矩阵分析试题中北大学33
矩阵,试题,答案
参考答案一（20分） 设矩阵101120403A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， （1）求A 的初等因 子组； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使得J AP P =-1； （4）求kA 。
答案：（1）210111120(2)(2)(1)43403I A λλλλλλλλλ+-⎡⎤+-⎢⎥-=--=-=--⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦观察得，21231,1,(2)(1)D D D λλ===--因此，初等因子组为2(1),(2)λλ-- 5分（2）1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10分（3）设123[,,]P ααα=，由1P AP J -=，得1121233(1)(2)2(3)A A A ααααααα=⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 由（1），1()0I A α-=，解得1112α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中20110.05110010.5402000I A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由（2），21()I A αα-=-，解得2011α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中12011100.50.5[,]1101010.50.540220000I A α----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦由（3）3(2)0I A α-=，解得3010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中3011002100001401000I A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1100100111,201210111P P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 15分（4）10010002kkk J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12102122124021k k k kk k kA PJ P k k k k --+⎡⎤⎢⎥==+---+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦20分 二（20分） 设微分方程组0d d (0)x Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，其中311202113A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （2）求Ate ； （3）求该方程组的解。
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
矩阵分析课后习题解答整理版
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH-==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41
0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X
0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即 解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中 ， 线 性 变 换 T 为 ： Ti i , i 1, 2, 3, 其 中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2
1
1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1
其他学院——矩阵分析试题
3 （满分 12 分）设 x 与 x 是 C n 上的两种范数，试证明 x max x , x 成 C n 上的范数。
也构
4 （满分 12 分）设 x1 , x2 , , xm 是酉空间 V 的一组向量，令
试求： (1) V1 V2 的一组基与维数。 (2) V1 V2 的一组基与维数。
2 (满分 14 分) 设 R 表示所有正实数集合，在 R 中定义加法 和数乘 分别为：
a b ab, a, b R k a a k , a R , k R
广东工业学考试试卷
课程名称: 矩阵分析 试卷满分 100 分
1 （ 满 分 12 分 ） 设 向 量 1 (1, 0, 2,1)T ， 2 (2, 0, 1,1)T ， 3 (1, 0,1,1)T ，
1 (1,1, 0, 1)T ， 2 (3,1, 2,1)T ，令 V1 span1, 2 , 3 ， V2 span1, 2 ,
广东工业大学试卷用纸，共
页，第
页
x1 5 （满分 12 分） 设 x x 2 R 3 ， T 是 R 3 上的线性变换，定义如下： x 3 x1 2 x2 2 x3 Tx 2 x1 x2 2 x3 2 x 2 x 3x 2 3 1
2 1 0 i 2 3 T 8 （满分 14 分）已知 A 0 2 3 ， B ， x 1 i 2i ， 1 0 i 1 2 0
试求 A F , A 2 , B 1 , B , Ax 1 , x 2 , Bx
中北大学线性代数(练习册)答案
中北大学线性代数作业（练习册）答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用 第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1； 4. 1ln ln a b -二、1.18； 2.； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x ===第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0.二、1. 2000； 2.4abcdef ；3.160；4.8；5.63；6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++- 四、1.123,1x x ==；2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法则一、1. 3,1x y ==-2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解.三、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a --二、C C C C三1.-25； 2.222()()x y x y xy +--+；3.1；4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,x x == 2.00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。
七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。
