第三章矩阵分析及其应用
矩阵分析引论--第三章 矩阵的标准化-多项式矩阵与史密斯标准形
D2(l ) , D1(l )
0
0
0
- l 2
l
c3 -1c1 0 0
0
l(l - 1)
0
1 0
- l 2
目录 上页 下页 返回 结束
第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
1 c1c3 0
0
l
l(l - 1) 0
- l 2
0
0
1 c3 -lc1 0
- l 2
0
l(l - 1)
0
0 0
l(l - 2)
1 0
r3 (l-2)r2 0 l
0
l(l - 2)
0 0 l(l - 1)(l - 2)
1 0
c3 -( l -2)c2 0 l
0
0
0 0 l(l - 1)(l - 2)
目录 上页 下页 返回 结束
第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-7 设多项式矩阵A(l)的秩 r≥1, 则A(l )
J(l)称为 A(l)的 Smith标准形.
目录 上页 下页 返回 结束
第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
例2 求多项式矩阵 A(l) 的Smith标准形.
0 l(l - 1) 0
A(l ) l 0
l 1 .
0
0
- l 2
解
l 0
l 1
A(l ) r1r2 0 l (l - 1)
3º 初等矩阵及其性质与数字矩阵类似.
目录 上页 下页 返回 结束
第三章第四节 多项式矩阵与史密斯标准形
定义3-6 若A(l)可经有限次初等变换化为B(l), 则称A(l)与B(l)等价. 记为A(l) ≌ B(l).
矩阵分析方法及应用论文
矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。
矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。
矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。
首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。
矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。
当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。
另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。
特征向量是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。
矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。
下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。
论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。
2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。
论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。
3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。
论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。
4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。
矩阵分析的应用
矩阵分析的应用
1、商品细分：商品细分矩阵分析是一种从市场上容易得到的数据，根据客户的不同需求，确定不同的属性，并将属性进行技术分析，从而得出市场消费者对产品的需求以及品牌的相对优势，从而帮助商家分析出满足客户需求的产品细分结构。
2、客户关系管理：矩阵分析可以帮助企业分析其客户的需求特点和关系，根据客户的不同行业、地理位置、企业规模等特点来确定客户群体，从而制定科学的客户关系管理策略，提高企业的客户关系管理水平。
3、绩效考核：矩阵分析的强大分析功能可以帮助企业分析销售团队的绩效，研究其团队绩效评估指标，比如业绩贡献、潜在客户开发情况、拜访状况等，从而实现企业员工绩效考核的客观、准确、合理的目标管理。
;。
矩阵分析及其应用
1
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k) (aikj )mn Cmn，如果mn个常数项级数
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
k 1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k ) A(1) A(2)
k 1
收敛。如果mn个常数项级数
A(k )
aij(k) , i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
ck J1k (1),
ck
J
k 2
(2
),,
ck
J
k r
(r
))
P
1
k 0
k 0
k 0
其中
ck ik
k0
k 0
ck
J
k i
(i
)
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di 1 k di 1 c c k k i
k 0
ck ck1ik1
k 0
ck ik
k 0
di di
当 ( A) R 时，幂级数
k 1
k 1 i1 j1
i1 j1 k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj )mn Cnn ，称形如
ck Ak c0I c1A c2 A2 ck Ak
