两角和与差的余弦正弦正切基础练习
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 32. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a2 ■ 2 2 ■ 2cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a3. 有关公式的逆用、变形等(1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3.4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2sin(a+ ©，其中 tan一、选择题1.给出如下四个命题②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cossin sin 能成立；③公式tan()tan an成立的条件是k—(k Z)且 k —(k Z)；1 tan tan22④不存在无穷多个 a 和3,使 sin()sin cosco s，sin ；其中假命题是( )A.①②B.②③C. ③④D. ②③④2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是( )A. 1 . 2B. .. 2 1C.、2D. 2①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a1 tan 2a 2(2)cos a=1 + cos 2a2 sin 2a= 1 — COS2a2 -2(3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2, sin a±cos a= 2sin a±4t .当 x [ — ^]时，函数 f(x) sinx .. 3cosx 的 ( )A •最大值为4,最小值为—1B 最大值为1最小值为土C •最大值为2,最小值为—2D.最大值为2,最小值为—1已知tan( ) 7,ta n tan2则cos()的值( )八1 D、、2c 2D.A.—B.C. -2222已知一3,cos()123,si n( )，则 sin 2( )2413 5A565665 D.65 A.B.———C.—65655656sin15 sin30 sin 75 的值等于( )八＜3c 1 D.1A.DB.C.-4884函数 f (x) tan(x)g (x )1tanx ,h(x) cot( x)其中为相同函数的是 4 丿，g (x)41tanx( )A. f (x)与 g(x)B. g(x)与 h(x)C. h(x)与f (x)D. f (x)与g(x)及h(x)1a 、B 、 都是锐角，tan—2 ,tan 1,ta n 贝U等于 ( )小 55A.—B.-C.-D.3 464设 tan 和 tan(— 4 )是方程x 2 px q 0的两个根，则 P 、q 之间的关系是()A. p+q+1=OB. p — q+仁C. p+q —仁0D. p — q —1=0已知 cosa,sin 4sin( ),则 tan( )的值是 ( )13.已知 sin( )4分，共16分，将答案填在横线上)sin( ) m ,则 cos 2cos 2 的值为A1 a 2B. —V 1 2aC.a 4D.1 a 2a 4a 4 1 a 2a 4.在厶 ABC 中, C 90o ，则tan A tanB 与1的关系为( : )A. tanA tanB 1B. tan A tanB 1C. tanA tanB 1D. 不能确定.sin 20 cos70 sin10sin50的值是( : )A.—B.3C. —D.34224、填空题(每小题3.4.5. 6.7.8.9.10111215 .若sin( 24 ) cos(24 ),则tan( 60)= _____________ . ____16. 若sinx si ny -,则cosx cosy的取值范围是2 ---------------------------------------三、解答题（本大题共74分，17— 21题每题12分，22题14分）17. 化简求值：sinq 3x） cosq 3x） cos（石 3x） sin3x）.求tan( 2 )的值.19.求证：tan (x y) tan (x y)18.已知0 90 ,且cos , cos 是方程 x2, 2sin50 x sin250 0的两根,20.已知a,p€( 0,n )且 tan( )1,tan 1弓，求2的值.21.证明：tan|x眄2sin xcosx cos2x22.已知△ ABC的三个内角满足: A+C=2B1cos A1cosC2求cos^cosBsin 2x 2 ~2~cos x sin y11. 1. C 2 B 12 . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 .A 3 . D 4 . D A 参考答案 .C 8 . B 9 . B 10 . D 18. 19. 20. 21. 22. 13. m 14 . - 15 . 32 .3 16 .[ 帀 J i?】17.原式円叫3x)cos(3 3x) si n( 3x) cos(- 3 4 2 3x)t 6 岳i ns 。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
高中数学必修四同步练习题库：两角和差的正弦、余弦和正切公式(简答题：容易)
两角和差的正弦、余弦和正切公式（简答题：容易）1、.已知,求的值2、已知为锐角，，，求的值.3、中，若，且为锐角，求角．4、求证：－2cos(α＋β)＝.5、已知在中，为中点，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.6、在中，角所对边分别为的面积为6.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.7、函数的最大值为，它的最小正周期为. （1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.8、已知分别是的内角所对的边，.（1）证明：；（2）若,求.9、（2015秋•淮南期末）=（）A．1B．2C．3D．410、已知，求的值11、已知函数⑴求的最小正周期及对称中心；⑵若，求的最大值和最小值.12、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)13、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.14、已知15、已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.16、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(2)若的三个内角满足,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断的形状.17、已知为锐角，且求.18、（本小题满分12分）已知，写出用表示的关系等式，并证明这个关系等式．19、如图，有三个并排放在一起的正方形，.（1）求的度数；（2）求函数的最大值及取得最大值时候的x值。
20、（本小题12分）已知0<a<p，；(1)求的值；（2）求的值；21、求值： .22、（本题满分14分）在中，分别是所对的边，已知,，三角形的面积为，（1）求C的大小；（2）求的值．23、已知，（1）求的值；（2）求角.24、阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得.(Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)25、化简（1）（2）26、已知，求下列各式的值：（1）（2）27、已知均为锐角，求的值。
