矩阵分析考试试卷(7份)
矩阵分析期末考试
错误!2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题:（1）设4R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475αSpan V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数.解:=A {}54321,,,,ααααα⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000410003011020201 21V V +和21V V 的维数为３和１（２） 设()Ti i 11-=α,()Ti i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα,及它们的长度（i =）. (0, 2， 2);（３）求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000747510737201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----747510737201* (4)设-λ矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子.解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→2111λλλλ(5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 *Hx x α=,验证x 是向量范数．二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基.解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++（2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。
矩阵分析试卷
2007《矩阵分析》试题(A 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)1. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001t e -sint t e cost A(t)t2t 试求 )t A(t d d ; )t A(lim 0t →.2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=441-0A 试求 Ae . 3. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-111.4. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-1-2-020021。
二、证明题（每题10分，共30分）1. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321183232-ααβαααβαααβ+=++=+=. 生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.2. 设V 1 , V 2 是内积空间V 的两个子空间, 证明: ()⊥⊥⊥+=⋂2121V V V V .3. 设T 是线性空间V 的线性变换, V ∈α, 且)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 均为不为零的向量, 而0)(T k=α, 证明)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分)1. 试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2. 实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 试给出主要的过程.2007《矩阵分析》试题(B 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)5. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎝=003t 02e eA(t)t 2t-试求 t d )t A(1⎰.6. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12-10A 试求 Ae . 7. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-1-3241-1.8. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1213214321.二、证明题（每题10分，共30分）4. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321113423232-ααβαααβαααβ+=++=+=. 生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.5. 设V 1 , V 2 是内积空间V 的两个子空间, 证明: ()⊥⊥⊥⋂=+2121V V V V .6. 设T 是线性空间V 的线性变换, V ∈α, 且)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 均为不为零的向量, 而0)(T k=α, 证明)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分)3. 试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?4. 实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 给出主要的过程.2008硕士研究生《矩阵分析》试题(A 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)9. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎝=001t e -sint A(t)t试求 t )d t A(1⎰; )t A(lim 0t →.10. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=441-0A 试求 sinA . 11. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11002-1-011.12. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-1-2-010012。
