高一数学平面向量章节测试题(含答案)
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知是单位向量，它们之间夹角是45º，则方向上的投影_________。
【答案】【解析】∵之间夹角是45º，∴方向上的投影为。
【考点】投影的概念。
点评：投影的计算方法2. .若且向量垂直，则一定有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵⊥，∴∴【考点】垂直向量的数量积、点评：有关两向量垂直问题通常用⊥解决。
3.下列四式不能化简为的是（）A．（+）+B．（+）+（+）C．+D．+【答案】C【解析】A：（+）+B：（+）+（+）=+++=C：+=+D：+=所以选C。
【考点】平面向量的加减运算点评：此类问题，结合平面向量的三角形法则考虑。
4.在平行四边形ABCD中，++等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，+=+=∴++=【考点】平面向量的三角形和平行四边形加法法则点评：对于平面向量几何形式下的的加减运算，一般借助于图形分析。
5.已知=，=，且||=||=4，∠AOB=600，则|+|= ，||= ；+与的夹角是；与的夹角是；△AOB的面积是。
【答案】、4、、、【解析】如图，根据平行四边形法则|+|=∵||=||=4∠AOB=600∴四边形OABC为菱形且∠AOC=300,∴在Rt△AOP中OP=2，∴=；根据减法三角形法则，=，在△AOB中，由题意得OA=OB=BA=4；所以|=4；+与的夹角是∠AOC，∠AOC=300中；与的夹角是∠AOB，∠AOB=600；△AOB是边长为4的等边三角形，△AOB的面积是。
【考点】平面向量的加减运算及夹角。
点评：解决此类问题，一般先画出图形，然后结合平面向量的几何运算法则进行解答。
6.化简（1）；（2）（－）－（－）。
【答案】（1），（2）。
【解析】（1）（2）（－）－（－）=－+=【考点】平面向量的化简点评：此类问题要结合平面向量的加减法运算的平行四边形和三角形法则来化简。
7.如图，D、E在线段BC上，且BD=EC，求证：【答案】可先证【解析】，∵,又∵BD=EC∴∴∴【考点】平面向量的加减运算法则点评：解决本题的关键是把转化为来证。
(完整版)平面向量单元测试卷及答案
《平面向量》单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列命题中的假命题是（ ） A 、→-→-BA AB 与的长度相等； B 、零向量与任何向量都共线； C 、只有零向量的模等于零；D 、共线的单位向量都相等。
2．；；④；③∥；②是单位向量；①是任一非零向量，若1|b |0|a |b a |b ||a |b a ±=>>→→→→→→→→），其中正确的有（⑤→→→=b a a|| A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3．首尾相接能，，；命题乙：把命题甲：是任意三个平面向量，，，设→→→→→→→→→→=++c b a 0c b a c b a 围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、非充分也非必要条件 4．）的是（下列四式中不能化简为→-AD A 、→-→-→-++BC CD AB ）（B 、）（）（→-→-→-→-+++CD BC MB AM C 、）（）（→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC5．），则（），（，），（设21b 42a -=-=→→A 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a6．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）A 、→-→-=BE 32BG B 、→-→-=AG 21DG C 、→-→--=FG 2CGD 、→-→-→-=+BC 21FC 32DA 31图17．）（，则锐角∥，且），（，），（设=-+=--=→→→→θθθb a 41cos 1b cos 12aA 、4πB 、6πC 、3πD 、36ππ或 8．）所成的比是（分，则所成比为分若→-→--CB A 3AB C A 、23-B 、3C 、32-D 、-29．）的范围是（的夹角与，则若θ→→→→<⋅b a 0b a A 、)20[π，B 、)2[ππ，C 、)2(ππ，D 、]2(ππ，10．→→→→→→→→b a 4a b 3b a b a 的模与，则方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设 的模之比值为（ ） A 、43B 、34 C 、73 D 、74二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 11．。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
(完整版)高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。
(完整版)平面向量测试题(含答案)一
必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（ 5 分× 12=60 分） :1．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．（AB＋CD）＋BC；B ．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM； D ．OC－OA＋CD；3．已知a =（ 3， 4），b =（ 5， 12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知 a、 b 均为单位向量 ,它们的夹角为60°,那么 |a+ 3b| =（）A ．7B．10C．13D． 45．已知 ABCDEF 是正六边形，且AB ＝ a ， AE ＝ b ，则BC＝（）（ A ）12( a b) （B）12(b a ) （C） a ＋12b（D）12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5 a－ 3 b , 则下列关系式中正确的是（）（A）AD＝BC（B）AD＝2BC（C）AD＝－BC（D）AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋ k e2共线，则 k 的值是（）（ A） 1（B）－1（C）1（D）任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝ 0，则四边形ABCD是（）（ A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形9．已知 M （－ 2， 7）、 N（ 10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且PN ＝－2PM，则P点的坐标为（）（ A ）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）10．已知a＝（ 1，2），b＝（－ 2，3），且 k a + b与a－ k b垂直，则k＝（）（A）12（B） 21（C） 2 3（D） 32r r(2 x 3, x) 互相平行，其中r r）11、若平面向量a(1, x) 和 b x R .则a b （A.2或0；B.25；C.2或2 5；D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 a0 ② a b b a ③a2 a 2④(a b )c a (b c)⑤a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二. 填空题 (5 分× 5=25 分 ):13．若AB(3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a(3, 4), b (2,3) ，则 2 | a | 3a b．15、已知向量 a 3, b (1,2) ，且a b ，则a的坐标是_________________。