第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2412498 二、DCDDC 三、1.（1）101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) ()10；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛369246123； （4）2212131223522x x x x x x x x -+++. 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A .第二节 逆矩阵一、1.4, 4，4,14； 2. 113二、CDDC 三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆；(3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A .3. 1=B .4. X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321.5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001001k；2.111221111--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BBC三、1.（1） 211532421⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭；（2）11240101113621610--⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭； （3）12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭2.96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.第五节 矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；（2）秩为2；（3）秩为4（4）2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a . 综合练习题二 一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 2.()2R AB =； 3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、（1）()15,10,13T--（2）()0,0,0.二、()()2,4,TTαβ=-=---三、()2,4,9α=-.四、1.123422βαααα=-++-；2.123400βαααα=-++⋅+⋅. 五、β可以由向量组123,,ααα线性表示，且12351114βααα=-+-.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性无关,两个向量的对应分量不成比例；2. 线性相关,包含零向量的向量组必定线性相关；3. 线性无关，2111110112--≠-； 4. 线性相关， 4个3维向量必线性相关. 二、 1.（√） 2.（√） 3.（×） 4.（√） 5.（√）6.（×）7.（√）. 三、1. 283-2. 1lm ≠3. >4. 相5. 惟一. 四、证明：（略）. 五、不一定线性相关， 例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩， 但是1122,αβαβ++线性无关.第三节 向量组的秩一、1. 相； 无 2. 12r r = 3. =. 二、1. B 2. B 3. A . 三、1. 1234,,,αααα的秩为4；2. 0,1a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2；1a =时，123,,ααα的秩为1；四、 1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关；2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关； 五、1. 123,,ααα本身为其一个极大线性无关组；2. 12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且31213510ααα=+. 六、 1. 9k =；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且41233αααα=+-. 七、证明：（略）.八、证明：（略）.九、证明：（略）.第四节 向量空间一、因为1V 满足加法和数乘的封闭性，所以1V 是向量空间；因为2V 不满足加法的封闭性，所以2V 不是向量空间. 二、(1,1,1). 三、B .四、1. 111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 2. 1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ.五、 1. βα,化为单位向量为1(1,1,1)2T --2,2,1)T ； 2. βα,正交. 六、12,,ααα正交化为：()11,0,1,1β=-，2221,1,,333β⎛⎫=- ⎪⎝⎭，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.（1）2-；（2）1-. 二.（1）C ；（2）A .三.（1）(0,1,0)T; （2）无解；（3）12348,3,62,x x k x k x k =-=+=+=，其中k 为任意常数.四.（1）2λ=-；（2）1-2λλ≠≠且； （3）1231212=1,(,,)(1,,)T T x x x k k k k λ=--，其中12,k k 为任意常数.第二节齐次线性方程组解的结构一. CC ADBDCB.二. （1）(2,1,1)T ξ=-；（2）1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三. 123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. C DB.二. （1）127523342133001100x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中12,k k 为任意常数. （2）1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.三. 当1k =-时，方程组无解；当1k ≠-且4k ≠时，方程组有惟一解；当4k =时，方程组有无穷多组解，其通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数.第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1. 3； 2. 11, ,24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- 3.01或； 4. 23-,； 5. 6； 6. 3-；7. 0； 8. 211,, 二、CCBD三、1. 特征值：23023λλλ===1，， 对应的全部特征向量：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 特征值：23211λλλ==-=1，， 对应的全部特征向量：12311121,1,01112k k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭四、特征值：||A （三重）；任何三维非零列向量都是B 的特征向量.五、1a =- 六、提示：两边同取行列式七、提示：用反证法八、（1）12322βξξξ=-+；（2）12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1. 24； 2. 1； 3. 6 二、BBA 三、1. 