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式(练习)原卷版
第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海高一课时练习）满足cos cos sin sin 2=+αβαβ的一组,αβ的值是（ ）．A ．133,124==απβπ B ．,23==ππαβC ．,26ππαβ==D ．,36ππαβ==2．（2020·上海高一课时练习）若sin cos ()2,()2,==∈x x f x g x x R ，则函数()()f x g x ⋅必有（ ）A ．最大值4B ．最小值4C ．最大值D ．最小值3．（2020·上海高一课时练习）下列关系中，角α存在的是（ ） A ．3sin cos 2αα+=B ．4sin cos 3αα+=C ．1sin 3α=且2cos 3α= D ．cos sin -=αα4．（2020·上海高一课时练习）如果21tan(),tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1318B ．1322C ．322D ．165．（2020·上海高一课时练习）已知α、β均为锐角，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()sin sin sin αβαβ+>+B ．()sin sin sin αβαβ+<+C ．()cos cos cos αβαβ+>+D ．()cos sin sin αβαβ+<+6．44x x ππ⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的化简结果是（）A ．512x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．512x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．712x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．712x π⎛⎫-⎪⎝⎭二、填空题7．（2020·上海高一课时练习）化简：在ABC 中，cos cos()sin sin()⋅++⋅+=A A C B B C ________．8．（2020·上海高一课时练习）若31sin cos 444x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4x =______. 9．（2020·上海高一课时练习）sin15°+cos15°=__.10．（2020·上海高一课时练习）若3sin α4cos α，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．11．（2020·上海高一课时练习）若tan 36⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则tan α=_________． 12．（2020·上海高一课时练习）求值：tan 22tan 383tan 22tan 38++⋅=____________．13．（2020·上海高一课时练习）若4sin 5α，cot 3β=，且α是第二象限角，则tan αβ________．14．（2020·上海高一课时练习）将cos αα化成cos()(0,0)A A αϕϕπ+><<的形式是____________．15．sin -x x 写成sin()(0,0)+><<A x A ϕϕπ的形式为___________．16．（2020·上海高一课时练习）若35sin ,6536⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭ππααπ，则5sin 12⎛⎫+=⎪⎝⎭πα________.17．（2020·上海高一课时练习）将2sin -αα化为sin()(0,02)A A αϕϕπ+>≤<的形式为___________.18．（2020·上海高一课时练习）若3sin ,,452⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππθθπ，则cos θ=_________. 19．（2020·上海高一课时练习）若43sin ,,252⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ααππ，则sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．20．（2020·上海高一课时练习）在三角形ABC 中，若cos cos sin sin =A B A B ，则三角形ABC 是三角形______.21．（2020·上海高一课时练习）求值：sin28cos73sin62cos17︒︒︒︒-=_________．22．（2020·上海高一课时练习）关于x 的方程46sin 4m x x m-=-有解，则实数m 的取值范围是_________三、解答题23．（2020·上海高一课时练习）已知21sin(),sin()35+=-=αβαβ，求tan cot ⋅αβ的值．24．（2020·上海高一课时练习）已知31tan(),tan443⎛⎫+=+=⎪⎝⎭παββ，求tan4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值．25．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：（1）1tan151tan15︒︒-+；（2）tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++⋅；（3）tan tan tan tan 44⎛⎫⎛⎫+-+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππθθθθ．26．（2020·上海高一课时练习）求证：1csc1022︒︒-=．27．（2020·上海高一课时练习）已知3sin 3cos ),(0,2)-=+∈αααϕϕπ，求ϕ的值．28．（2020·上海高一课时练习）已知,αβ是锐角，且sin==αβ，求αβ+的值．29．（2020·上海高一课时练习）在斜三角形ABC 中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=.30．（2020·上海高一课时练习）已知8sin 17α=，5cos 13β=-，,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()cos αβ+.31．（2020·上海高一课时练习）是否存在锐角,αβ，使得：223παβ+=，tantan 22αβ⋅=,αβ的值；若不存在，说明理由.32．（2020·上海高一课时练习）已知tan α=α+β)=-1114,α,β均为锐角,求cos β的值.33．（2020·上海高一课时练习）已知3,24ππβα<<<且123cos()sin()135αβαβ-=+=-，，求：cos2α的值．能力提升一、填空题1．若1cos()cos()3αβαβ+-=，则22cos cos +=αβ_________.2．若23sin ,,,tan ,3272ππααπββπ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin()αβ-=________.3．若3tan ,,42⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭πθθπ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 4．