一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？【答案】船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.∴||＝＝2，sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．9.已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是() A．B．C．－3D．0【答案】D【解析】∵＝－，＝－.∴＝－－＝－－.∴＝－，∴＝－.又＝r＋s，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.10.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°【答案】B【解析】∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴〈a，b〉＝120°.11.P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D【解析】由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．12.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据向量数量积的意义，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝，选C.13. (09·天津文)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝______________.【答案】-2【解析】∵＝＋，∴＝－＝－，＝－＝－.∴·＝－ 2－ 2＋·＝－×12－×12＋×12×＝－2.14.已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．【答案】<λ<且λ≠－1.【解析】由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝<0，∴(a＋λb)(λa＋b)<0.λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴<λ<.若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共线，∴，∴k＝λ＝－1，∴<λ<且λ≠－1.本题易忽视θ＝180°时，也有a·b<0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误．15.已知a，b是两个非零向量，证明：当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．【答案】当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．【解析】当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，b·(a＋λb)＝0，∴λ＝－.|a＋λb|2＝λ2b2＋2λa·b＋a2＝b2＝b22＋a2－2.当λ＝－时，|a＋λb|取得最小值．即当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．[点评]本题是将向量、函数的知识有机地结合起来，考查了向量与函数知识的综合应用．要注意a＋λb的模是一个关于λ的二次函数．16. .已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立【解析】假设满足条件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，即|a|2－4a·b＋|b|2＝0，∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，由Δ≥0，得(4cosθ)2－4≥0，解得cosθ≤－或cosθ≥，又cosθ∈[－1,1]，∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，故当θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立．17.已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于()A．－6B．6C．－4D．4【答案】C【解析】∵(a＋b)∥(2a－b)．又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，解得x＝－4.18.已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于()A．－6B．6C．2D．－2【答案】B【解析】a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6.19. (09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向【答案】D【解析】c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.20.若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．【答案】－【解析】∵A、B、C共线，∴∥，∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，∴mn＋2m＋2n＝0，∵mn≠0，∴＋＝－.21.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【答案】D【解析】设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．22.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有()A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】D【解析】与向量共线的向量有：，，，，，，，，，故共有9个23.在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤【答案】D【解析】由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.24.下列命题正确的是()A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量【答案】D【解析】当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．在▱ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．25.如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？【答案】(1) ＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等【解析】(1) ＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等26.已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．【答案】力F1，F2的大小分别为5N和5N.【解析】设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，由题意易得||＝||cos60°＝5，||＝||sin60°＝5，因此，力F1，F2的大小分别为5N和5N.27.若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.【答案】略【解析】如图所示，连结AC，在△DAC中，∵N，M分别是AD，CD的中点，∴∥，且||＝||，且与的方向相同．同理可得||＝||且与的方向相同，故有||＝||，且与的方向相同，∴＝.28.化简－＋＋的结果等于()A．B．C．D．【答案】B【解析】原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.29.．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A．＝B．＋＝C．－＝D．＋＝0【答案】C【解析】A显然正确．由平行四边形法则知B正确．C中－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0.30.在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形【答案】C【解析】以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．∴选C.。
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高一数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），则2+3=（）.A．（﹣4，﹣8）B．（﹣5，﹣10）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）【答案】A【解析】因为=（1，2），=（﹣2，﹣4），.【考点】平面向量的坐标运算.2.已知直线的方向向量为，且过点，将直线绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角得到直线，直线：.(k R).（1）求直线和直线的方程；（2）当直线，，所围成的三角形的面积为3时，求直线的方程。
【答案】（1）直线方程为：，的方程为x-y-1=0；（2）直线的方程为：7x-4y-2=0或13x-10y+4=0.【解析】（1）本小题由已知条件利用点斜式方程能求出直线的方程（其中方向向量可用以求其斜率），设直线的倾斜角为，则的斜率为，从而可求得的方程；（2）可知直线过定点M（2，3），由，得直线与的交点为C(-5,-6),点A到的距离为，联立得直线，的交点B（），又因为直线，，所围成的三角形的面积为3，所以有，再利用两点间的距离公式求得k的值，即可求得的方程.试题解析：（1）因为直线的方向向量为，且过点，所以直线方程为：，整理，得.将直线绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角得到直线，设直线的倾斜角为，且有B（1，0），则的斜率为，所以的方程为：y=x-1,整理得x-y-1=0.（2）因为直线：，即为(x-2)k+(3-y)=0,所以过定点M（2，3），由，得直线与的交点为C(-5,-6),点A到的距离为，联立得直线，的交点B（），又因为直线，，所围成的三角形的面积为3，所以有，则，解得或，所以所求直线的方程为：7x-4y-2=0或13x-10y+4=0.【考点】直线的点斜式，斜截式方程，两直线求交点，两角和的正切公式，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，三角形的面积公式.3.已知平面向量，，且，则【答案】【解析】由得，即得。
【考点】向量垂直的数乘运算。