不可对角化；2.123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭==，1224P AP --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭= 3.不可对角化四、题目有问题，P 不可逆，待查. 五、（1）56a ,b ==；(2)111102013C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭六、02x ,y ==＊七、提示：1k =，不可对角化第三节 实对称矩阵的对角化一、1．线性相关，正交； 2. 3 二、12133412,535203P P AP -⎛ -⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭三、0，2，2 四、0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭五、（1）0,0αβ==；（2）00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝六、提示：123=4,1λλλ==，A 可对角化，设相似变换矩阵为P ，则1411kk A P P -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭＊七、提示：（1）特征多项式相同⇒有相同的特征值12,,,n λλλ ⇒A ，B 都与12(,,,)n diag λλλ 相似（再利用相似的传递性）（2）一般矩阵不具有此结论，如1110,0101A I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两者特征多项式均为2(1)λ-，但两者不相似.第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、√ √ × × 二、1.112312323110110110,(,,)(,,)110000000x f x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1121221111,(,)(,)1111x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.222123112132233(,,)48223f x x x x x x x x x x x x =+++-+ 4.012103,3231-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； 5. 2三、1.112312323120(,,)(,,)240,2001x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 11212222(,)(,),221x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 222(,,)(,,)260,3204x f x y z x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭第二节 化二次型为标准形一、1.2221232f y y y =++；1123223332x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩；2. 2221239f y y y =+-；11232233315221()2x =y y y x =y -y x y ⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ 3.2221232f =y y +5y -；11232233322x y y y x y y x y ++⎧⎪=+⎨⎪=⎩= 4.22212324f z z z =-+；112233116114001x z x z x z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、1. 11223310000x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝，22212325f y y y =++2.1122330x yx y x y ⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，213f y =三、0a b ==第三节 二次型的规范形与惯性定律 第四节 正定二次型一、1. 2；2. t 二、AACDD三、1122331030011x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，222123f y y y =-++，正惯性指数为2，负惯性指数为1四、1. 负定； 2. 正定 五 1.405a -<< ； 2. 2a > 六、4t >。
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§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。
将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。
首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。
定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。
定理1设,⨯∈n nn A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。
推论1设,⨯∈n n n A R 则A 可唯一地分解为1=A Q R其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LQ其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。
推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得=T A R R推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得=T A R R定理2设,⨯∈n nn A C 用L 表示下三角复矩阵，*L 表示单位下三角复矩阵，R 表示上三角复矩阵，*R 表示单位上三角复矩阵，D 表示对角矩阵，则下列命题等价：（1）A 的各阶顺序主子式111212122212(1,2,,)⎛⎫⎪⎪∆=≠= ⎪⎪⎝⎭k k k k k kk a a a a a a k n a a a ；（2）A 可唯一地分解为*=A LR ，并且L 的主对角线上元素不为零； （3）A 可唯一地分解为**=A L DR ，并且D 的主对角线上元素不为零； （4）A 可唯一地分解为*=A L R ，并且R 的主对角线上元素不为零； 说明：若A 是n 阶满秩实方阵，则对于实矩阵L 、*L 、R 、*R 、D ，定理2 仍然成立。
例1.设147130021-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求A 的三角分解。
（解题的一般方法？） 解. 由147147147130077011021021021---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ *147011001-⎛⎫⎪→-= ⎪ ⎪⎝⎭R所以147100147130170011021021001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A （需求前一个矩阵）n 阶方阵的三角分解对求解非齐次线性方程组非常方便。
比如，设方程组=Ax b ，系数矩阵A 有三角分解式LR A =，则有=LRx b ，于是令=Rx y ，有,=⎧⎨=⎩Ly bRx y 先求第一个方程组中的未知向量y ，然后将y 代入第二个方程组再求解x 。