sin cos sin sin 44⎛⎫⎛⎫+⋅--⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαααα的值为_________．二、解答题5．若0,sin cos ,sin cos 4<<<+=+=p q παβααββ，判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）1<pq ； （2）p q <； （3）2>pq ．6．化简下列各式：（1cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()cos101sin 40︒︒︒+；（3）sin 2cos 3⎛⎫-+-⎪⎝⎭πααα．7．已知,αβ都是锐角，且11sin )14=+=-ααβ，求角β的值.8．已知3,,,sin 2510⎛⎫∈=-=- ⎪⎝⎭παβπαβ，求角αβ-的值.9．已知tan ,tan αβ是方程23410x x +-=的两根，0,,,22⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαβπ. 求：（1）角αβ+的值；（2）cot()-αβ的值.10．（1）证明：22sin3sin1sin 2sin 1=-；（2）推广上述结论，使（1）成为其特例，并证明推广的等式．11．在ABC 中，已知35sin ,cos 513A B ==，求sin C 和cos C 的值．12．已知343sin(),cos(),,5522+=--=-<<<<παβαβπαπβπ，求sin2β．13．已知13cos(),cos,0,,0,3422⎛⎫⎛⎫-==-∈∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππαββαββ，求sinα的值．14．已知23sin(),sin()34+=-=αβαβ，求tantanαβ的值．15．已知3cos45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，35sin413πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，344ππα<<，04πβ<<，求()cosαβ+的值．。
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据诱导公式有【考点】本小题主要考查诱导公式的应用.点评：解决此类问题关键是尽量用已知角来表示未知角.2. (2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C等于() A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°【答案】A【解析】两式平方后相加得sin(A＋B)＝，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sin A＝6－4cos B>2，∴sin A>>，∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.3. (2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝或sinα＝－1，∵α∈，∴sinα＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－.4.求值：＝________.【答案】－4【解析】＝＝＝＝＝＝－4.5. (2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ <φ<)的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解．【答案】(1)∴f(x)＝(2) x＝－，－，－，或即为所求【解析】(1)当x∈时，由图象知，A＝1，＝－＝，∴T＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x＋φ)过点，则＋φ＝kπ，k∈Z，∵－<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin当－π≤x<－时，－≤－x－≤，∴f＝sin＝－sin x而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝f∴f(x)＝－sin x，－π≤x<－，∴f(x)＝.(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，∵f(x)＝sin＝，∴x＋＝或，∴x＝－或，当－π≤x<－时，∵f(x)＝－sin x＝，∴sin x＝－，x＝－或－，∴x＝－，－，－，或即为所求．6.设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是() A．tanα·tanβ<1B．sinα＋sinβ<C．cosα＋cosβ>1D．tan(α＋β)<tan【答案】D【解析】取特例，令α＝β＝可得，tan(α＋β)＝，tan＝，∴tan(α＋β)>tan，∴D不正确．7.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为() A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因为△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tan B＝＝＝，即＝，∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cos A＝0，∵0<A<π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形，故选B.9.若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．【答案】第四象限【解析】∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．10.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.11.化简：.【答案】1【解析】原式＝＝＝＝1.12.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝. ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.13.已知cosθ＝，θ∈，则cos＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝，∴cos＝cosθ·cos＋sinθ·sin＝×＋×＝.14. (08·山东理)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是() A．－B．C．－D．【答案】C【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin＝－cos＝－sinα－cosα＝－.故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于()A．B．C．或D．