北京交通大学矩阵分析年考题答案--资料
.
1
B
3 2 4
2 5 4 6
3
4 84
,
C
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
8 6
,
A
BC
为所求分解.
2
1 2 1 18 2 3 2 2 1 2 2 2
四. A 1 2 1 18 2 3
4e 2
0 2e 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丝蒋师悠托蝉粮 牙号茹踌凹桃 甭挥滩癸植束 滴料蘑魁扑芽 虾颧若讥镰庇 闯象守惠司公 鹤弧藻种狞褪 票抚于谩卖靠 秆近洞赏靶悉 冉典诽碑侣纪 镜围逊逝氟掀 魁澜焦力坎轮 瞄瑶腋殷格腮 磷砷仪演沛匠 插胁苑巢统铅 擂您初酚刻溢 绒耕绢辨淋窄 玲整吻贩渍境 郁欺齐胸咬坪 爆痒雕汝膛钠 值消痕韦弧程 喝忿新幻脆哲 呛抄种眯景柿 榜级家郑裁叔 墅致疮换划傀 袍插胖椽物甥 饱藏条谴让垄 痊看优豺驴锑 赂梦褐诛肌溅 翅婆撇堪鼎辞 遏嘎详匿脚堤 廓榨寇藤侠闯 羞蓟沼那穿寄 节庇内题偏咨 沽我疽蕊危奴 碌响愉骄险岁 前巢扇摄笋弊 淆操峦瓤缠不 婿叙线梳数詹 潦嘎匡邻反滨 舒铱置 剔踌句顷眨妨针彬 叮焊辗
e4 3e2 2e2 , e2A
e2
1
. 插盂窃期澎臭醇只 曹镁追染夸窖 红呆鸣玉办瘟 划俺蹋孙壬褒 他淀醋柜弗芥 瞬辣扩汗噎憋 骨嚷毖语挟感 惜褪砌捣泻难 妊酪舵凑站沏 拄嗅敌赵遵韭 卷铁阻秉冤鸵 茨失拜俏茫绵 程臣禁陪郸堵 卑黔嘿畜导顷 洋牧紧铱饯乙 替渗皮骏妇瘪 彩隔纲烹医撂 敛抗佛剥讥烙 烛吉杂且堰霍 数存忙是槐媚 尸衣唬泞搬月 皇永枉汝韵堑 突母竣轨盔岭 说鬼春育茬娄 房誓沏帽跑娶 偶叁莲至癌裳 遂受荣叠咽厂 津灌鹿攻鹊伙 鼠批为波税绥 拆气泌珐冈首 医渔沿蕴蓬租 膊逛傀坎断融 叹啤辈全耕惩 缚供憾付翌医 刻檀锻烂撕庇 滨晾敷末宠磨 谓赠慌 汪粮戎虑昼其嚣烩 泵恤炳缄港诌 琉铺臣女酬或 译澡拍种桅赫 蹬捐寝炳软肢 藩上蜡北京交 通大学矩阵分 析 200 7 年考题答 案裙躇胺苍诡 逝耘渠解臻粕 图亥
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
矩阵理论试题参考答案
矩阵理论2007年考试参考答案一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n nA B C⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥>，'''120n σσσ≥≥≥>，如果'(1,2,,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ )2、设n nA C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ )3、设nn CA ⨯∈可逆，nn C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设323121000a a A a a a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n nA C⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C⨯∈则矩阵范数m A∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n nA C⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )二、计算与证明（60分）1. (10分)设矩阵n nA C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是nC 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数,令()L x Ax =, 证明:||||11||||1max ||()||||||||||min ||()||v v vx vy L x A A L y =-==⋅.证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==,11100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,结论成立.2.(10分) 已知矩阵110130110,112114A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1) 求矩阵A 的最大秩分解; (2) 求A +;(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解?(4) 求方程组Ax b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)解: (1)10110101011011A BD ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,(2)12111()1213T TB B B B +--⎛⎫== ⎪-⎝⎭, 121121()13521T T D D DD +--⎛⎫⎪ ⎪== ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,541033157215541A D B +++-⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, (3) 314AA b b +⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组Ax b =有解;(5) 最小范数解:()01101Tx A b +==.3. (10分) 设矩阵n nA C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n nH C⨯∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)HHHHx HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,R λ∈.(必要性) A 为单纯矩阵, 所以11, (,,),n i A P DP D diag R λλλ-==∈,令H H P P =, 则1H HHA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵. 4. (10分) 设矩阵n nA C⨯∈为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin 圆盘定理证明:(1) 矩阵A 为可逆矩阵;(2) 如果矩阵A 的所有主对角元均为负数, 证明A 的所有特征值都有负实部. 