高中数学基础知识与练习题

高中数学基础知识与练习题The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020第一讲集合与逻辑用语第1节集合及其运算1.元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示).(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. 交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ).★练习1.已知集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，则(∁R A )∩B ＝________.2.(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ).43.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B 等于( ) A.(－1，3)B.(－1，0)C.(0，2)D.(2，3)4.(2015·浙江卷)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q 等于( ) A.[3，4) B.(2，3]C.(－1，2)D.(－1，3]一、选择题1.(2015·安徽卷)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{1，2，5，6} B.{1}C.{2}D.{1，2，3，4}2. (2015·南昌监测)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )B.13.(2015·长春监测)已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩Q 等于( )A.(－∞，2)B.(－∞，－1]C.[0，＋∞)D.(2，＋∞)4.(2015·江西师大附中模拟)设集合A ＝{x |－1＜x ≤2，x ∈N }，集合B ＝{2，3}，则A ∪B 等于( ) A.{2}B.{1，2，3}C.{－1，0，1，2，3}D.{0，1，2，3}5.已知集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )个个个个6.(2014·宜春检测)设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()⊆Q⊆＝Q∪Q＝R第2节命题及其关系、充分条件与必要条件1.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p★练习1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤02(2015·安徽卷)设p：x＜3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.其中为真命题的是__________(填序号).基础巩固题组一、选择题1.(2015·重庆卷)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数3.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题4.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.5.“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要”).6.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p且q、p或q、綈p的真假判断2(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.★练习1．(2015·湖北卷)命题“存在x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是()A．任意x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．任意x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．存在x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1D．存在x∉(0，＋∞)，ln x＝x－12..若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·抚州二检)若p是真命题，q是假命题，则()且q是真命题或q是假命题C.非p是真命题D.非q是真命题2．.命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是( )A.对任意实数x ，都有x ＞1B.不存在实数x ，使x ≤1C.对任意实数x ，都有x ≤1D.存在实数x ，使x ≤13．下列四个命题p 1：存在x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＜⎝⎛⎭⎫13x；p 2：存在x ∈(0,1)，； p 3：任意x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞；p 4：任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜.其中真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4第二讲 函数概念与函数基本性质第1节 函数及其表示1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一的数f (x )与之对应，那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数，记作f ：A →B 或y ＝f (x )，x ∈A ，此时x 叫作自变量，集合A 叫做函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． (4)分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2.函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf （x ），n ∈N *f (x )≥0 1f （x ）与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )f (x )＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题 使实际问题有意义★练习1.下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) (x )＝|x | (x )＝x －|x |(x )＝x ＋1 (x )＝－x2.(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)3.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A.－1基础巩固题组一、选择题1.下图中可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )2.下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的函数为( )＝1sin x＝ln x x＝x e x＝sin x x3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( )B.34..某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510二、填空题6.函数f (x )＝错误!的定义域为________.7.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]，则方程f (x )＝1的解为________.第2节 函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y ＝f (x )的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间A 上是增加的当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间A 上是减少的续表图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的1212①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(3)单调区间的定义:如果y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间． 2．函数的最值 前提 函数y ＝f (x )的定义域为D条件 (1)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值★练习1.(2015·宜春调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )＝1x －x＝x 2－＝ln x －x ＝e x －x2.数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是______. 3f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________. 基础巩固题组一、选择题1.(2015·九江模拟)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( ) ＝log 2x＝＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝1x2.已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )3.函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( ) A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)二、填空题4.(2015·中山质检)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________.5.已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________.第3节 函数的奇偶性与周期性1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在非零常数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，就把f (x )称为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.★练习1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) ＝x ＋sin 2x＝x 2－cos x ＝2x ＋12x＝x 2＋sin x2.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13D.－123.(2014·四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·吉安二检)下列函数为偶函数的是( ) ＝sin x＝ln(x 2＋1－x )＝e x＝ln x 2＋12.(2015·石家庄模拟)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ， 则f (－2)＝( ) A.－12D.－23.(2014·福建卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )(x )是偶函数 (x )是增函数(x )是周期函数(x )的值域为[－1，＋∞)4.