由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的解，并且易于利用计算机求解。
例2 用三角分解求解方程组：（解法可能有问题）123412423412342583692254768+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=⎪⎪+-+=⎩x x x x x x x x x x x x x x 解：系数矩阵可以分解为2000151172151222100251313060137702120207001414767011292⎛⎫⎛⎫⎪-⎪-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎪==⨯ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎪⎝⎭⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭A 代入上面的新方程组中的第一式可得：54,,5,110⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ty ，再将此结果代入新方程组中的第二式可得：()3,4,1,1=--Tx ，此即所求方程的解。
二、任意矩阵的三角分解前面讨论的矩阵分解仅仅是对n 阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三角分解。
定义3 设A 是⨯m n 阶复（实）矩阵，如果=rankA m ，则称A 是行满秩矩阵，记为()⨯⨯∈m nm nm m A C R ；如果=rankA n ，则称A 是列满秩矩阵，记为()⨯⨯∈m nm nnn A C R 。
定理3 当A 是行满秩或列满秩复矩阵时，有（1）若⨯∈m nm A C ，则存在m 阶正线下三角复矩阵L 和n 阶酉矩阵U ，使得()=A LO U （用L 和0组成一个矩阵可与U 相乘）（2）若⨯∈m nnA C ，则存在m 阶酉矩阵U 和n 阶正线上三角复矩阵R ，使得⎛⎫= ⎪⎝⎭R A U O注：该定理表明了行（列）满秩矩阵能分解为一个酉矩阵与一个长（高）三角矩阵的乘积。
下面我们进一步给出行（列）满秩矩阵能分解为一个正线三角矩阵与一个长（高）酉矩阵的乘积。
记⨯m nmU 表示以m 个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合，⨯m n n U 表示n 个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。
定理4 （1）若⨯∈m nm A C ，则A 可唯一地分解为=A LU其中L 是m 阶正线下三角矩阵，⨯∈m nm U U 。
（2）若⨯∈m nnA C ，则A 可唯一地分解为=A UR其中⨯∈m nnU U ，R 是n 阶正线上三角矩阵。
说明：当A 是行满秩或列满秩实矩阵时，亦有类似于定理3和定理4的结论。
当A 既不是行满秩矩阵，也不是列满秩矩阵时，则有 定理5 设⨯∈m nrA C ，则存在酉矩阵⨯∈m mU C、⨯∈n nV C及r 阶正线下三角矩阵L ，使得⎛⎫= ⎪⎝⎭L O A U V O O 推论4设⨯∈m nrA C ，则存在酉矩阵⨯∈m mU C、⨯∈n nV C及r 阶正线上三角矩阵R ，使得⎛⎫= ⎪⎝⎭R O A U V O O 三、矩阵的谱分解在线性代数中，已经讨论了一个方阵的特征值和特征向量的问题，已经发现特征值有着非常重要的作用。
由于相似矩阵有相同的特征值，因而人们总希望在相似矩阵中找到结构最简单的矩阵，这就是对角矩阵或Jordan 标准形矩阵。
下面我们将根据矩阵的特征值，进一步寻求利用简单矩阵来表示已知的矩阵，即讨论矩阵的谱分解。
1.单纯矩阵的谱分解定义1若矩阵A 的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称矩阵A 为单纯矩阵。
注意到“属于每个特征值的线性无关的特征向量合起来也是线性无关的”这一事实，则可知如下定理是成立的。
定理1 A 是单纯矩阵⇔A 与对角矩阵相似。
下面给出单纯矩阵的谱分解定理。
定理 2 设⨯∈n nA C是单纯矩阵，则A 可分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)= i A i n 的加权和，即1λ==∑ni i i A A ， （3.1）其中(1,2,,)λ= i i n 是A 的特征值。
定理2中的分解式称为A 的谱分解，分解式中的矩阵i A 具有如下的性质：（1）幂等性：2=i i A A ；（2）分离性：()=≠i j A A O j i ； （3）可加性：1==∑nin i AE 。
由这些性质容易得出：221λ==∑ni i i A A1(2,3,)λ===∑ nl l i ii A A l 。
当()f A 是A 的多项式或是A 的解析函数时，容易得到：1()()λ==∑ni i i f A f A （3.2）称上式为矩阵函数()f A 的谱分解。
例3 求2++A A E 的谱分解。
解：由（3.2）式2++A A E 21(1)λλ==++∑ni i i i A 若设111()λλλλλ--=-=++++ n n n n f I A a a a由Hamilton ——Caylay 定理可知：1110--++++= n n n n A a Aa A a E ， （3.3）则有：111()--=-+++ nn n n A a A a A a E由此可知，对任意的1>-m n ，m A 都是矩阵1,,,- n E A A的线性组合。
同时由（3.3）式，当0≠n a 时，可知A 可逆，且A 的逆矩阵为112111()----=-+++ n n n nA A a A a E a由（3.2）式容易求得1-A 的谱分解为1121111()λλ----==-+++∑ n n n i i n i i n A a a A a 。
（3.4）把一个单纯矩阵A 分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)= i A i n 的加权和，无论从代数上，还是从几何上进行研究，都有它的方便之处。
特别对于（3.2）和（3.4）的分解，在自动控制中有许多应用。
更一般地，单纯矩阵的谱分解定理为：定理3设⨯∈n nA C，它有k 个相异特征值(1,2,,)λ= i i k ，则A 是单纯矩阵⇔存在k 个矩阵(1,2,,)= i A i k 满足：（1）,;=⎧=⎨≠⎩ii j A j i A A Oj i（2）1==∑kin i AE ；（3）λ=∑kiiA A 。
值得注意的是定理中的条件（1）中的矩阵(1,2,,)= i A i k 是幂等矩阵，故定理中存在k 个矩阵(1,2,,)= i A i k ，又可看作是存在k 个投影算子（简称为谱算子）。
例4 求矩阵1141⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的谱分解。
解：首先求得A 的特征值为123,1λλ==-，则12()ϕλλλ=-，21()ϕλλλ=-（先求出()i ϕλ在带入具体值）1112()4ϕλλλ=-=，2221()4ϕλλλ=-=-1241()42ϕλ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A A I ，2121()42ϕλ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭A A I 所以11111141()14421()412ϕϕλ⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭A A22221121()124421()412ϕϕλ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭A A因此，1122123λλ=+=-A A A A A 2.正规矩阵及其分解引理1 设A 是正规矩阵，A 与B 酉相似，则B 也是正规矩阵。