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。
高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析
第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2； ④|a ·b |＝|a |·|b |.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13D ．4 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．05．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43D ．－496．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．37．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.537379．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，那么c ＝__________.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．1.解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2.解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3.解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4.解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5.解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6.解析8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )，∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7.解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8.解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537.答案 D9.解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10.解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤|a |24，∴cos θ＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B11.解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C12.解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以2P A →＋PC →＝0，PC →＝－2P A →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△P AB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A13.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案 π6或76π14.解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32， y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2) 15.解析 由题知 AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案216.解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②17.解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0， 解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18.证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →)＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE →＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22 ＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0， ∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19.解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧ x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ (1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20.解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y －4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2. ∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21.解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22.解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ.又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点．在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32，于是∠ABH ＝30°，所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.。
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高一数学平面向量章节测试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(3,1)，则b ⃗⃗−a ⃗=( )A. (−2,1)B. (2,−1)C. (2,0)D. (4,3)2. 已知平面向量a ⃗=(1,−2)，b ⃗⃗=(−2,m)，且a ⃗//b ⃗⃗，则3a ⃗+2b ⃗⃗等于( ) A. (-2,1)B. (1,-2)C. (-1,2)D. (2,-1)3. 已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，那么向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 已知|a ⃗⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗⋅b ⃗⃗=12，则向量a ⃗⃗在向量b ⃗⃗上的投影为( )A. 125B. 3C. 4D. 55. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−23，则λ+μ=( ) A. 12B. 23C. 56D. 7126. 已知向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(3,−2)，且(a ⃗+b⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则m =( ) A. -8 B. -6 C. 6 D. 8 7. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ=( )A. −14B. 14 C. −13 D. 13 8. 已知|a ⃗⃗|=2，向量a ⃗⃗在向量b ⃗⃗上的投影为√3，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为( )A. π3B. π6C. 2π3D. π29. 若向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线，则x 的值为( ) A. −2 B. −4 C. 2 D. 410. 已知a ⃗⃗、b ⃗⃗均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ⃗+3b⃗⃗|=( ) A. √7 B. √10 C. √13 D. 411. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,P 为AD 的中点，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( )A. 45a ⃗+310b ⃗⃗ B. 45a ⃗+1310b ⃗⃗ C.-45a⃗-310b ⃗⃗ D. 34a⃗+14b ⃗⃗ 12. 已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,12)，则∠ABC =( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗是不共线向量，e 1⃗⃗⃗⃗−4e 2⃗⃗⃗⃗与k e 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗共线，则实数k 为______ ．14. 已知向量a ⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(m,1)，若向量a ⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗垂直，则m =______． 15. 设向量a ⃗=(m,1)，b ⃗⃗=(1,2)，且|a ⃗+b ⃗⃗|2=|a ⃗|2+|b⃗⃗|2，则m =______．16. 已知向量a ⃗=(2,sinθ)，b ⃗⃗=(1,cosθ)，若a ⃗//b ⃗⃗，则sin 2θ1+cos 2θ的值为______． 三、解答题（本大题共4小题，共40分）17. 已知向量|a ⃗⃗|=2，b ⃗⃗=(−12,√32)，且a ⃗⃗与b ⃗⃗夹角为2π3， (1)求|a ⃗+2b⃗⃗|； (2)若(a ⃗+kb ⃗⃗)⊥(2b ⃗⃗−a ⃗)，求实数k 的值．18. 已知△OAB 中，点D 在线段OB 上，且OD =2DB ，延长BA 到C ，使BA =AC.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗． (1)用a ⃗⃗,b ⃗⃗表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； (2)若向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线，求k 的值．19. 已知|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，|a ⃗+b⃗⃗|=7． (1)求向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角θ；(2)当向量ka ⃗+b ⃗⃗与a ⃗−2b⃗⃗垂直时，求实数k 的值．20. 已知向量a ⃗⃗=(4,3)，b ⃗⃗=(1,2)．(1)设a ⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，求cosθ的值； (2)若a ⃗⃗−λb ⃗⃗与2a ⃗⃗+b ⃗⃗垂直，求实数λ的值..高一数学平面向量章节测试题答案和解析【答案】B解：∵向量a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(3,1)，∴b ⃗⃗−a ⃗=(2,−1)．2.【答案】C解：向量a ⃗=(1,−2)，b ⃗⃗=(−2,m)，且a ⃗//b⃗⃗，∴1×m −(−2)×(−2)=0， 解得m =4，∴b ⃗⃗=(−2,4)，∴3a ⃗+2b⃗⃗=(3,−6)+(−4,8)=(−1,2)． 3.【答案】B解：根据题意，设向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为θ，又由|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1， 则cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=12，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；4.【答案】A解：向量a ⃗⃗在向量b ⃗⃗上的投影为a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|=125．5.【答案】C解：由题意可得若AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos120°+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅μAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅μAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ−2λμ−2=1， ∴4λ+4μ−2λμ=3 ①． CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(−FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(1−μ)DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(1−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120°=(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−23 ②．