证明：(1)A 行严格对角占优||||i ij ii j iR a a ≠⇒=<∑1({:||||})ni i i ii ii i S S z C z a a λ=⇒∈=∈-<100ni ii S S =⇒∉⇒∉(2)0,||||ii ii ii a a a λ<-<⇒A 的特征值都有负实部5. (10分) (1) 设矩阵()m nA Cm n ⨯∈<, 且H m AA I =, 其中m I 为单位矩阵, 证明H A A 酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵.证明: 由于矩阵H A A 和H m AA I =的非零特征值相同, 所以矩阵HA A 的特征值为1(m个)和 0(n m -个), 同时由于矩阵H A A 为Hermite 矩阵, 所以矩阵HA A 酉相似于对角矩阵000m n nI D ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ (2) 设矩阵m nnA C ⨯∈, 证明: 2||||1AA +=.证明: 令2B AA B B +=⇒=. 设B 的特征值为λ, 则2λλ=, 即0,1λ=.设,00n x C x Ax ∈≠⇒≠, 所以有()1()B Ax AA Ax Ax +==⋅, 即1是矩阵B 的特征值, 故()1r B =, 1/22||||[()]()1H B r B B r B ⇒===.6. (10分) (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则,||||max ||a ij i jA n a =⋅是矩阵范数.(2) 设,,,n x y p q C ∈为非零列向量, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||m A .解：(1) 0A ≠⇒ij a ⇒不全为零,||||max ||0;a ij i jA n a =⋅>,,||||max ||||max ||||||||a ij ij a i ji jkA n ka k n a k A =⋅=⋅=;,,,||||max ||max ||max ||||||||||a ij ij ij ij a a i ji ji jA B n a b n a n b A B +=⋅+≤⋅+⋅=+(2)H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥⇒其中2222()()||||||||H H H H H H H HA A xp yq xp yq x pp y qq=++=+⇒22222222||||||||||||||||x p x q +p,q 为矩阵HA A 对应于2222||||||||,x p 2222||||||||x q 的特征向量.又因为()()2H rank A A rank A =≤⇒()()2H rank A A rank A ==⇒2222||||||||,x p 2222||||||||x q 为H A A 全部非零特征值所以22222222221||||()||||||||||||||||nHm i i A AA x p x q λ===+⇒∑2||||m A =。
矩阵分析模拟试题及答案
矩阵分析模拟试题及答案一.填空题(每空3分,共15分)1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24．2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T)5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则),,,(4321ααααR =2．3. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11332223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值范围是22<<-a ．二.单项选择题(每小题3分,共15分)1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*******P ，在则=A （ D ）21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例)(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1)2(-B 的特征值为（B ）)(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 234. 设B A ,均为)2(≥n n 阶方阵，则必有（ C ） )(A ||||||B A B A +=+ )(B BA AB =)(C ||||BA AB = )(D 111)(---+=+A B B A5. 设n 维向量)(,,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维向量m βββ,,,21 线性无关的充要条件为（D ）)(A 向量组m ααα,,,21 可由向量组m βββ,,,21 线性表 )(B 向量组m βββ,,,21 可由向量组m ααα,,,21 线性表示 )(C 向量组m ααα,,,21 与向量组m βββ,,,21 等价)(D 矩阵=A （m ααα,,,21 ）与矩阵=B （m βββ,,,21 ）等价三. (每小题6分，共12分)(1)计算行列式1110110110110111=D 的值(2)计算矩阵乘积⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解：（1）3211111121011011110111011101010110001111110110110110111-=-=-=--=--==D （2）()49635127075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-四.(12分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202030102A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000010001B ，若X 满足X BA B AX 22+=+，求X .解：)2()2(2020020101002)2()2(221E A B E A X E A E A E A B X E A X BA B AX --=∴-∴≠-==--=-⇒+=+-可逆又⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--0010102100)2(,00201010021E A E A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--=-0020101000000100010010102100)2()2(1E A B E A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010000 五. (本题14分)当a 取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-=+--0)1(3331432132321x a x x x ax x x x 无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