k 0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 ck xk 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
例：设
1 1 1 1
A 0 0 , B 0 0
鲁棒控制理论与设计 第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
k<r
则 A 与秩为 k 的任一矩阵 B 之差的 L1 和 L2 范数分别为
min A − B =
rank (B )=k
1
A − Ak
1 = σ k +1
和
(3.1.30)
3－5
第三章 矩阵分析和线性矩阵不等式
min A − B 2 =rank (B )=k2A − Ak
2 2
=
σ
2 k +1
+
L
∂A ∂θ
= [ ∂A ∂θ1
,
∂A ∂θ 2
,L ,
∂A ∂θ n
]
(3.1.12)
4） 标量对矩阵求导仍为矩阵。设 J 为标量， M 为矩阵，则 ∂J 是以 ∂J 为第 ij 元素的矩阵，
∂M
∂mij
其中 mij 表示 M 矩阵的第 ij 元素。
在上述约定下，有如下一些结果：
1） ∂ (aT x) = aT ； ∂x
−
A21
A -1 11
A12
]
(3.1.5) (3.1.6)
证明：因为
所以有
⎡ A11
⎢ ⎣
A21
A12 ⎤ ⎡ I
A22
⎥ ⎦
⎢⎣−
A−1 22
A21
0⎤
A−1 22
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
A11
⎣
−
A12 0
A−1 22
A21
A12
A−1 22
I
⎤ ⎥ ⎦
det
A ⋅ det
A −1 22
=
det[ A11
3.1.2 矢量与矩阵的微分运算
在鲁棒控制理论和系统建模中，矢量与矩阵的微分运算是非常重要的。本节我们不加证明地给出 一些常用到得运算定理和公式。为了叙述方便，采用下列约定。
第3章 MATLAB矩阵分析与处理
例3.2 建立随机矩阵： 建立随机矩阵： (1) 在区间 在区间[20,50]内均匀分布的 阶随机矩阵。 内均匀分布的5阶随机矩阵 内均匀分布的 阶随机矩阵。 (2) 均值为 、方差为 的5阶正态分布随机矩阵。 均值为0.6、方差为0.1的 阶正态分布随机矩阵 阶正态分布随机矩阵。 命令如下： 命令如下： x=20+(50-20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩 此外，常用的函数还有 ， 阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成 阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 重新排成 m×n的二维矩阵。 的二维矩阵。 × 的二维矩阵 如 A=[1 2 3;4 5 6]; reshape(A,3,2)
3.2.2 矩阵的转置与旋转 1．矩阵的转置 ． 转置运算符是单撇号(’)。 转置运算符是单撇号 。 2．矩阵的旋转 ． 利用函数rot90(A,k)将矩阵 旋转 的k倍， 将矩阵A旋转 利用函数 将矩阵 旋转90的 倍 时可省略。 当k为1时可省略。 为 时可省略
3．矩阵的左右翻转 ． 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列 和最后一列调换， 和最后一列调换，第二列和倒数第二列调 对矩阵A实 换，…，依次类推。MATLAB对矩阵 实 ，依次类推。 对矩阵 施左右翻转的函数是fliplr(A)。 施左右翻转的函数是 。 4．矩阵的上下翻转 ． MATLAB对矩阵 实施上下翻转的函数是 对矩阵A实施上下翻转的函数是 对矩阵 flipud(A)。 。
第3章 MATLAB矩阵分析与处理 章 矩阵分析与处理
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 特殊矩阵 矩阵结构变换 矩阵求逆与线性方程组求解 矩阵求值 矩阵的特征值与特征向量 矩阵的超越函数
矩阵分析 第三章 第6节
AH A
AT A
Hemite矩阵
对称矩阵
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
x H Ax 是实数。 （1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x C n ，
（2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S C nn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
定理6.3：
A C nn， 则 A 是正规矩阵的充要条件是：
U H AU diag (1, 2 ,, n )
定理7.9： 酉空间V上的线性变换 T 是正规变换的充要条件是： 在V中存在一标准正交基，使得 T 在这个基下的矩阵表示为对角 矩阵。
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
3.3正交变换与酉变换
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、பைடு நூலகம்矩阵的逆等于它的复共轭转置
酉矩阵 正交矩阵
AH A AAH E
AT A AAT E
Hermite二次齐式，实二次齐式（二次型） 系数为复数的二次齐次复多项式
f ( x1 , x2 ,, xn ) i , j 1 aij xi x j (规定aij a ji )
n
x ( x1, x2 ,, xn )T C n
A (aij )nn
f ( x1, x2 ,, xn ) xH Ax
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
矩阵分析3.1-2
Hermite 第三章 内积空间、正规矩阵、矩阵解析几何中，是用向量的长度和夹角来定义内积，而在矩阵理论中是先定义内积概念，再引入向量的长度、夹角等概念。
