矩阵分析期末考试
错误!
2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题:
（1）设4R 空间中的向量????????????=23121α,????????????--=32232α,????????????=78013α，????????????--=43234α,????
?
?
??????--=30475α
Span V =1{}321,,ααα，Span V =2
{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数.
解:=A {}54321,,,,ααααα?
?
???
?
???
???--→000004100030110
202
01 21V V +和21V V 的维数为３和１
（２） 设()T
i i 11-=α,()T
i i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα,
及它们的长度（i =）. (0, 2， 2);
（３）求矩阵??
???
?????----=137723521111A 的满秩分解. 解：??
??
?
?????----=137723521111A ???????
?
???
?????
--
--→0000747510737201
??????????----=137723521111A ??????????--=775211???????
?
??
???
???
----747
510737201* (4)设-λ矩阵???
?
? ??++=2)1(0000
00
)1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子.
解:????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()???
?
? ??++→2111λλλλ
(5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 *
H
x x α=,验证x 是向量
范数．
二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为??
??
?
?????-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基.
解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]??
??
?
?????-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++
（2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。不难求得AX=0的基础解系是[2, -1， 1]T , 因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-.
三、(８分）求矩阵???
?
????
?
?=66
0606
066A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵．
解： ????????
?
?=66
0606
066
A =?????
? ?????????
?
?
?
?-
-
2213
3332*316
20
316
121316121
四、(8分)设???
?
??--=0111021i i A ,求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12-=i ).
解：{}1max 2,3,1,13A ==，（２分）
{}max 3,44A ∞== ，
（2分) 1
2
42
211F
A ij j i a ===??∑∑ ???
()12
1141113=+++++= (2分)
1120110H
i i A
?? ?-
?= ?- ???
， 6113H
AA
-??
= ?-??
(2分) 2
6
1
9171
3
H
E AA λλλλλ-=
=-+--
1,2λ=
=
2
A
?
=
(2分）
五、（共２4分，每小题8分)证明题:
（1)设A 是正定H ｅr ｍite 矩阵，B 是反Ｈｅrmit ｅ矩阵，证明B A +是可逆矩阵． (2）设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是Ｈermite 矩阵的充要条件是A 的特征值为实
数.
(3)若1A <，证明A E +为非奇异矩阵,且A
A E -≤
+-11
)(1，这里A 是诱导范数.
六、（共20分,每小题5分)设???
?
?
??---=213111213A ,
（1） 求A E -λ的Smit ｈ标准形（写出具体步骤); （2） 求A 的初等因子、最小多项式及Ｊordan 标准形J ； （3） 求相似变换矩阵P 及其逆矩阵阵1-P ； （4） 求)sin(At ． 解
A E -λ()???
?
? ??-→2111λλ，
初等因子λ,()21-λ；最小多项式()2
1-λλ; Jor ｄａｎ标准????
?
??1110
??????????=112101111P ，??
????????---=-11101110
11P )sin(At ??
??
?
?????--+---+=t t t t
t t t t t t t t t t t
t t t t cos sin cos cos sin 2sin sin sin cos sin cos cos sin 2