矩阵分析模拟试题及答案

矩阵分析模拟试题及答案
一.填空题(每空3分,共15分)
1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24．
2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T
)5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则
),,,(4321ααααR =2．
3. 已知⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---=11332
223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422
421x A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212
3222132122,
,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值
范围是22<
<-a ．
二.单项选择题(每小题3分,共15分)
1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，
记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=010*******P ，在则=A （ D ）
21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D
2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例
)(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合
3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1
)2(-B 的特
征值为（B ）
)(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2
3
4. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有（ C ） )(A ||||||B A B A +=+ )(B BA AB =
)(C ||||BA AB = )(D 111)(---+=+A B B A
5. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为（D ）
)(A 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表 )(B 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示 )(C 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价
)(D 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价
三. (每小题6分，共12分)
(1)计算行列式1
110110110110
111=
D 的值
(2)计算矩阵乘积⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134
解：（1）3
2
11
11
112101
101
111011101
1101
0101
1000
11111101101
1011011
1-=-=-=--=--=
=
D （2）()49635127075321134=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
四.(12分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202030102A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=000010001B ，若X 满足X BA B AX 22+=+，求
X .
解：
)
2()2(20
20
020101
002)
2()2(221E A B E A X E A E A E A B X E A X BA B AX --=∴-∴≠-==--=-⇒+=+-可逆
又
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--00101
02100)2(,00201010021
E A E A
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=--=-00201010000001000100101
02100)2()2(1
E A B E A X ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=100010000 五. (本题14分)当a 取何值时，线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=-=+--0
)1(33
31
4321
32321x a x x x ax x x x 无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

解：
()⎪⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛-++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=311320021014131130210141131210301410311313014
12a a a a a a a a a a b A
3)(2)(1=<==b A R A R a 时，方程组无解；
3)()(31==-≠≠b A R A R a a 时，且方程组有唯一解； 32)()(3<==-=b A R A R a 时，方程组有无穷多解；
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-=011000110141031231330141)(3 b A a 时，
⎪⎪⎪⎭
⎫
- ⎝⎛-→013000110501 通解为：.,115013R k k x ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
六
.(
本
题
12
分
)
设
有
向
量
组
,)7,4,3,1(,)1,0,1,1(,)3,1,2,1(321T T T ---=---==αααT )0,1,1,2(4-=α，试求此向量组
的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-------==07131401131221
1143
21ααααA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→00000000351014010000000035102111610203510351021
11 所以
2
142132143213,54-,,2)(αααααααααααα--=-==且为一极大线性无关组R
七.(12分) 已知二次型
,222),,(3231212
32221321x x x x x x x x x x x x f +++++=
求一个正交变换X PY =，把f 化为标准形, 并写出该标准型。

解：
()()()T
T
T
A A E A 111211011,
3,0)
3(,1111111113213212=--=-====-=-⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=ξξξλλλλλλ，
，对应的特征向量为：的特征值
将()()()T
T
T
111211011321=--=-=ξξξ，，
单位化得()()()
T
T
T
P P P 1113
1211
6
1011
2
1321=
--=
-=
，，令
()PY X P P P A =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛---==,316
2
0316121
31
6121
32
1
则2
33y f =
八.（8分）设n 阶实对称矩阵A 满足022
=--E A A ，证明：
E A 2+的所有特征值都不等于零。

证明： 假设0是E A 2+的一个特征值，则
02=+E A
022022
22=⇒=+=⇒+=⇒=--∴A E A A E A A E A A
又E E A A E A A E A A 2)(2022
2
=-⇒=-⇒=--
02≠⇒=-⇒A E A A
矛盾，所以E A 2+的所有特征值都不等于零。