－【答案】B【解析】∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，由sinα＝得，cosα＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式检测题与详解答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式检测题与详解答案A 级——保大分专练1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选 C cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝ 3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α2cos 2α－11＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. B 级——创高分自选1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________.解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos2A ＋B ＝725，cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A ＋B⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－2425×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250.。
周练(七) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
周练(七) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(时间：80分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°的值是( )． A.14 B.32 C.12D.34解析 sin 20°cos 10°＋sin 10°sin 70°＝sin 20°cos 10°＋sin 10°cos 20°＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝12，故选C. 答案 C2．在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )． A ．等腰三角形 B.直角三角形 C ．等腰直角三角形D.等边三角形解析 在△ABC 中，C ＝π－(A ＋B )， ∴2cos B sin A ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sinB.∴－sin A cos B ＋cos A sin B ＝0.即sin(B －A )＝0. ∴A ＝B ，故选A . 答案 A3．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝( )． A ．sin(2α＋β) B.sin β C ．cos(2α＋β)D.cos β解析 原式＝cos [](α＋β)－α＝cos β，故选D. 答案 D4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，则1－sin 2α等于( )．A ．cos α－sin αB.|cos α|－|sin α|C ．－cos α－sin α D.－cos α＋sin α解析 原式＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝(sin α－cos α)2＝|sin α－cos α|，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴cos α>sin α，∴原式＝cos α－sin α. 答案 A5．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为( )． A.12 B.1 C.32D.2解析 (1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)① ∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1， ∴①式＝2，故选D. 答案 D6．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )．A.12 B.－12 C.22D.－22解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍去)．∴sin 2α＝12，故选A. 答案 A7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π的值是( )．A ．－235 B.235 C ．－45D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α ＝32cos α＋32sin α ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6cos α＋cos π6sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案 C8．设sin x ＋sin y ＝22，则cos x ＋cos y 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，142 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－142，0 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－142，142 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，72 解析 设cos x ＋cos y ＝t ， 则由sin x ＋sin y ＝22，得 t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(cos x ＋cos y )2＋(sin x ＋sin y )2 ＝2＋2cos(x －y )，∴t 2＝32＋2cos(x －y )．又∵－1≤cos(x －y )≤1，∴－12≤t 2≤72， ∴0≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142. 答案 C二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________.解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3， ∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3， ∴tan α＝1. 答案 110．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α＝________.解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.答案 tan 2α11．已知sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3的值为________．解析 ∵sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－125＝－265，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－265×12＋15×32＝3－2610.答案3－261012．(2012·浏阳高一检测)若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为________． 