矩阵分析期末考试
矩阵分析复习(最终版)
3 1 1 2.求 A 0 4 0 的最小多项式，并写出 A 的 Jordan 形. 1 1 5 0 4 0 1 A J 二、 设 A 1 4 0 . （1） 求 e A （2） 求可逆矩阵 Q 和若当型 J A ， 使Q e Q e 0 0 2
《矩阵分析》复习题目及参考答案
made by 寒烟
提示：参考答案为个人所做，仅供参考.
1 3 1 一、1. 设 A 4 1 5
1 3 2 4 3 5
1 3 1 . （1）求 || A ||1 和 || A || 4 1 5
（2）证明 A 的谱半径 ( A) || A ||
i
可求的 A 的特征值为 1 2 1 ，从而谱半径 考虑到端点处的收敛性，可以判定 f ( A) 是收敛的. 进一步有，
当 1 ，有 rank ( A E ) 1 ,且 可逆矩阵P，使得P AP J A ,
1
其中
- 1 1 JA= . -1
k k 1
从而，幂级数 f ( x) 的收敛半径 R 1 ，且收敛区间为 [1,1] .
再考虑矩阵幂级数 f ( A)
k
k 1
1
2
2 1 Ak ，其中 A 1 0
令 | E A |
2 1 ( 1)2 0 1
( A) max i 1 R
故最小多项式为 mA ( ) ( 4) 初等因子组为 4、 ( 4)2
2
4 4 1 从而 Jordan 标准形为 4
二、
4 0 1 0 2 （1） E A 1 4 2 0 0 2 ( 2)
矩阵分析试卷
2007《矩阵分析》试题(A 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)1. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001t e -sint t e cost A(t)t2t 试求 )t A(t d d ; )t A(lim 0t →.2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=441-0A 试求 Ae . 3. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-111.4. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-1-2-020021。
二、证明题（每题10分，共30分）1. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321183232-ααβαααβαααβ+=++=+=. 生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.2. 设V 1 , V 2 是内积空间V 的两个子空间, 证明: ()⊥⊥⊥+=⋂2121V V V V .3. 设T 是线性空间V 的线性变换, V ∈α, 且)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 均为不为零的向量, 而0)(T k=α, 证明)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分)1. 试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?2. 实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 试给出主要的过程.2007《矩阵分析》试题(B 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)5. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎝=003t 02e eA(t)t 2t-试求 t d )t A(1⎰.6. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12-10A 试求 Ae . 7. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-1-3241-1.8. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1213214321.二、证明题（每题10分，共30分）4. 设321,,ααα是三维V 线性空间V 的一组基, 试求由向量2133212321113423232-ααβαααβαααβ+=++=+=. 生成的子空间),,(U 321βββ=的一个基.5. 设V 1 , V 2 是内积空间V 的两个子空间, 证明: ()⊥⊥⊥⋂=+2121V V V V .6. 设T 是线性空间V 的线性变换, V ∈α, 且)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 均为不为零的向量, 而0)(T k=α, 证明)(T ,),(T ),T(,1-k 2αααα 线性无关.三、简单论述题(每题15分, 共30分)3. 试述: 将一个矩阵简化(化为对角矩阵或若当矩阵)的方法有几种? 那种方法一定可以将一个矩阵化为对角矩阵? 那些方法一定可以将一个什么样的矩阵化为对角矩阵? 此外,将一个矩阵简化的数学理论基础是什么? 实现这种矩阵简化的具体方式是怎么作的?4. 实空间的角度是如何引入的? 复空间中的角度又是怎样定义的? 给出主要的过程.2008硕士研究生《矩阵分析》试题(A 卷)一、 计算题 (每题10分,共40分)9. 设函数矩阵⎪⎪⎪⎭⎝=001t e -sint A(t)t试求 t )d t A(1⎰; )t A(lim 0t →.10. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=441-0A 试求 sinA . 11. 将下面矩阵作QR 分解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11002-1-011.12. 求下面矩阵的若当(Jordan)标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-1-2-010012。
矩阵期末试题及答案
矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。
则该矩阵共有________个元素。
2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。
答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。
答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。
答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。
答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
矩阵理论期末复习题
1、非齐次微分方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=T x t F AX dt dx1,0)0(的解：其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3553A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0t e t F2、设nn CA ⨯∈，则对任何矩阵范数∙，都有A A ≤)(ρ。
3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100012A ，求Ate 。
4、设nn CA ⨯∈，且1)(<A ρ，求级数∑∞=0m mA的和。
5、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=502613803A 的约当标准形。
6、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 。
7、讨论kk kk⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∞=128160的敛散性。
8、线性变换的秩与零度的定义，秩与零度之间的关系 9、已知m nm R b R A ∈∈⨯,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得22)(b Ax x f -=为最小的向量)0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。
1.设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式230123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为2301122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+-，求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。