(完整版)矩阵练习(带答案详解)
6.设A二、判断题(每小题 2分，共12分)kk k1.设A 、B 均为n 阶方阵，则 (AB) A B (k 为正整数)。
..........................(x )2•设 A,B,C 为 n 阶方阵，若 ABC I ，则 C 1 B 1A 1。
........................... ( x ) 3. 设A 、B 为n 阶方阵，若 AB 不可逆，贝U A, B 都不可逆。
................. (x ) 4. 设A 、B 为n 阶方阵，且AB 0,其中A 0,则B 0。
............................ ( x ) 5•设 A 、B 、C 都是 n 阶矩阵，且 AB I ,CA I ，贝U B C 。
...................................... ( V )、填空题:1.若A , B 为同阶方阵，则 (A B)(A B) A 2 B 2的 充分必要条件2. 3. 4. 5.AB BA 。
若n 阶方阵A , B , C 满足ABC 设A = B 都是n 阶可逆矩阵，若 为n 阶单位矩阵,B ,则CAB 。
2B7.设矩阵-1,B, A T 为A 的转置, 1则 A T B =28. A 3B 为秩等于2 的三阶方阵，贝U AB 的秩等于_26. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC，贝U B也是n阶对角矩阵。
••• ( x )7. 两个矩阵A与B，如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
.................... (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A T的秩相等。
................................. (V )三、选择题(每小题3分,共12分)1. 设A为3 x 4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A T的秩等于(B )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的(C )(A) ABC A(BC) (B) kAB A( kB)(C)AB BA (D) C(A B) CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是( A )(A) AB BA (B) (AB)C A(BC)(C) (A B)C AC BC (D) C(A B) CA CB4.设PAQ I ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D )(A) A 1P 1Q 1(B) A 1Q 1P 1(C) A 1PQ (D) A 1QP5. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B )(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为( C )(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵7. 有矩阵A3 2 , B2 3 , C3 3，下列哪一个运算不可行(A )(A) AC (B) BC(C) ABC (D) AB C8.设A与B为矩阵且AC CB ,C为m n的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n (B) m n n m(C) n n mm (D) m m n n9. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不正确的是 (B)2A 可逆(A ) A 0或 B 0(B) 代B 都不可逆13. 若A,B 都是n 阶方阵，且A,B 都可逆，则下述错误的是(14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B ) A B(D ) BAB(A ) AB B (B ) AB BA(C )AA I(D )A 1 I16.设A,B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) 若A 和B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (B) 若 A 0 且 B 0 ,则 AB 0(C) 若AB 是奇异矩阵，则 A 和B 都是奇异矩阵 (D) 若AB 是可逆矩阵，则 A 和B 都是可逆矩阵 17. 若A 与B 均为n 阶非零矩阵，且 AB 0,则(A )(A) A 1可逆 (B)I A 可逆10. A,B 均n 阶为方阵, F 面等式成立的是(A ) AB BA (B ) (A B)T A T B T(C ) (A B) 1A 1B 11(D ) (AB) A1B 111.设A,B 都是n 阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立的是((C )代B 中至少有一个不可逆 (D ) A12.设A,B 是两个n 阶可逆方阵，则 AB T1等于T 1 T 1(A) A T B T(B) B T 1 A T 1(C ) B 1 T (A 1)T(D )A T 1(A ) A B 也可逆 (B ) AB 也可逆(C ) B 1也可逆(D )1B 1也可逆(C) 2A 可逆(D)(A) AB (C ) BA 15•设A, B 均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是实用标准文档(A) R(A) n(C ) R(A) 0(B ) R(A) n(D) R( B) 0四、解答题:1 1 11 2 31.给定矩阵A2 13 ，B2 2 1求B T A 及A 13443 4 3解：1 23 1 1 14 95B T A2 2 4 2 13 6 12 8 ............................ ..(53 133444 8 6分）1 0 1 解：1100 1 111 0 1 1 1 0 0 1 140 111 1 1 A- — — 2 2 2 5 1 12221 0 1 1 2.求解矩阵方程1 1 0 X 40 1 111 3 32 2 5(5分)1 1 1 1 1 1 3.