解析 cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2·(cos α＋sin α)＝－22，所以sin α＋cos α＝12. 答案 12三、解答题(每小题10分，共40分)13．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15， ∴sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.14．(2012·天津高一检测)已知cos 2α＝13，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2α23sin α＋cos α的值．解 原式＝sin α－cos α3sin α＋cos α，又∵cos 2α＝13，∴2cos 2α－1＝13， ∴cos 2α＝23，∴3π2<2α<2π，∴3π4<α<π， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－63，sin α＝33，∴ 原式＝5＋427.15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210，则sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝－24＋7350.16．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(1＋sin 2x,1)，x ∈R ，且y＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2.(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合． 解 (1)f (x )＝a ·b ＝m (1＋sin 2x )＋cos 2x ， 由于f (x )图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin π2＋cos π2＝2，∴m ＝1. (2)由(1)得f (x )＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝1－2，此时2x ＋π4＝32π＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝k π＋58π，k ∈Z .即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋58π，k ∈Z .。
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两角和与差的余弦正弦正切基础练习
1、两角和与差的余弦
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
2、两角和与差的正弦
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ
-=-
3两角和与差的正切
tan ()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=
-
tan ()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ
-=+
1.求值：
（1）
15cos
（2）
20802080sin sin cos cos +
（3）
1013010130sin sin cos cos +
（4）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°
（5）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．
（6）
29912991sin sin cos cos -
2. 已知sin θ＝
，且θ为第二象限角，求cos （θ－
）的值．
3.已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．
4. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．
5.已知3
2=
αsin ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈ππα
,2，5
3-
=β
cos ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈23ππβ
,，求)
cos(βα+的值.
6.已知13
12-
=αcos ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈23ππα
,，求)cos(4πα+的值。
7. 已知α，β都是锐角，3
1=
αcos ，5
1-
=+)cos(βα，求βcos 的值。
8.求x x y sin cos 2
321-
= 的最大值和最小值？
9.在△ABC 中，已知sin A ＝53
，cos B ＝
13
5，求cos C 的值.
10利用和差角公式计算下列各式的值 （1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13co s sin 22x x
-
（3）
3sin cos x x
+ （4）
22co s 2sin 22
2
x x
-
11证明
)
4
cos(2)cos (sin 2)3()
4
sin(2sin cos )2()
6sin(cos 2
1sin 2
3)
1(π
π
θθθπ
ααα-
=++
=
++
=+
x x x
12（1）已知3sin 5
α
=-
，α是第四象限角，求sin (
)
4
πα-的值。
（2）已知54co s(),co s ,,13
5
α
ββαβα+=
=
均为锐角，求s i n 的值。
13、求tan105︒，tan15︒的值：
14：求1tan 151tan 15
+-
值。
15：求tan 70tan 503tan 70tan 50+-
值。
16．已知,(,)22
ππ
αβ∈-，且tan ,tan αβ是方程2
3340x x ++=的两个根，求αβ+．
17 求下列各式的值： (1)
75
tan 175tan 1-+
( 2) tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒
18已知tan()3,tan()3αβαβ+=-=，tan 2α则的值是
若，，求
的值。
sin ()sin ()tan tan αβαβαβ
+=
-=
12
110
19等式sin α＋3cos α＝4m －6
4－m 有意义，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－1,7
3)
B ．[－1,7
3]
C ．[－1,7
3] D ．[―7
3,―1]
20、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2
α=，1tan 5
β=
，1tan 8
γ=，则αβγ++的值（ ）
Ａ．
π6
Ｂ．
π4
Ｃ．
π3
Ｄ．5π4
21在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形 22.
23求)45tan 1)(44tan 1()3tan 1)(2tan 1)(1tan 1(︒+︒+︒+︒+︒+ 的值； 24.
2cos10°－sin20°
sin70°
的值是( )
A ．12
B ．32
C ． 3
D ． 2
25．已知cos(α－π6)＋sin α＝4
53，则sin(α＋7π6)的值是 ( )。