(2015·沈阳质量监测)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )B.－23D.－43二、填空题5.函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.第三讲 基本初等函数及其性质第1节 二次函数性质的再研究与幂函数1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0).③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). (2)二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b2a 对称2.幂函数(1)幂函数的定义“”如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质特征 函数 性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ， 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞) {y |y ∈R ， 且y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0]减， [0，＋∞)增增 增(－∞，0)减， (0，＋∞)减 定点(0，0)，(1，1)(1，1)★课前练习1.函数y ＝12x 2－5x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是( ) ＝5，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－232＝－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，232＝5，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，232＝－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－2322.已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( )B.－5D.－63.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a 的图象可能是( )4.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减.基础巩固题组一、选择题1.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A.－4B.4C.－22.若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a 的大小关系是( )－a＜5a ＜0.5aB.5a ＜0.5a ＜5－aC.0.5a ＜5－a ＜5aD.5a ＜5－a ＜0.5a3.(2015·汉中模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) ≥8≤8≥4≥－44若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A.－b2aB.－b a5..已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.第2节 指数与指数函数1.根式:(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a＜0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.3.指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数★课前练习1.下列运算中，正确的是()·a3＝a6 B.(－a2)3＝(－a3)2C.(a－1)0＝0 D.(－a2)3＝－a6 2.(2015·山东卷)设a＝，b＝，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() ＜b＜c＜c＜b ＜a＜c＜c＜a3.已知0≤x≤2，则y＝4x－12－3·2x＋5的最大值为______.基础巩固题组一、选择题1.函数f (x )＝a x －2＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，1)C.(2，0)D.(2，2)2.函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)3..函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )4.若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]二、填空题－34＋log 354＋log 345＝________.6.已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________.第三节 对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)；③零和负数没有对数.(2)对数的运算性质(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N ；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n log a M(n∈R). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b (a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象定义域(0，＋∞)值域R性质过点(1，0)，即x＝1时，y＝0当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数★练习1.函数f(x)＝log a(x＋2)－2(a＞0，且a≠1)的图象必过定点()A.(1，0)B.(1，－2)C.(－1，－2)D.(－1，－1)2.(2015·浙江卷)计算：log222＝______；2log23＋log43＝______.3.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.4.若log a 34＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.若函数y＝log a x( a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()3.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()＝ac＝cd ＝ad＝a＋c4.若log a 35＜1，则a的取值范围是()∪(1，＋∞)5.(2015·萍乡调研)函数f(x)＝log a(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(0，13) D.(3，＋∞)二、填空题6.(2015·四川卷)lg ＋log216的值是________.7.函数y＝log 12(x2－2x)的定义域是________；单调递减区间是________.8.(2016·武汉调研)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________.第四讲 函数图像及其应用第1节 函数的图像1.利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.函数图象间的变换 (1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减. (2)对称变换(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a ＞0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍y ＝Af (x ).★练习1.(2015·广州一调)把函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是( ) ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋＝(x －1)2＋3＝(x －1)2＋12.点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )3.(2016·延安调研)已知图(1)中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图(2)中的图象对应的函数为( )＝f (|x |)＝|f (x )|＝f (－|x |)＝－f (|x |)4.(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x ＞0），2x （x ≤0），且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________.基础巩固题组一、选择题 1.函数y ＝1－1x －1的图象是( )2.函数y＝5x与函数y＝－15x的图象关于()轴对称轴对称C.原点对称 D.直线y＝x对称3.已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()4.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是()A.(－1，0)B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)二、填空题6.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________.7.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.第2节函数的应用1．函数的零点(1)函数的零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个一个零个函数性质y＝a x(a＞1) y＝log a x(a＞1) y＝x n(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x★练习1.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C.函数f(x)在区间[2，16)上无零点D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点2.已知函数f (x )＝6x －log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，4)D.(4，＋∞)3.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )B.34. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元.基础巩固题组一、选择题1.(2015·瑞金模拟)函数f (x )＝2x －1x 的零点所在的大致区间是( )2.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) ，2，12，－12，－123.(2015·周口二模)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( ) A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于04.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )B.115.