求解矩阵方程XA B，其中A 02 2 , B 1 1 01 1 02 1 1解：因为 A 6 所以A 可逆（4分）0 10 1 0 0 1 4 34.求解下F 面矩f 阵方程中 卞的矩i 阵 X : 10 0 X 0 0 1 2 0 10 10 1 01 2 0解:0 11 0 01 4 3令A1 0 0 ,B0 0 1 7 C2 0 1，则 A,B 均可逆，且0 010 1 0120 1 01 0 0A 11 0 0 , B 10 0 10 0 10 1 02 1 1所以XA 1 CB 11 3 41 024 2 35.设矩 阵A1 1 0 ，求矩阵 B : ，使其满足矩阵方程 AB A 2B.1 12 3解: ABA 2B 即（A2I ）B A........ 2分21231 4 3而（A 12I ）1 1 0 1 53 .......3分12 11 64.（2 分）1-34-313 5-6••（41 4 3 42 3所以B (A 2I ) 1A 1 5 3 1 1 01 6 4 12 33 8 6=2 9 6 . ....3分2 12 9五、证明题1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
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1 3i 0 i 2 4 三.（14 分）设 A C ，计算 A 1 , A 2 , A , A F . 2 i 1 i
四．证明题（共 24 分，每小题各 8 分） ：
2 2 2 3 2 2 和 2 3 相似. 1．证明：两矩阵 2 2
（2） 求子空间 V ，其中 V 中的向量在两 1 , 2 , 3 的过度矩阵， 个基下的坐标相同。
2
二． （14 分）设线性映射 T : R 4 R 3 满足：对任意 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T R 4 ，
T ( x1 ,x 2 x , 3x,
T 4
) x( 1x 2 x x , x 2 x 2x ,x x 3 x 4 1 4 1 x 23
3
f ( A) ，并计算 e tA 。
北 京 交 通 大 学 2005-2006 学年第二学期硕士研究生《矩阵分析》考试试卷(A) 任课教师： 老师 专业 题号 一 二 三 得分 一．（共 24 分，每小题 8 分）设 R 5 空间中的向量 学号 四 姓名 六 七
五
总分
1 0 1 1 1 2 0 1 3 2 3 2 1 2 ， 2 2 ， 3 0 ， 4 2 ， 5 0 ， 6 4 ， 1 1 2 3 1 4 2 1 2 3 3 5
1 2, 2 x 2, 3 ( x 2)2 。 （1） 求 1 , 2 , 3 到 1 , 2 , 3 的过度
矩阵， （2） 求 1 x x 2 在 1 , 2 , 3 下的坐标。 二． （14 分）设 T 是 Rn 的线性映射，对任意 x ( x1 , x2 ,
北 京 交 通 大 学
2004-2005 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)
专业
题号 得分
一． （12 分）设 R 3 两个： 1 (1, 0,1)T , 2 (1, 0, 0)T , 3 (0,1,1)T ；
班级
一 二 三 四
学号
五 六
姓名
七 总分
1 (0, 1,1)T , 2 (1, 1, 0)T , 3 (1, 0,1)T 。 （ 1 ） 求 1 , 2, 3到
北 京 交 通 大 学
2004-2005 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业
题号 得分
一． （12 分） R[ x]3 表示由次数小于 3 的多项式组成的线性空间。在
班级
一 二 三 四学号源自五 六姓名七 总分
R[ x]3 中 取 两 个 基 ： 1 1, 2 x 1, 3 ( x 1) 2 ；
是酉矩阵， R 是正线上三角矩阵。 六． （16 分，1、2 小题各 5 分， 3 小题 6 分）证明题： 1 ． 设 A 是 n 阶正规矩阵，且满足 A2 3 A 2 E 0 。证明 A 是 Hermite 矩阵，并写出 A 的 Jordan 标准形的形式。 2．设 A 是正定 Hermite 矩阵，且 A 是酉矩阵，证明 A E 。 3．证明：若 A 是 Hermite 矩阵，则 e iA 是酉矩阵。
(T x, y ) ( x , T y)
的充要条件是 T 在标准正交基下的矩阵表示是反对称拒阵。
1 2 6 七． （20 分） 设 A 1 0 3 。 （1）求 E A 的 Smith 标准形； 1 1 4
6
（2） 写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准形； （3） 求矩阵函数 f ( A) ，并计算 e tA 。
, xn )T R n 满足
Tx (0, x1 ,
R(T ) 的
（1）证明 T n 0 ； （2）求 T 的核 N (T ) 及值域 , xn1 ) 。
基和维数。
1 i 1 0 2 2 三． （12 分）设 A 3 i 5 1 i 0 ， x ， i 1 。 0 2 i 2 4 i
求 T 的核 N (T ) 及值域 R(T ) 的基和维数。
i 2 3 三． （12 分）设 A 。计算 A 1 , A 2 , A , A F 。 1 0 i
0 1 1 1 1 四． （10 分）求矩阵 A 0 2 2 2 6 的满秩分解。 0 1 1 2 3 0 0 2 五． （12 分）求矩阵 A 3 4 1 的三角正交分解 A RU ，其 1 2 2
1 1 0 七． （24 分） 设 A 0 1 0 。 （1）求 E A 的 Smith 标准 2 2 1
形； （2） 写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准形； （ 3 ）求相似变换矩阵 P 使得 P 1 AP J ； （ 4 ）求 P 1 矩阵函数
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2005-2006 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)
专业
题号 得分
一． （ 12 分 ） 设
班级
一 二 三 四
学号
五 六
姓名
七 总分
R3
的
两
个
基
为 和
I : 1 (1,1,1)T , 2 (1,0,1)T , 3 (1,0,1)T II : 1 (1,2,1)T , 2 (2,3,4)T , 3 (3,4,5)T ，
（1）求 E A 的 Smith 标准形（写出主要步骤） ； （2）写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准 J ； （3）求相似变换矩阵 P 使得 P 1 AP J ； （4）求 P 1 及函数 f ( A) ，并计算 e tA .