2.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=032100010A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010A ，求A e 。
3.求矩阵1141⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的谱分解。
4.求微分方程组112212313214221tdx x x dt dx x x dt dx x x e dt ⎧=-++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++-⎪⎩和1132123313383625dx x x dt dxx x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=--⎪⎩满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。
5.证明矩阵nn CA ⨯∈的幂序列}{)(m A 收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。
矩阵试题及答案
矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。
答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。
答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。
答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。
答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。
2011年G工大研究生矩阵分析期末考试题
矩阵分析期末考试题（2011）一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1. A -B 的Jordan 标准形为J =2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。
3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。
（ ）4.()pvec B =（ ），其中+∞<≤p 1。
5 .若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。
6. A ⊗B 的全体特征值是（ ）。
7. =⊗2BA （ ）。
8. B 的两个不同秩的{1}-逆为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1(,B B。
二.(10分)设n m C A ⨯∈,对于矩阵的2-范数2A 和F -范数F A ，定义实数222FAAA +=，（任意n m C A ⨯∈）验证A 是n m C ⨯中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011)0(,0)(,11120211133x e e t b A tt。
1. 求At e ；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd +=满足初始条件x (0) 的解。
四.(10分)用Householder 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4021030143010021A 的QR 分解。
五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i A 116864120的特征值。
（要求画图表示）六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3131,1212010121211010b A 。
1. 求A 的满秩分解； 2. 求A +；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解；4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。
（要求指出所求的是哪种解） 七.(15分)已知欧式空间R2⨯2的子空间,0032414321⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x x x xx x X V R2⨯2中的内积为,,),(222112112121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==a aa a Ab a B A ij i j ij ,22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b bb b B V 中的线性变换为T (X )=XP +XT , 任意X ∈V ，.0110⎪⎭⎫⎝⎛=P 1. 给出子空间V 的一个标准正交基； 2. 验证T 是V 中的对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八. (7分) 设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，T e 表示V n 的单位变换，证明：存在x 0≠0，使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是21=λ为A 的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分)填空：1. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J = 2. 设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F 2 3. 若A 是正交矩阵，则cos(πA )=4. 设n m C A ⨯∈，A +是A 的Moore -Penrose 逆，则(-2A , A )+=5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--=30220111,4221B A ，则A ⊗B +I 2⊗I 3的全体特征值是（ ）。
矩阵论期末试题及答案
矩阵论期末试题及答案1. 选择题题目1：矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）线性无关的最大个数，下面关于矩阵秩的说法中，错误的是：A. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个行（列）线性无关。
B. 若矩阵A的秩为r，则只能确定 A 中有r个坐标线性无关。
C. 设A，B为n×m矩阵，若A的秩为r，B的秩为s，则AB的秩至少为max{r,s}。
D. 同一矩阵的行秩与列秩相等。
题目2：对于阶梯形矩阵，以下说法正确的是：A. 阶梯形矩阵的行秩与列秩相等。
B. 阶梯形矩阵的行秩等于主元的个数。
C. 阶梯形矩阵的列秩等于主元的个数。
D. 阶梯形矩阵的行秩与列秩之和等于矩阵的阶数。
题目3：设A为n阶矩阵，下列说法正确的是：A. 若A为可逆矩阵，则A的行秩和列秩都为n。
B. 若A的行秩和列秩都为n，则A为可逆矩阵。
C. 若对于非零向量 x，都有Ax=0，则称矩阵A为零矩阵。
D. 若A为可逆矩阵，则方程Ax=b存在唯一解。
题目4：对于实对称矩阵A，以下说法正确的是：A. A一定有n个线性无关的特征向量。
B. A的所有特征值都是实数。
C. 若A的特征向量构成的特征子空间的维数为n，则称A为满秩矩阵。
D. A一定可以对角化。
2. 计算题题目1：已知矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：转置矩阵的行与列互换，故矩阵A的转置矩阵为：A^T = [1, 3; 2, 4]题目2：已知矩阵B = [2, 1; -1, 3]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：逆矩阵满足BB^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
对于矩阵B，可以使用伴随矩阵法求解：B^(-1) = (1/(ad-bc)) * [d, -b; -c, a]其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素：B^(-1) = (1/(2*3-(-1)*1)) * [3, -1; 1, 2] = [3/7, -1/7; 1/7, 2/7]题目3：已知矩阵C = [1, 2, 3; 4, 5, 6]，求矩阵C的行列式的值。
上海交通大学《矩阵分析》试卷及答案