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )B.－14或－14第五讲导数及其应用第1节导数的概念及运算1．导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α是实数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝a x(a＞0，a≠1)f′(x)＝a x ln__af(x)＝ln x f′(x)＝1 xf(x)＝log a x (a＞0，且a≠1)f′(x)＝1 x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).★练习1.已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) C.－12.(2016·铜川调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )B.－eD.－1e3已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝___. 4曲线y ＝sin xx 在点M (π，0)处的切线方程为________.基础巩固题组一、选择题1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )2,2)22.设y ＝x 2e x ，则y ′＝( ) ＋2xC.(2x ＋x 2)e xD.(x ＋x 2)e x3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－eB.－14.(2015·榆林模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )B.15.(2016·南阳模拟)曲线f (x )＝x 2＋a x ＋1在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a ＝( ) B.－1D.－7二、填空题6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.7.(2016·河南六市联考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.第2节导数与函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.★练习1.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A.(0，1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1，1)2.(2016·合肥模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是()A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)基础巩固题组一、选择题1.(2016·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，＋∞)2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()3.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.[3，＋∞)B.[－3，＋∞)C.(－3，＋∞)D.(－∞，－3)4.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是()>0，b<0，c>0，d>>0，b<0，c<0，d>0<0，b<0，c>0，d>>0，b>0，c>0，d<0二、填空题5函数f(x)＝x＋9x的单调递减区间为________.6.如果函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，则a的取值范围是________.第3节导数与函数的极值、最值1.函数的极值与导数(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.★练习1.函数f(x)＝－x3＋3x＋1有()A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值32函数y＝x e x在其极值点处的切线方程为________.3.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0，3]上的最大值与最小值分别为________.基础巩固题组一、选择题1.函数f (x )＝2x 3－6x 2－18x －7在[1，4]上的最小值为( ) A.－64B.－61C.－56D.－512.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数是( ) .1 C D.由a 确定3.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )4.(2015·咸阳模拟)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) ＜12＜1＞0＜b ＜15.(2016·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 二、填空题6.已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7.(2016·广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.第六讲 三角函数定义及三角恒等变形第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线★练习1.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) π＋45°(k ∈Z )·360°＋94π(k ∈Z )·360°－315°(k ∈Z ) π＋5π4(k ∈Z )2如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A.(cos θ，sin θ) B.(－cos θ，sin θ) C.(sin θ，cos θ)D.(－sin θ，cos θ)3.若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. (北师大必修4P12习题6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.基础巩固题组一、选择题1.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )C.－35D.－453.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )4.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )5.若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sin α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cos α2的值为( )B.2C.－2或－2二、填空题6.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______.第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式练习570°的值为( )C.－12D.－322已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A.－25B.－153若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )B.－125 D.－512 4.已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________.基础巩固题组一、选择题1.若cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )C.±43D.±342.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( )A.－55 D.－2553.(2016·西安模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝( )B.－35 D.－45 ＝( ) 2－cos 22＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)2－sin 25.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A.－15B.－35 二、填空题43π·cos 56π·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π的值是________.第3节 两角和与差及二倍角的三角函数1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β). (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 练习1若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－7210 C.－2102.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )3.(2016·渭南模拟)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )4sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.基础巩固题组一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32C.－122.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.03.(2015·温州测试)已知sin x ＋ 3 cos x ＝65，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝( )A.－35 C.－454.(2015·郑州质量预测)已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________. 5.设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.第4节 三角函数的图像与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义 域 RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域[－1，1] [－1，1]R练习1.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋cos x2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.－1B.－223.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )＝π4 ＝π2 ＝－π4 ＝－π2基础巩固题组一、选择题1.(2016·南昌检测)下列函数中，是周期函数的为( ) ＝sin|x |＝cos|x |＝tan|x |＝(x －1)02.(2015·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) (k ∈Z ) (k ∈Z ) (k ∈Z )(k ∈Z )3.(2015·云南统一检测)已知函数f (x )＝cos 23x －12，则f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于( )。