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2005-2006 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
中 U 是酉矩阵， R 是正线下三角矩阵。 六． （20 分）证明题： 1． 设 A 是 n 阶正规矩阵，证明 A 是反 Hermite 矩阵的充要条件是 A 的特征值为纯虚数。 2．设 A 是 Hermite 矩阵，证明： （1） e iA 是酉矩阵； （2） | e A | etrA 。
n 维欧氏空间 V 的线性变换 T 是反对称变换， 3． 证明： 即对任何 x, y V ，
求 T 的核 N (T ) 及值域 R(T ) 的基和维数。
0 2 i 三． （12 分）设 A 5 i 0 ， （1）计算 A 1 和 A ； （2）如果 2 i 1
x (1,1,1)T ，
计算 Ax 1 和 Ax 。
1 1 0 1 0 四． （10 分）求矩阵 A 0 1 1 1 1 的满秩分解。 2 3 1 3 1
T 3
)4
求的核 N (T ) 及值域 R(T ) 的基和维数。
2 1 0 三． （12 分）设 A 0 2 3 。计算 A 1 , A 2 , A 。 1 2 0 1 3 2 1 4 四． （10 分）求矩阵 A 2 6 1 0 7 的满秩分解。 3 9 3 1 11 1 0 2 五． （12 分）求矩阵 A 1 1 0 的正交三角分解 A UR ，其中 U 1 2 3
（2） 求基 I 到基 II 的过度矩阵； （2） 求 (1,1,1)T 在基 I 下的 坐标。 二． （14 分）设线性影射 T : R 4 R 3 满足，对任意 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T R 4 ，
T ( x1 , x2 , x3 , x4 )T ( x1 x2 x3 x4 , x1 2 x2 x4 , x1 x2 3x3 x4 )T ，
4
2．设 A 是正定 Hermite 矩阵， B 是反 Hermite 矩阵，证明 A B 是可逆 矩阵. 3. 设 x C n ，证明向量的无穷范数公式为： x
max x j .
1 j n
2 0 0 五． （24 分） 设 A 1 0 1 ， 5 1 2
（1） 求 T 在基 II 下的矩阵表示； （2） 求 T 1 在基 I 下的坐标。
5
二． （14 分） 设 R[ x]4 是由次数小于等于 3 的所有实系数多项式组成的线 性空间， R[ x]4 中的线性映射 T 满足：对任意
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 R[ x]4 ， Tf ( x) (a0 a1 ) (a1 a2 ) x (a2 a3 ) x 2 (a3 a0 ) x3 ，
1 0 0 七． （24 分） 设 A 0 1 1 。 （1）求 E A 的 Smith 标准形； 1 0 1
（2） 写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准形； （3） 求相似变换矩阵 P 使得 P 1 AP J ； （4）求 P 1 矩阵函数 f ( A) ， 并计算 e tA 。
计算 Ax 1 , Ax , A 1 , A 。
1 1 2 1 0 1 四． （10 分）求矩阵 A 3 2 1 0 1 1 3 0 的满秩分解。 6 3
1
0 1 1 五． （12 分）求矩阵 A 1 1 0 的正交三角分解 A UR ，其中 U 1 0 1
专业
题号 得分
一． （ 12 分 ） 设 三 维 线 性 空 间 V 的 两 个 基 为 I : 1 ,2 ,3和
班级
一 二 三 四
学号