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘运算，向量的度量性质没有反映，局限了线性空间的应用。
现在我们借助内积把度量概念引入到线性空间中。
&3.1 欧氏空间、酉空间一、概念,,,(,3.1),,(,).1V R n V 设是实数域上的维线性空间如果对中任意两个向量、有唯一确定的实数与之对应这实数记为并且满足下列四个条 件则这实数称为与的内定积义:αβαβαβαβ(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)(4) (,)0,0(,)0,,,;.k k V k R V n αββααβαβαβγαγβγααααααβγ==+=+≥==∈且仅当时其中是中任意向量称定义有这样内积的线性空间为维欧氏空间112211 (..,)... (,) Tn na b a b a b αβαβαβαβ==+++nT T12n 12n nn设R 是n 维实向量空间，若=(a ,a ,...,a ),=(b ,b ,...,b )令容易验证，所规定的是R 的内积，从而R 成为欧例3氏空间。
注: 1.今后欧氏空间R n 中的内积都指如上例3.1.1定义的内积运算.2.对同一个线性空间,可以定义不同的内积,因而得到不同的欧氏空间.212122312 (,)(,) .(. ,TTR a a b b R αβαβ==11122122 设在中对向量和规定内积为,)=2a b +a b +a b +a b 证明按照如上的内积运算构成是欧例氏空间。
313.. ∀∈⎰ba 用表示C[a,b]闭区间[a,b]上的所有实值连续函数构成的实线性空间，f(x),g(x)C[a,b],规定(f(x),g(x))=f(x)g(x)dx容易验证，这样规定的(f(x),g(x))是C[a,b]上的一个内积，从而C[a,b]成为一个欧 例氏空间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
k 1
收敛，则对每一对 i,j 常数项级数
a(k) ij
aij(1)
aij(2)
aij(k)
k 1
都是收敛的，于是矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
绝对收敛。 反之，若矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
绝对收敛，则对每一对 i,j 都有
a(k) ij
k 1
于是
mn
mn
1
e AB
I
1 2
(e2
1)( A
B)
e2
0
0
1
显然 eAeB,eBeA,eAB三者互不相等。
当 |z|<1 时，有
( 1 z ) 1 1 z z2 ( 1 )n zn
ln 1 ( z)z1z21z3 ( 1 )n 1zn
23
n
设 ACnn ，当 (A) R时，有
(I A ) 1 I A A 2 ( 1 )n A n
k
因此定理对于任意一种范数都成立。
矩阵序列极限运算的性质。
（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。
（2）设 lim A (k)A , lim B (k)B
k
k
则 lim a A (k ) b B (k ) a A b B , a ,b C k
（3）设 lim A (k)A , lim B (k)B，其中 A (k) C m l,B (k) C l n
k0
若 (A) R，则矩阵幂级数 c k A k 绝对收敛；若 (A) R
k0
，则 c k A k 发散。
k0
证明 其中
于是
设A的Jordan标准形为
J d i a g ( J 1 (1 ) ,J 2 (2 ) ,,J r (r ) )
i 1
Ji
(i )
i
(i 1,2, ,r) 1
sin A(B)1(ej(AB)ej(AB)) 2j
1 (ejAejBejAejB) 2j
1(ejAejA)e(jBejB)1(ejAejA)e(jBejB)
4j
4j
sA ic nB o c sA o sB s in
同样可以证明其余的结论。
注意：这里矩阵 A 与 B 的交换性条件是必不可少的。
证明： （2） a ( k ) A b ( k ) B a b A B a A ( k ) A b B ( k ) B 0 （3） A (k )B (k ) A B A (k )B (k ) A (k )B A (k )B AB
A (k ) A A B (k ) B A (k ) A B A ( k ) A B ( k ) B A B ( k ) B A ( k ) A B 0
A(k) A
定理 矩阵序列{ A ( k ) } 收敛于A的充分必要条件是
lim A(k) A 0
k
其中 A(k ) A 为任意一种矩阵范数。
证明 取矩阵范数
mn
A aij
i1 j1
必要性：设
limA(k)
k
A[aij]
那么由定义可知对每一对i, j 都有
lki m aij(k) aij 0 (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)
1
(A) lim Ak k k
例4 构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不 可逆。
解
a(k) 11
k 1, 3k
a(k) 12
k
k
a(k) 21
k
5,
a(k) 22
3k2 k k2 2
显然每一个 A(k)(k1,2, ) 均可逆，但是其极限矩阵
却不可逆。
1 A limA(k) 3
1
例：设
A10
01,B10
1 0
那么容易计算
A A 2 A 3,B B 2 B 3
并且 于是有
B
2 0
0 0
(AB)k 2k1(AB),
k 1
eA
I
(e
1) A
e 0
1 e 1
eB
I
(e
1)B
e 0
e 1 1
故有
e AeB
e2
0
(e 1)2
1
eBe A
e2
0
(e 1)2
证明：首先证明第一个等式
eA eB(IA 1A 2 1A k )
2 !
k!