上海交通大学《矩阵分析》试卷(A)一、单项选择题(每题3分，共15分)AAABC1. 设F 是数域，(,)m nHom F F σ∈，则A.dim(Im )dim(ker )m σσ+=B.dim(Im )dim(ker )n σσ+=C.dim(Im )dim(ker )m σσ⊥⊥+=D.dim(Im )dim(ker )n σσ⊥+=2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散3. 设2222221212134400033t t t tt t Attt tte e e te e e ee e e e ⎛⎫-+-+ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭，则A =A.214020031⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B. 114010061⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭C. 224020031⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 设1()(1)kkk A f A k ∞==-∑收敛，则A 可以取为 A. 0091⎛⎫⎪--⎝⎭ B.0091⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C. 1011⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 1021⎛⎫⎪⎝⎭5. 设3阶矩阵A 满足242(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件2(1)(2)(3)1,m m m a a =+为某实数，则A 可以相似于A. 200130002M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B. 20012092M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C. 2001202M ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D. 200030013M -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题(每题3分，共15分)6. 设5阶复数矩阵A 的最小多项式为22()(1)(2)f λλλλ=-+,则*dim ()N A ＝[ 1 ];dim ()R A ⊥= [ 1 ].(其中*A 表示共轭转置)7. 设220A A -=，则cos2A ＝ [ E ＋2(cos1-1)A ]。
《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1
2
1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx
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错误!
2０１2-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
一、(共3０分，每小题6分)完成下列各题:
（1）设4R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α,⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475α
Span V =1{}321,,ααα，Span V =2
{}54,αα,分别求21V V +和21V V 的维数.
解:=A {}54321,,,,ααααα⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--→000004100030110
202
01 21V V +和21V V 的维数为３和１
（２） 设()T
i i 11-=α,()T
i i 11-=β是酉空间中两向量，求内积()βα,
及它们的长度（i =）. (0, 2， 2);
（３）求矩阵⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解. 解：⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
--
--→0000747510737201
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
----747
510737201* (4)设-λ矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++=2)1(0000
00
)1()(λλλλλA ,求)(λA 的Sm ｉth 标准形及其行列式因子.
解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++→2111λλλλ
(5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α,定义 *
H
x x α=,验证x 是向量
范数．
二、(10分)设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A ， （1）（5分)求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分)求T 的核)(T N 的维数及一组基.
解：（１）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε 线性变换Ｔ的值域为T(V)= {}321312,span εεεεε+++ 所以A (V)的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++
（2)矩阵Ａ的核为AX=０的解空间。
不难求得AX=0的基础解系是[2, -1， 1]T , 因此)(A N 的维数为1, 基为3212εεε+-.
三、(８分）求矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=66
0606
066A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵．
解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡=66
0606
066
A =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
-
2213
3332*316
20
316
121316121
四、(8分)设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=0111021i i A ,求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12-=i ).
解：{}1max 2,3,1,13A ==，（２分）
{}max 3,44A ∞== ，
（2分) 1
2
42
211F
A ij j i a ===⎛⎫∑∑ ⎪⎝⎭
()12
1141113=+++++= (2分)
1120110H
i i A
⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
， 6113H
AA
-⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
(2分) 2
6
1
9171
3
H
E AA λλλλλ-=
=-+--
1,2λ=
=
2
A
⇒
=
(2分）
五、（共２4分，每小题8分)证明题:
（1)设A 是正定H ｅr ｍite 矩阵，B 是反Ｈｅrmit ｅ矩阵，证明B A +是可逆矩阵． (2）设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是Ｈermite 矩阵的充要条件是A 的特征值为实
数.
(3)若1A <，证明A E +为非奇异矩阵,且A
A E -≤
+-11
)(1，这里A 是诱导范数.
六、（共20分,每小题5分)设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=213111213A ,
（1） 求A E -λ的Smit ｈ标准形（写出具体步骤); （2） 求A 的初等因子、最小多项式及Ｊordan 标准形J ； （3） 求相似变换矩阵P 及其逆矩阵阵1-P ； （4） 求)sin(At ． 解
A E -λ()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→2111λλ，
初等因子λ,()21-λ；最小多项式()2
1-λλ; Jor ｄａｎ标准⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛1110
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112101111P ，⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-11101110
11P )sin(At ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--+---+=t t t t
t t t t t t t t t t t
t t t t cos sin cos cos sin 2sin sin sin cos sin cos cos sin 2。