由①②求得λ+μ=56，6.【答案】D解：∵向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(3,−2)，∴a ⃗+b⃗⃗=(4,m −2)， 又∵(a ⃗+b ⃗⃗)⊥b ⃗⃗，∴(a ⃗+b⃗⃗)·b ⃗⃗=12−2(m −2)=0，解得m =8． 7.【答案】A解：∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =−14AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴λ=−14． 8.【答案】B解：记向量a ⃗⃗与向量b ⃗⃗的夹角为θ，θ∈[0,π]，∴a ⃗⃗在b ⃗⃗上的投影为|a ⃗|cosθ=2cosθ． ∵a ⃗⃗在b ⃗⃗上的投影为√3，，∴cosθ=√32，∵θ∈[0,π]，∴θ=π6．9.【答案】B解：∵向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)，∴3a ⃗+b⃗⃗=(−6,0)+(2,1)=(−4,1)， ∵3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线，∴x −1×(−4)=0，解得x =−4． 10.【答案】C解：∵a ⃗⃗,b ⃗⃗均为单位向量，它们的夹角为60°，∴|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=1，a ⃗⋅b⃗⃗=cos60°，∴|a ⃗+3b ⃗⃗|=√a ⃗2+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9b ⃗⃗2=√1+6cos60∘+9=√13． 11.【答案】C解：∵MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗−45(a ⃗+b ⃗⃗) =−45a ⃗−310b⃗⃗． 12.【答案】A解：BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√34+√34=√32，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，∴cos ∠ABC =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√32， 又0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC =30°，13.【答案】−14解：∵e 1⃗⃗⃗⃗−4e 2⃗⃗⃗⃗与ke 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗共线，且e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗是不共线向量，∴存在实数λ满足：e 1⃗⃗⃗⃗−4e 2⃗⃗⃗⃗=λ(ke 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗)，∴λk =1且λ=−4，∴k =−14．14.【答案】7解：∵向量a ⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(m,1)，∴a ⃗+b⃗⃗=(−1+m,3)， ∵向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗垂直，∴(a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=(−1+m)×(−1)+3×2=0，解得m =7．15.【答案】−2解：|a ⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗2+2a ⃗·b ⃗⃗+b ⃗⃗2=|a ⃗|2+|b ⃗⃗|2，可得a ⃗·b⃗⃗=0． 向量a⃗=(m,1)，b ⃗⃗=(1,2)，可得m +2=0，解得m =−2． 16.【答案】23解：∵a ⃗=(2,sinθ)，b ⃗⃗=(1,cosθ)，a ⃗//b⃗⃗，∴2cosθ=sinθ，∴tanθ=2， ，17.【答案】解：(1)因为b ⃗⃗=(−12,√32)，∴|b ⇀|=1，又|a ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为2π3， ∴a ⃗⋅b⃗⃗=−1． |a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗)2=√a ⃗2+4a ⃗·b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=√4+4×2×1×(−12)+4=2; (2)由(a ⃗+kb ⃗⃗)⊥(2b ⃗⃗−a ⃗)，得(a ⃗+kb ⃗⃗)·(2b ⃗⃗−a ⃗)=0，即2a ⃗·b ⃗⃗−a ⃗2+2kb ⃗⃗2−ka ⃗·b⃗⃗=0， 所以−2−4+k +2k =0，解得k =2．18.【答案】解：(1)∵BA =AC ，∴A 为BC 的中点，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， 可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗⃗−b ⃗⃗，而DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗⃗−53b ⃗⃗ (2)由(1)，得OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2k +1)a ⃗⃗−53k b ⃗⃗，∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线， 设OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即2a⃗−b ⃗⃗=λ(2k +1)a ⃗−53λkb ⃗⃗， 根据平面向量基本定理，得{2=λ(2k +1)−1=−53λk ，解之得，k =34．19.【答案】解：(1)∵|a⃗|=3，|b⃗⃗|=5，|a⃗+b⃗⃗|=7，∴|a⃗+b⃗⃗|2=(a⃗)2+(b⃗⃗)2+2a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|2+|b⃗⃗|2+2|a⃗||b⃗⃗|cosθ=9+25+30cosθ=47，∴cosθ=12∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°；(2)∵向量ka⃗+b⃗⃗与a⃗−2b⃗⃗垂直，∴(ka⃗+b⃗⃗)(a⃗−2b⃗⃗)=0，∴k|a⃗|2−2|b⃗⃗|2+(1−2k)|a⃗||b⃗⃗|cosθ=0，即9k−50+(1−2k)×3×5×12=0，解得k=−8512．20.【答案】解：(1)向量a⃗⃗=(4,3)，b⃗⃗=(1,2)，则a⃗⋅b⃗⃗=4×1+3×2=10，且|a⃗|=√42+32=5，|b⃗⃗|=√12+22=√5；设a⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，则cosθ=a⃗⃗⋅b⃗⃗|a⃗⃗|×|b⃗⃗|=5×√5=2√55；(2)若a⃗⃗−λb⃗⃗与2a⃗⃗+b⃗⃗垂直，则(a⃗−λb⃗⃗)⋅(2a⃗+b⃗⃗)=0，即2a⃗2+(1−2λ)a⃗⋅b⃗⃗−λb⃗⃗2=0，所以2×52+10(1−2λ)−5λ=0，解得λ=125．。