(IB1B2 1Bk )
2!
k!
I (A B )1(A 2A B B A B 2) 2 ! 1(A33A2B3A2B B3) 3!
I (A B ) 1 (A B )2 1(A B )k
2 !
k !
现在证明第二个等式
例 如果设 A(k) (aikj)22C22，其中
a (k) 11 k1
k1
1, k(k1)
a (k) 12 k1
k1
1 k3
a (k) 21 k1
k1
2k
,
a (k) 22 k1
k1sin2k
那么矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
是收敛的，而且是绝对收敛的。
定理 设 A(k)(aikj)m nCm n，则矩阵级数
A k
a(k) ij
a(k) ij
k 1
k 1i 1j 1
i 1j 1k 1
根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。
矩阵幂级数
定义 设 A(k) (aikj)mnCnn，称形如
ckA kc0Ic1Ac2A 2 ckA k
k0
的矩阵级数为矩阵幂级数。
定理 设幂级数 c k x k 的收敛半径为R，A为 n 阶方阵。
从而有 上式即为
mn
lim
k i1
a (k) ij
aij
j1
0
lim A(k) A 0
k
mn
充分性：设 lki m A(k)Alki m i1j1aij(k)aij 0
那么对每一对 i, j 都有
lki m aij(k) aij 0
(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)
即
lki maij(k) aij
（4） P ( k ) Q A P A P ( A ( k Q ) A ) Q P A ( k ) A Q 0
（5）
A 1A 1 (A (k ) A ) A 1 (A (k )) 1A 1 [A (A (k ) A ) 1 ]
1 A 1 (A (k ) A )
A1 2 A(k) A
k
1 3
矩阵级数
定义：设 A(k)(aikj)m nCm n，如果mn个常数项级数
aij(k), i1,2, ,m ;j1,2, ,n
k1
都收敛， 则称矩阵级数
A(k)A(1)A(2) A(k)
k1
收敛。如果mn个常数项级数
aij(k), i1,2, ,m ;j1,2, ,n
k1
都绝对收敛， 则称以上矩阵级数绝对收敛。
ck
c1 k1 ki
k0
ckik
k0
didi
当 (A) R时，幂级数
ck ik, ckc1 k ik 1, , ckck di 1ikdi 1
k 0
k 0
k 0
都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 c k A k 绝对收敛。
k0
当(A) R 时，幂级数 c k i k 发散，所以 c k A k 发散。
k0
k0
推论 矩阵幂级数
I A A 2 A k 绝对收敛的充分必要条件是 ( A) 1。且其和 (I A)1 。
例1 （1）求下面级数的收敛半径
k 12k xkk2 x 122 x222x 333 2k xkk
（2）设
A
1 1
4 3
A k
判断矩阵幂级数 k 1 2 k k 的敛散性。
c di1 kdi1 ki
c1 k1 ki ik
didi
ckl
k(k1)
(kl 1)(当l k) l!
ckl 0
(当l k)
于是 因此
lkimJik(i) 0 的充要条件是 i 1 。 lim Ak 0 的充要条件是 ( A) 1
k
例3 设 有
是 C n n 的相容矩阵范数，则对任意 ACnn ，都
定理：设 A,BCnn，那么当 ABBA时，我们有
(1) eAB eAeB eBeA (2) sin(A B) sin AcosB cos Asin A (3) sin2A 2sin Acos A (4) cos(A B) cos Acos B sin Asin B (5) cos2A cos2 Asin2 A
时，我们将收敛的矩阵幂级数
ck Ak
k0
的和定义为矩阵函数，一般记为 f(A)，即
f (A) ck Ak k0
例：因为当 |z|<+∞时，有
ez1z1z2 1zn
2!
n!
sizn z1z3 ( 1 )n 1 z2n 1
3 !
(2n 1 )!
coz s11z2 (1)n 1 z2n
2!
(2n)!
解 设此级数的收敛半径为R，利用公式 lim a k 1 1 容易
求得此级数的收敛半径为2。而
(
A)
a k k
R
1。所以由上面的定理
可知矩阵幂级数收敛。
矩阵函数
定义：设 ACnn，一元函数 f(z) 能够展开成关于 z 的幂级数
f(z) ckzk (|z|R) k0
并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵 A 的谱半径 (A) R