矩阵分析第3章习题答案

第三章

1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n

C 中向量

1212(,,,),(,,

,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ=

（1） 证明在上述定义下，n

C 是酉空间； （2） 写出n

C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --⎡⎤

=⎢

⎥

-⎣⎦

，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知

308126(1)316,(2)103205114A A --⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥----⎣⎦

⎣⎦

试求酉矩阵U ，使得H

U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子

4、 试证：在n

C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H

U AU 为对角矩阵，已知

1

31(1)612A ⎡⎢⎢⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

01(2)10000i A i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，434621(3)44326962260i

i i A i i i i i +--⎡⎤⎢⎥=----⎢

⎥⎢⎥+--⎣⎦

11(4)11A -⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

6、 试求正交矩阵Q ，使T

Q AQ 为对角矩阵，已知

220(1)212020A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，11011110(2)01111011A -⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

-⎢⎥-⎣⎦

7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知

11(1)01112i i A i i +⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，222(2)254245A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1

()()

H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1

()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。

证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满

秩。()()1

1()()()--=-+=-+-H

H

H H H

i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要

()()1

1()()()()()()---+-=-+⇒--+=+-⇒-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U

故H

H

H =

由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得

0+≠E iH ，即E iH +满秩。

111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E

9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证：

1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。

证明：

1111

[()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E

设,A B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。 证明：相似矩阵有相同的特征值。A 与B 正交相似⇒A 与B 的特征值相同。 若A 与B 的特征值相同，又,A B 均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q ，P 使

()()T T T T T Q AQ P BP QP A QP B Λ==⇒=其中T QP 为正交阵。

10、 设,A B 均是Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。 证明：同上一题。

11、 设,A B 均是正规矩阵，试证：与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。 同上

12、 设A 是Hermite 矩阵，且2A A =，则存在酉矩阵U ，使得000r

H E U AU ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

13、 设A 是Hermite 矩阵，且2

A E =，则存在酉矩阵U ，使得00

r

H

n r E U AU E -⎡⎤

=⎢

⎥-⎣⎦

。

14、 设A 为正定Hermite 矩阵，B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的特征值实部为0。 证：A 为正定Hermite 矩阵H

A L L ⇒=，L 为满秩的。

1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，()H H H H H LBL LB L LBL ==-

H LBL 是反Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵的特征值实部为0,所以AB 的特征值实部为0。

15、 设,A B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数。 证明：同上题。

1()H H H H E AB E L LB L E LBL L λλλ--=-=-，

()H H H H H LBL LB L LBL ==，H LBL 是Hermite 矩阵，Hermite 矩阵的特征值为实数,所以

AB 的特征值是实数。

16、 设A 为半正定Hermite 矩阵，且0A ≠，试证：1A E +>。

证明：A 的特征值为0i λ≥，矩阵的行列式等于特征值之积。A E +特征值为1i λ+，

(1)1+=+>∏i A E λ